【吉林省实验中学年】2017届高三模拟数学年(文科)试题(五).pdf

-1-/13 吉林省实验中学吉林省实验中学 2017 届高三模拟届高三模拟数学数学（文科文科）试卷试卷（五）（五）答答 案案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 15ADCDA 610DCCBC 1112CA 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 1352 14 15 3,2)162yx 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 17（本题满分为 12 分）解：（1）(2)coscos0baCcB，由正弦定理可得：(sin2sin)cossincos0BACCB，（2 分）sincoscos sin2sincosBCBCAC，可得：sin()sin2sincosBCAAC，sin0A，1cos2C，（5 分）(0,)C 3C（6 分）（2）13sin324ABCSabCab，4ab，由余弦定理可得：2222cosabcabC，2c，3C，4ab，（8 分）228ab，（10 分）联立即可解得：2a，2b（12 分）18解：（1）数列na的前 n 项和为nS，12a，12nnaS（*Nn），可得12nnaS，2n，相减可得11nnnnnaaSSa，即为12nnaa，由212aS，即为212aa，可得24a，12nnaa，对 n 为一切正整数均成立，-2-/13 则数列na为等比数列，且首项为 2，公比为 2，则2nna；（2）22loglog 2nnnban，2nnnncabn，所以前 n 项和231 22 23 2.2nnTn，234121 22 23 2.2nnTn，两式相减得23112(12)222.22212nnnnnTnn，化简可得12(1)2nnTn 19证明：（1）连结 AM，设AMNDF，连结 EF，四边形 ADMN 为正方形，F 是 AM 的中点，又E 是 AB 中点，EFBM，EFNDE平面，BMNDE平面，BMNDE平面 解：（2）正方形 ADMN 与矩形 ABCD 所在的平面相互垂直，26ABAD，点 E 为线段 AB 上一点 直线 EM 与平面所成角的大小为6，6DEM，6ME，3 3DE，2793 2AE，211111:3 23:33 62:133332E ADMNE CDMMDCADMNVVAESADS 正方形 20解：（1）椭圆2222:1xyCab（0a b）的离心率为32，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为 1，22223221cabaabc，解得2a，1b，椭圆 C 的方程为2214xy -3-/13 证明：（2）椭圆 C 的方程为2214xy，(2,0)A，(0,1)B，设(,)M m n，（0m，0n），则2214mn，即2244mn，则直线 BM 的方程为11nyxm，令0y，得1cmxn，同理，直线 AM 的方程为(2)2nyxm，令0 x，得22Dnym，21121(22)2122122(2)(1)ABCDmnmnSACBDnmmn 22144448144882222222mnmnmnmnmnmnmnmnmn，四边形 ABCD 的面积为定值 2 21解：（1）1ab时，2()lnf xxxx，1()21fxxx，1x时，(1)0f，(1)2f，故()f x在1x处的切线为2(1)yx，即22yx（2）21ba时，2()(21)lnf xaxaxx，定义域为(0,)，212(21)1()2(21)axaxfxaxaxx（）0a 时，1()xfxx，由()0fx，得01x；由()0fx，得1x，故()yf x的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)（）0a 时，12()(1)2()a xxafxx，0a时，由()0fx，得1x；由()0fx，得01x，故()yf x的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)；102a 时，112a，由()0fx，得01x，或12xa；由()0fx，得112xa，故()yf x的单调增区间为(0,1)，1(,)2a，单调减区间为1(1,)2a；12a 时，2(1)()0 xfxx恒成立，故()yf x的单调增区间为(0,)，无单调递减区间；-4-/13 12a，112a，由()0fx，得102xa，或1x；由()0fx，得112xa，故()yf x的单调增区间为1(0,)2a，(1,)，单调减区间为1(,1)2a（3）1a时，2()lnf xxbxx，2121()2xbxfxxbxx，由题意知，1x，2x是方程2210 xbx 得两个根，故1212x x，记2()21g xxbx，因为3b，所以13()022bg，(1)3b0g，所以11(0,)2x，2(1,)x，且21121bxx，22221bxx，2222111212121222()()()()ln()lnxxf xf xxxbxbxxxxx，因为1212x x，所以1212xx，故221222221()()ln(2)4f xf xxxx，2(1,)x，令222(2,)tx，121()()()ln22th tf xf xtt，因为22(1)()02th tt，所以()h t在(2,)上单调递增，所以3()(2)ln24h th，即123()()ln24f xf x 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4-4：坐标系与参数方程 22解：（1）曲线1C的参数方程为2cos3sinxy（为参数），普通方程为22143xy，曲线2C的极坐标方程为2，直角坐标方程为224xy；（2）设(2cos,2sin)P，则74 3sin74 3sinPMPN，22()142 4948sinPMPN，sin0时，PMPN的最大值为2 7 选修 4-5：不等式选讲 