福建省高二(下)期末数学试卷(文科)(含参考答案).pdf

1 福建省高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集 U=R，集合 A=x|x1，B=x|x20，则（?UA）B）=（）A x|x2Bx|1x2 C x|1x2 D x|x22如果函数 f（x）=cos（x+）（0）的相邻两个对称中心之间的距离为，则=（）A3 B6 C 12 D243已知抛物线 y2=ax（a0）的准线经过点（1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A（1，0）B（1，0）C （0，1）D（0，1）4已知函数f（x）=x3x+1，则曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）ABC D25若，是第三象限的角，则等于（）ABCD6下列命题正确的个数为（）“?xR都有 x20”的否定是“?x0R使得 x020”“x3”是“|x|3”必要不充分条件命题“若 m，则方程 mx2+2x+1=0有实数根”的逆否命题A0 B1 C 2 D37若，则执行如图所示的程序框图，输出的是（）2 Ac Bb C a D8把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）ABCD9已知 ，为锐角，且，cos（+）=，则 cos2=（）ABC D10已知函数 f（x）=sin（x+）（0 4，|），若 f（）f（）=2，则函数f（x）的单调递增区间为（）A+，+，kZ B，+，kZC k+，k+，kZ D k，k+，kZ11如果函数f（x）对任意的实数x，都有 f（x）=f（1x），且当时，f（x）=log2（3x1），那么函数 f（x）在 2，0 的最大值与最小值之差为（）A4 B3 C 2 D112设 f（x）是函数 f（x）（xR）的导数，且满足 xf（x）2f（x）0，若ABC是锐角三角形，则（）Af（sinA）?sin2Bf（sinB）?sin2A Bf（sinA）?sin2Bf（sinB）?sin2ACf（cosA）?sin2Bf（sinB）?cos2A Df（cosA）?sin2Bf（sinB）?cos2A3 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的相应位置13已知 a，bR，i 是虚数单位，若 a+i=2bi，则|a+bi|=14已知双曲线=1（a0，b0）的左右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点 P满足 PF2x 轴若|F1F2|=12，|PF2|=5则该双曲线的离心率为15设 为第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且，则 tan2=16已知 y=f（x）是奇函数，当x（0，2）时，f（x）=alnxax+1，当 x（2，0）时，函数 f（x）的最小值为 1，则 a=三、解答题：本大题共5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知（）求 sin cos 的值；（）求的值18甲、乙两位学生参加全国数学联赛培训在培训期间，他们参加的 5 次测试成绩记录如下：甲：82 82 79 95 87乙：95 75 80 90 85（）从甲、乙两人的这5 次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率；（）现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位同学参加合适？并说明理由19已知函数 f（x）=sin2xsinxcosx+，g（x）=mcos（x+）m+2（）若，求函数 y=f（x）的值域；（）若对任意的，x2 0，均有 f（x1）g（x2），求 m 的取值范围20已知椭圆C：+=1（ab0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为设过点F2的直线 l 与椭圆 C相交于不同两点 A，B，周长为 8（）求椭圆 C的标准方程；4（）已知点 T（4，0），证明：当直线 l 变化时，总有 TA与 TB的斜率之和为定值21已知函数 f（x）=xlnx，g（x）=x2+ax2（）求函数 f（x）在 t，t+2（t0）上的最小值；（）设函数 F（x）=f（x）g（x），若函数 F（x）的零点有且只有一个，求实数a 的值 选修 4-4：坐标系与参数方程 22 已知圆 C的极坐标方程为=4cos6sin，直线 l 的参数方程为（t 为参数）若直线 l 与圆 C相交于不同的两点P，Q（1）写出圆 C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；（2）若弦长|PQ|=4，求直线 l 的斜率 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）=|x1|2|x+a|（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（2）若不等式 f（x）0，在 x 2，3 上恒成立，求 a 的取值范围5 福建省高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集 U=R，集合 A=x|x1，B=x|x20，则（?UA）B）=（）A x|x2Bx|1x2 C x|1x2 D x|x2【考点】1H：交、并、补集的混合运算【分析】根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：全集 U=R，集合 A=x|x1，B=x|x20=x|x2，?UA=x|x1，则（?UA）B=x|1x2，故选：C2如果函数 f（x）=cos（x+）（0）的相邻两个对称中心之间的距离为，则=（）A3 B6 C 12 D24【考点】H7：余弦函数的图象【分析】利用余弦函数的图象的对称性、余弦函数的周期性，求得的值【解答】解：函数 f（x）=cos（x+）（0）的相邻两个对称中心之间的距离为，=，=6 故选：B3已知抛物线 y2=ax（a0）的准线经过点（1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A（1，0）B（1，0）C （0，1）D（0，1）【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】根据题意，由抛物线的方程可以求出其准线方程，则有=1，解可得 a 的值，即可6 得抛物线的方程，结合抛物线的焦点坐标计算可得答案【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y2=ax，其焦点在 x 