初二三角形压轴题分类解析.pdf

济南初中数学压轴济南初中数学压轴-姜姜老师姜姜老师北师大版七年级下三角形综合题归类北师大版七年级下三角形综合题归类一、一、双等边三角形模型双等边三角形模型1.（1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC求AEB 的大小；（2）如图 8，OAB 固定不动，保持OCD 的形状和大小不变，将OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和OCD 不能重叠），求AEB 的大小.DOAOCEBCEABD图 7图 8同类变式同类变式：如图 a，ABC 和CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接 AF 和 BE.(1)线段 AF 和 BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图 a 中的CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图 a 中的ABC 绕点 C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.图图 c c3.如图 9，若ABC和ADE为等边三角形，M,N分别为EB,CD的中点，易证：CD BE，AMN是等边三角形（1）当把ADE绕A点旋转到图 10 的位置时，CD BE是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由；（2）当ADE绕A点旋转到图 11 的位置时，AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请 说 明 理图 9图 10图 11由同类变式：同类变式：已知，如图所示，在ABC和ADE中，AB AC，AD AE，BAC DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点（1）求证：BE CD；AM AN；（2）在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转180 o，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.（1）证明：ABGADE；（2）试猜想BHD的度数，并说明理由；F FE EB BB图MCNAEDBME图G GA AC CCNDAD D4.如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点HH H（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0BAE180），设ABE的面积为S1，ADG的面积为S2，判断S1与S2的大小关系，并给予证明5.已知：如图，ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DGBC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE DB，连接AE，CD（1）求证：AGEDAC；（2）过点E作EFDC，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF是怎样的三角形，试证明你的结论DAGEBFC二、二、垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点考点 1 1：利用垂直证明角相等：利用垂直证明角相等1.如图，ABC 中，ACB90，ACBC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC交 CF 的延长线于 D求证：（1）AECD；（2）若 AC12 cm，求 BD 的长2.（西安中考）如图(1),已知ABC 中,BAC=90,AB=AC,AE 是过 A 的一条直线,且 B、C在 A、E 的异侧,BDAE 于 D,CEAE 于 E。图(1)图(2)图(3)(1)试说明:BD=DE+CE.(2)若直线 AE 绕 A 点旋转到图(2)位置时(BDCE),其余条件不变,问 BD 与 DE、CE 的关系如何?写出结论,可不说明理由。3.直线 CD 经过BCA的顶点 C，CA=CBE、F 分别是直线 CD 上两点，且BEC CFA（1）若直线 CD 经过BCA的内部，且 E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1，若BCA 90,90，则EFBE AF（填“”，“”或“”号）；oo如图 2，若0 BCA 180，若使中的结论仍然成立，则与BCA应满足的关系是；0oo（2）如图 3，若直线 CD 经过BCA的外部，BCA，请探究 EF、与 BE、AF 三条线段的数量关系，并给予证明EC图 1BFDCA图 2BEFDAECFAB图 3D考点考点 2 2：利用角相等证明垂直：利用角相等证明垂直1.已知 BE，CF 是ABC 的高，且 BP=AC，CQ=AB，试确定 AP 与 AQ 的数量关系和位置关系QFADPBEC2.如图，在等腰RtABC中，ACB=90，D为BC的中点，DEAB，垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF(1)求证：CD=BF；(2)求证：ADCF；(3)连接AF，试判断ACF的形状.拓展巩固：拓展巩固：如图 9 所示，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，AD 是 BC 边上的中线，过C 作 AD 的垂线，交AB 于点 E，交 AD 于点 F，求证：ADCBDEA图 93.如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC.（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.EFDBC4.如图 1，ABC的边BC在直线l上，AC BC,且AC BC,EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF FP（1）在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图 2 的位置时，EP交AC于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图 3 的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点 Q,连结AP,BQ,你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成A立，给出证明；若不成立，请说明理由.