23解：（1）由题意，3xa，33axa ，-5-/13 不等式()3f x 的解集为|15xx ，3135aa ，2a；（2）设()23(2)(3)5g xxxxx，当且仅当32x 时，等号成立 存在实数 x，使不等式()(5)f xf xm成立，5m -6-/13 吉林省实验中学吉林省实验中学 2017 届高三模拟届高三模拟数学数学（文科文科）试卷试卷（五）（五）解解 析析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 1【考点】交集及其运算【分析】利用已知条件求出集合 B，然后求解交集【解答】解：集合 A=2，3，B=x|x25x+6=0|=2，3，则 AB=2，3 故选：A 2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：=，复数在复平面内对应的点的坐标为（1，2），在第四象限 故选：D 3【考点】命题的否定【分析】根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案【解答】解：命题：“x1，2，x23x+20 的否定是，故选：C 4【考点】复合函数的单调性【分析】令 t=x24x+30，求得函数的定义域，且 y=lnt，本题即求函数 t 在定义域上的减区间，再利用二次函数的性质得出结论【解答】解：令 t=x24x+30，求得 x1，或 x3，故函数的定义域为x|x1，或 x3，且 y=lnt 故本题即求函数 t 在定义域x|x1，或 x3上的减区间 再利用二次函数的性质求得 t 在定义域x|x1，或 x3上的减区间为（，1），故选：D 5【考点】三角函数的化简求值【分析】采用两边平方，根据同角函数关系式和二倍角的公式可得答案【解答】解：由，可得：（sin2+cos22sincos）=即 1sin=，-7-/13 sin=故选：A 6【考点】等差数列的前 n 项和【分析】由等差数列的性质得 an1=18（n2），由此利用等差数列的通项公式能求出 n【解答】解：等差数列an满足：a2=2，SnSn3=54（n3），Sn=100，an+an1+an2=54（n3），又数列an为等差数列，3an1=54（n2），an1=18（n2），又 a2=2，Sn=100，Sn=100，n=10 故选：D 7【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线方程，算出焦点 F 坐标为（）设 P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4，算出 m=3，从而得到 n=，得到POF 的边 OF 上的高等于 2，最后根据三角形面积公式即可算出POF 的面积【解答】解：抛物线 C 的方程为 y2=4x 2p=4，可得=，得焦点 F（）设 P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，即 m+=4，解得 m=3 点 P 在抛物线 C 上，得 n2=43=24 n=|OF|=POF 的面积为 S=|OF|n|=2 故选：C -8-/13 8【考点】由三视图求面积、体积【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是 4，圆锥的高是 2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 4，圆柱的高是 4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是 4，圆锥的高是 2，在轴截面中圆锥的母线长是=4，圆锥的侧面积是 24=8，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 4，圆柱的高是 4，圆柱表现出来的表面积是 22+224=20 空间组合体的表面积是 28，故选：C 9【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的数量积公式以及向量的模的计算即可【解答】解：向量满足，|+|2=|2+2 +|2=2+2 =1，2 =1，|2+|2=4|2+4 +|2=42+1=3，|2+|=，故选：B 10【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质【分析】双曲线、椭圆方程分别化为标准方程，利用双曲线 mx2ny2=1（m0，n0）的离心率为 2，可得 m=3n，从而可求椭圆 mx2+ny2=1 的离心率【解答】解：双曲线 mx2ny2=1 化为标准方程为：双曲线 mx2ny2=1（m0，n0）的离心率为 2，-9-/13 m=3n 椭圆 mx2+ny2=1 化为标准方程为：椭圆 mx2+ny2=1 的离心率的平方为=椭圆 mx2+ny2=1 的离心率为 故选 C 11【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】利用辅助角公式将函数 f（x）化简，结合三角函数的图象及性质依次对各项进行判断即可【解答】解：函数，化简可得：f（x）=cos2x+sin2x=2sin（2x+），对于：当 x=时，函数 f（x）取得最大值 2，x=是其中一条对称轴故对 对于：f（x+）=2sin（2x+）=2sin2x，f（x）=2sin（2x+）=2sin2x，；故对 对于将 f（x）的图象向右平移个单位，可得 2sin2（x）+=2sin（2x）不是奇函数，故不对 x1，x2R，|f（x1）f（x2）|4 f（x）=2sin（2x+），当 x1=，时，|f（x1）f（x2）|=4，存在 x1，x2R 使得|f（x1）f（x2）|4，故对 真命题的个数是 3 故选：C 12【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】判断 f（x）的单调性，做出 f（x）的草图，得出 f（x）=t 的根的情况，根据方程 t2t+a=0 不可能有两个负根得出结论 -10-/13【解答】解：当 x0 时，f（x）=10，f（x）在（，0）上是减函数，当 x0 时，f（x）=|lnx|=，f（x）在（0，1）上是减函数，在1，+）上是增函数，做出 f（x）的大致函数图象如图所示：设 f（x）=t，则当 t0 时，方程 f（x）=t 有一解，当 t=0 时，方程 f（x）=t 有两解，当 t0 时，方程 f（x）=t 有三解 由f（x）2f（x）+a=0，得 t2t+a=0，若方程 t2t+a=0 有两解 t1，t2，则 t1+t2=1，方程 t2t+a=0 不可能有两个负实数根，方程f（x）2f（x）+a=0 不可能有 2 个解 故选 A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，-11-/13 联立，解得 A（，1）化目标函数 z=3xy 为 y=3xz，由图可知，当直线 y=3xz 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值 故答案为：14【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案【解答】解：如果 mn，m，n，不能得出，故错误；如果 n，则存在直线 l，使 nl，由 m，可得 ml，那么 mn故正确；如果，m，那么 m 与 无公共点，则 m故正确 如果 mn，那么 m，n 与 所成的角和 m，n 与 所成的角均相等故正确；故答案为：15【考点】直线与圆的位置关系【分析】利用直线和圆的位置关系，求出两个极端位置|AB|的值，即可得到结论【解答】解：圆心 C（1，1），半径 R=1，要使 AB 长度最小，则ACB 最小，即PCB 最小，即 PC 最小即可，由点到直线的距离公式可得 d=2 则PCB=60，ACB=120，即|AB|=，当点 P 在 3x+4y+3=0 无限远取值时，ACB180，此时|AB|直径 2，故|AB|2，故答案为：，2）16【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由已知函数的奇偶性结合 x0 时的解析式求出 x0 时的解析式，求出导函数，得到 f（1），然后代入直线方程的点斜式得答案【解答】解：已知 f（x）为偶函数，当 x0 时，f（x）=ex1x，设 x0，则x0，f（x）=f（x）=ex1+x，-12-/13 则 f（x）=ex1+1，f（1）=e0+1=2 曲线 y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是 y2=2（x1）即 y=2x 故答案为：y=2x 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 17【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可得 sinA=2sinAcosC，由于sinA0，可求 cosC=，结合范围 C（0，），可求 C 的值（2）利用三角形面积公式可求 ab=4，由余弦定理可得 a2+b2=8，联立即可解得 a，b 的值 18【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）首先利用 Sn与 an的关系：当 n=1 时，a1=S1，当 n2 时，an=SnSn1；结合已知条件等式推出数列an是等比数列，由此求得数列an的通项公式；（2）首先结合（1）求得 bn=log2an=log22n=n，cn=anbn=n2n，然后利用错位相减法，结合等比数列的求和公式求解即可 19【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（1）连结 AM，设 AMND=F，连结 EF，推导出 EFBM，由此能证明 BM平面 NDE（2）推导出 AE=3，VEADMN：VECDM=：，由此能求出结果 20【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（1）由椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为 1，列出方程组，求出 a，b，由此能求出椭圆 C 的方程（2）设 M（m，n），（m0，n0），则 m2+4n2=4，从而直线 BM 的方程为 y=，进而，同理，得，进而|+2|，由此能证明四边形 ABCD 的面积为定值 2 21【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）先求切线的斜率，再确定切点的坐标，则可写出曲线 f（x）在 x=1 处的切线的点斜式方程；（2）先确定函数的定义域，再求导，f（x）=，然后由 f（x）0，得到单调增区间，由 f（x）0，得到单调减区间在解不等式时，需对参数 a 进行分类讨论（3）根据条件，可知 x1，x2是方程 2x2bx+1=0 得两个根，故记 g（x）=2x2bx+1，由于 b3 时，g（1）=3b0，故，x2（1，+）再利用-13-/13 进行化简消元，得 f（x1）f（x2）=令 t=，构造新的函数 h（t）=，然后利用导数判断函数h（t）在（2，+）上单调递增，故h（t）h（2）=，即 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）利用三种方程的转化方法，分别写出曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程；（2）设 P（2cos，2sin），则|PM|+|PN|=+，两边平方，即可求|PM|+|PN|的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法【分析】（1）原不等式可化为|xa|3，a3xa+3再根据不等 f（x）3 的解集为x|1x5，可得，从而求得 a 的值；（2）由题意可得 g（x）=|x2|+|x+3|（x2）（x+3）|=5，从而求得 m 的范围