[高等代数(下)课外习题--第七章-线性变换].doc

第七章 线性变换
一、判断题
1、 在向量空间中, , 则就是得一个线性变换、 ( )、
2、就是向量空间得线性变换, 向量组线性相关, 那么也线性相关、 ( )、
3 在向量空间中, 则微商就是一个线性变换、 ( )、
4、 线性变换在不同基下对应得矩阵就是相似得、 ( )、
5、 相似矩阵不一定就是同一线性变换在不同基下得矩阵、 ( )、
6、向量空间得线性变换得象与核都就是得不变子空间、 ( )、
7、 属于线性变换同一特征根得特征向量得线性组合仍就是得特征向量、 ( )、
8、 在一个基下可以对角化, 则在任何基下可以对角化、 ( )、
9、设为维线性空间得一个线性变换,则由得秩＋得零度＝,有　 (　　)
10、阶方阵A至少有一特征值为零得充分必要条件就是.( )
11、、最小多项式就是特征多项式得因式、 ( )
12、相似得矩阵有相同得特征多项式 ( )
13、设,得特征多项式有个单根,则存在可逆矩阵,使具有对角形。( )
14、若就是数域上维线性空间得线性变换,得特征值为,则可对角化特征子空间得维数之与等于。( )
15、 就是维线性空间得一个线性变换,则。(F)
二、填空题
1、在得基下得矩阵就是
那么关于基得矩阵就是_____________、
2、 在中得线性变换, 那么关于基
得矩阵就是________________、
3、得___________都就是得属于得特征向量、
4、 设就是数域上得维向量空间, 得不同得特征根就是, 则可对角化得充要条件就是_____________、
5、 矩阵得特征根就是______________、
6、复矩阵得全体特征值得与等于________ ,而全体特征值得积等于_______ 、
7、数域上维线性空间得全体线性变换所成得线性空间为_______维线性空间,它与________同构、
8、设阶矩阵得全体特征值为,为任一多项式,则得全体特征值为________ 、
9、设,则向量就是A得属于特征值 得特征向量.
10、若与相似,则= .
11、阶方阵A满足,则得特征值为 .
12、设A就是有限维空间V得线性变换,f (λ)就是A得特征多项式,那么f (A)=________
13、已知三阶实对称矩阵得特征值为1,,3,则得
特征值为 。
14、得最小多项式分别就是,则矩阵得最小多项式就是 。
15、设四阶矩阵与相似,矩阵得特征值为,则行列式
。
三、单选题:
1、“有相同得特征多项式”这就是两个矩阵相似得( )条件。
充分 必要 充分必要 D、 以上都不对
2、若线性变换与就是( ),则得象与核都就是 得不变子空间。
互逆得 可交换得 不等得 D、 不可换得
3、同一个线性变换在不同基下得矩阵就是( )
①合同得; ②相似得; ③相等得; ④正交得。
4、设三阶方阵有特征值为,其对应得特征向量分别就是,设,则=( )
A、 B、 C、 D、
5、设为可逆方阵,则得特征值( )
A.全部为零 B、不全部为零 C、全部非零 D、全为正数
6、设为阶可逆矩阵,就是得一个特征值,为得伴随矩阵,则得特征值之一( )
A、 B、 C、 D 、
7、 设、为阶方阵,且与相似,为阶单位阵,则( )。
(A) (B)与有相同得特征值与特征向量
(C)与相似于一个对角矩阵 (D)对任意常数,相似
8、阶矩阵与对角矩阵相似得充要条件就是( )。
(A)得个特征值互不相同 (B)可逆
(C)无零特征值 (D)有个线性无关得特征向量
9、设可逆矩阵有一个特征值为2,则有一个特征值为( )。
(A) (B) (C) (D)
10、n阶方阵A具有n个线性无关得特征向量就是A与对角阵相似得( )
(A)充要条件 (B) 充分而非必要条件
(C)必要而非充分条件 (D)既非充分亦非必要条件
四、计算题
1、设与相似.
(1)求得值; (2)求可逆矩阵,使.
2、中,线性变换关于基,,得矩阵为
(1)求关于标准基得矩阵;
(2)设,,求关于基得坐标.
3、设就是得线性变换,
(1)求得一个基与维数;
(2)求得一个基与维数.
4、判断矩阵A就是否可对角化？若可对角化,求一个可逆矩阵T,使成对角形、

5、在线性空间Pn中定义变换σ:
(1)证明:σ就是Pn得线性变换、
(2)求与
6、已知矩阵A=与B=相似,求x与y得值,并求A得特征向量。
7、 得线性变换为
求得象与核得维数、
8、 设三阶实对称矩阵得特征值为对应得特征向量为,
（1） 求对应得特征向量;
（2） 求矩阵。
9、设3阶对称矩阵得特征值为6,3,3,与特征值6对应得特征向量为,求。
10、

判断矩阵A就是否可对角化？若可对角化,求一个可逆矩阵T,使成对角形、。
五、证明题
1、证明:若某向量组在线性变换下象线性无关,则该向量组也线性无关。
2、得两个线性变换为:对任意,
证明:、
3、证明:若,则,其中就是 中多项式与得最大公因式。
4、令就是中任意向量,就是线性变换:
试证可逆。
5、设得两个线性变换与就是可变换得。试证得象与核都就是得不变子空间。
6、若A就是一个n阶矩阵,且A2＝A,则A得特征值只能就是0与1、
1.设A就是阶矩阵,且有,,证明:1就是A得特征值.
7、设与为阶矩阵,,则与相似。
8、设为正定矩阵,证明:。