三、三、等腰三角形（中考重难点之一）等腰三角形（中考重难点之一）考点考点 1 1：等腰三角形性质的应用：等腰三角形性质的应用1.如图，ABC中，AB AC，BAC 90，D是BC中点，ED FD，ED与AB交于E，FD与AC交于F 求证：BE AF，AE CFoo2.两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME,MC试判断EMC的形状，并说明理由A(E)EQAEBAFDCBC(F)(1)PlBF(2)CPlMDEB压轴题拓展：压轴题拓展：（三线合一性质的应用）（三线合一性质的应用）已知RtABC中，AC BC，C 90，D为AB边的中点，EDF 90，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F1当EDF绕D点旋转到DE AC于E时（如图 1），易证SDEF SCEFSABC 当EDF绕D点旋转到DE和AC2不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，SDEF，SCEF，SABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明AADACADEDECCF图1BC图2FBE图3BF3.已知：如图，ABC 中，ABC=45，CDAB 于 D，BE 平分ABC，且 BEAC 于 E，与 CD 相交于点 F，H是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G。(1)BF=AC(2)CE=1BF(3)CE 与 BC 的大小关系如何。2考点考点 2 2：等腰直角三角形（：等腰直角三角形（4545 度的联想）度的联想）1.如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A，B 重合），另一条直角边与CBM的平分线 BF 相交于点 F.如图 141，当点 E 在 AB 边的中点位置时：通过测量 DE，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是；连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是；请证明你的上述两猜想.如图 142，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点 N,使得NE=BF，进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明2.在 Rt ABC 中，ACBC，ACB90，D 是 AC 的中点，DGAC 交 AB 于点 G.（1）如图1，E 为线段 DC 上任意一点，点F 在线段 DG 上，且DE=DF，连结EF 与 CF，过点F 作 FHFC，交直线AB 于点 H求证：DG=DC判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明（2）若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，点 F 在射线 DG 上，(1)中的其他条件不变，借助图2 画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变（本小题直接写出结论，不必证明）H HB BB BA AG GF FD DE EC CG GA AD D图 2C CE E图 1同类变式：同类变式：（期末考试原题哦）（期末考试原题哦）已知：ABC 为等边三角形，M 是 BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点 A，且 60 角的顶点 E 在 BC 上滑动，（点 E 不与点 B、C 重合），斜边与ACM 的平分线 CF 交于点 F（1）如图（1）当点 E 在 BC 边得中点位置时1猜想 AE 与 EF 满足的数量关系是.2连结点E 与边得中点，猜想和满足的数量关系是.3请证明你的上述猜想；（）如图（）当点在边得任意位置时，和 EF 有怎样的数量关系，并说明你的理由？四、四、角平分线问题角平分线问题1.如图：E 在线段 CD 上，EA、EB 分别平分DAB 和CBA,AEB=90,设 ADx,BCy，且x,y满足x y 6x8y 25 0（1）求 AD 和 BC 的长；（2）你认为 AD 和 BC 还有什么关系？并验证你的结论；（3）你能求出 AB 的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.2.如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。B图AEBDC22AAFNFC图（1）BCE图（2）MBMEDBCAMEONPA图(第 23 题图)BFEDCAFD图C13.(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作CE AB于E，并且AE(AB AD)，2则ABC ADC等于多少？4.如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F.A（1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE 的长.BEGCFD五、中点问题五、中点问题1.在ABC 中,D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于点G。DE GF,并交AB于点E.连结EG.（1）求证:BGCF；（2）请猜想BECF与EF的大小关系,并加以证明2.如右下图，在ABC中，若B 2C，AD BC，E为BC边的中点求证：AB 2DEABDEC3.已知ABC中，AB AC，BD为AB的延长线，且BD AB，CE为ABC的AB边上的中线 求证CD 2CE（提示：倍长中线试试）CAEBD附加思考题：附加思考题：以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BAD CAE 90.连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系如图 当ABC为直角三角形时，线段AM与DE的数量关系是；AM与DE的位置关系是；将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0 90)后，如图所示，问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由DNEADNEABM图CBM图C24、已知：如图，矩形ABCD中点G为BC延长线上一DG,BH DG于H，且GH DH，点E,F分别在AB,BC点，连接上，且EF/DG。（1）若AD 3,CG 2，求DG的长；（2）若GFADBE，求证：EF1DG。2