轴上，则其准线方程为：x=，若其准线经过点（1，1），则其准线方程为x=1，即有=1则 a=4，抛物线的方程为y2=4x，则该抛物线焦点坐标为（1，0）；故选：A4已知函数f（x）=x3x+1，则曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）ABC D2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】欲求切线与两坐标轴所围成的三角形面积，关键是求出在点（0，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：求导函数，可得y=3x21，当 x=0时，y=1，函数 f（x）=x3x+1，则曲线 y=f（x）在点（0，1）处的切线方程为y1=x，即 x+y1=0，令 x=0，可得 y=1，令 y=0，可得 x=1，函数 f（x）=x3x+1，则曲线 y=f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是11=故选：C5若，是第三象限的角，则等于（）ABCD【考点】GI：三角函数的化简求值7【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得cos、sin 的值，再利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值【解答】解：若=cos，即 cos=，结合 是第三象限的角，可得 sin=，则=sin cos+cossin=+（）=，故选：A6下列命题正确的个数为（）“?xR都有 x20”的否定是“?x0R使得 x020”“x3”是“|x|3”必要不充分条件命题“若 m，则方程 mx2+2x+1=0有实数根”的逆否命题A0 B1 C 2 D3【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】由全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可判断；由充分必要条件的定义，即可判断；由由 m=0，2x+1=0有实根；若 m0，则=44m42=20，即可判断原命题成立，再由命题的等价性，即可判断【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得“?xR都有 x20”的否定是“?x0R使得 x020”，故错；“x3”比如 x=3，可得|x|=3；反之，|x|3，可得 x3，“x3”是“|x|3”必要不充分条件，故对；命题“若 m，则方程 mx2+2x+1=0有实数根”，由 m=0，2x+1=0有实根；若 m0，则=44m42=20，即方程 mx2+2x+1=0有实数根，则原命题成立，由等价性可得其逆否命题也为真命题，故对故选：C7若，则执行如图所示的程序框图，输出的是（）8 Ac Bb C a D【考点】EF：程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算 a，b，c 中的最大值，并输出，根据指数函数，对数函数的单调性得出a，b，c 的范围进而可得答案【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算a，b，c 中的最大值y=log2x 是增函数，a=log20.3log21=0，y=2x是增函数，b=20.320=1，又 c=0.32=0.09，0c1，bca，故选：B8把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）ABCD9【考点】H2：正弦函数的图象【分析】利用诱导公式、函数y=Asin（x+）的图象变换规律，求得变换后所得函数的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，求得得图象的一条对称轴方程【解答】解：把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），可得 y=sin（2x+）的图象，再将图象向右平移个单位，可得得 y=sin（2x+）=cos2x 的图象令 2x=k，可得 x=，kZ，令 k=1，可得所得图象的一条对称轴方程为x=，故选：A9已知 ，为锐角，且，cos（+）=，则 cos2=（）ABC D【考点】GP：两角和与差的余弦函数【分析】利用同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式求得cos=cos （+）的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2 的值【解答】解：，为锐角，且，sin=，cos（+）=0，+还是锐角，sin（+）=，则 cos=cos（+）=cos（+）cos+sincos（+）sin=?+=，cos2=2cos2 1=，故选：B10已知函数 f（x）=sin（x+）（0 4，|），若 f（）f（）=2，则函数f（x）的单调递增区间为（）A+，+，kZ B，+，kZC k+，k+，kZ D k，k+，kZ【考点】H2：正弦函数的图象10【分析】根据正弦函数的值域可得?+=2k+，?+=2k+，kZ，两式相减可得 和 的值，可得 f（x）的解析式，再利用正弦函数的最值以及单调性，求得函数f（x）的单调递增区间【解答】解：已知函数 f（x）=sin（x+）（0 4，|），若 f（）f（）=2，则 f（）=1，f（）=1，即 sin（?+）=1，sin（?+）=1，?+=2k+，?+=2k+，kZ，两式相减可得=2，=，函数 f（x）=sin（2x+），令 2k 2x+2k+，求得 k xk+，可得函数 f（x）的单调递增区间为 k，k+，kZ11如果函数f（x）对任意的实数x，都有 f（x）=f（1x），且当时，f（x）=log2（3x1），那么函数 f（x）在 2，0 的最大值与最小值之差为（）A4 B3 C 2 D1【考点】3T：函数的值【分析】求出函数的对称轴，根据函数的对称性，求出f（x）在 2，0 的单调性，求出函数值即可【解答】解：f（x）=f（1x），f（x）的对称轴是 x=，时，f（x）=log2（3x1），函数在，+）递增，故 x时，函数在 2，0 递减，f（x）max=f（2）=f（+）=f（3）=3，f（x）min=f（0）=f（1）=1，故 31=2，故选：C11 12设 f（x）是函数 f（x）（xR）的导数，且满足 xf（x）2f（x）0，若ABC是锐角三角形，则（）Af（sinA）?sin2Bf（sinB）?sin2A Bf（sinA）?sin2Bf（sinB）?sin2ACf（cosA）?sin2Bf（sinB）?cos2A Df（cosA）?sin2Bf（sinB）?cos2A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】根据题意，设h（x）=，（x0），对 h（x）求导分析可得函数f（x）在（0，+）上为增函数，又由ABC 是锐角三角形，分析可得AB0，即有 sinAcosB或 cosA sinB，结合 h（x）的单调性以及 sinAcosB和 cosAsinB分析答案【解答】解：设 h（x）=，（x0）则其导数 h（x）=，又由 f（x）满足 xf（x）2f（x）0，则有 h（x）0，则函数 f（x）在（0，+）上为增函数，若ABC是锐角三角形，则有 A+B，即AB0，即有 sinAcosB或 cosA sinB，对于 sinAcosB，h（sinA）=，h（cosB）=，又由 sinAcosB，则有，即 f（sinA）?cos2Bf（cosA）?sin2B，可以排除 A、B，对于 cosAsinB，h（cosA）=，h（sinB）=，又由 cosAsinB，则有，即 f（cosA）?sin2Bf（sinB）?cos2A，可得 D 正确，故选：D二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的相应位置13已知 a，bR，i 是虚数单位，若 a+i=2bi，则|a+bi|=【考点】A8：复数求模【分析】利用复数相等可得 a，b，再利用复数模的计算公式即可得出12【解答】解：a，bR，i 是虚数单位，a+i=2bi，a=2，1=b，即 a=2，b=1则|a+bi|=|2i|=故答案为：14已知双曲线=1（a0，b0）的左右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点 P满足 PF2x 轴若|F1F2|=12，|PF2|=5则该双曲线的离心率为【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】双曲线上一点 P 满足 PF2x 轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，可得|PF1|=13，利用双曲线的定义求出 a，即可求出双曲线的离心率【解答】解：双曲线上一点P满足 PF2x 轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，可得 P在右支上，|PF1|=13，2a=|PF1|PF2|=8，a=4，c=6，e=故答案为：15设 为第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且，则 tan2=【考点】G9：任意角的三角函数的定义【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得x 的值，可得 tan的值，再利用二倍角的正切公式求得 tan2 的值【解答】解：为第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，x0，再根据=，x=3，tan=，13 则 tan2=，故答案为：16已知 y=f（x）是奇函数，当x（0，2）时，f（x）=alnxax+1，当 x（2，0）时，函数 f（x）的最小值为 1，则 a=2【考点】3L：函数奇偶性的性质【分析】由奇函数 f（x）的图象关于原点对称，由题意可得当x（0，2）时，f（x）的最大值为 1，求得当 x（0，2）时，f（x）的导数和单调区间，确定a0，f（1）为最大值 1，解方程可得 a 的值【解答】解：y=f（x）是奇函数，可得f（x）的图象关于原点对称，由当 x（2，0）时，函数 f（x）的最小值为 1，可得当 x（0，2）时，f（x）的最大值为 1由 f（x）=alnxax+1 的导数为 f（x）=a=，由函数在（0，2）上取得最大值，可得a0，f（x）在（1，2）递减，在（0，1）递增最大值为 f（1）=1a=1，解得 a=2，故答案为：2三、解答题：本大题共5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知（）求 sin cos 的值；（）求的值【考点】GP：两角和与差的余弦函数；GI：三角函数的化简求值【分析】（）把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出 sin cos 的值；（）由（）知sin2=，cos2=，即可求的值14【解答】解：（）因为 sin +cos=，所以 2sin cos=，所以 （，），（sin cos）2=，所以 sin cos=（）由（）知sin2=，cos2=所以 cos（2+）=+=18甲、乙两位学生参加全国数学联赛培训在培训期间，他们参加的 5 次测试成绩记录如下：甲：82 82 79 95 87乙：95 75 80 90 85（）从甲、乙两人的这5 次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率；（）现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位同学参加合适？并说明理由【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（）要从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率，首先要计算“要从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个”的事件个数，再计算“甲的成绩比乙高”的事件个数，代入古典概型公式即可求解（）选派学生参加大型比赛，是要寻找成绩发挥比较稳定的优秀学生，所以要先分析两名学生的平均成绩，若平均成绩相等，再由茎叶图分析出成绩相比稳定的学生参加【解答】解：（）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到成绩为 y，用数对（x，y）表示基本事件：（82，95），（82，75），（82，80），（82，90），（82，85），（82，95），（82，75），（82，80），（82，90），（82，85），（79，95），（79，75），（79，80），（79，90），（79，85），（95，95），（95，75），（95，80），（95，90），（95，85），（87，95），（87，75），（87，80），（87，90），（87，85），基本事件总数 n=25记“甲的成绩比乙高”为事件 A，事件 A 包含的基本事件：（82，75），（82，80），（82，75），（82，80），（79，75），（95，75），（95，80），（95，90），（95，85），（87，75），（87，80），（87，85），15 事件 A 包含的基本事件数m=12所以 P（A）=；（）派甲参赛比较合适，理由如下：甲=（701+803+901+9+2+2+7+5）=85，乙=（701+802+902+5+0+5+0+5）=85，=（7985）2+（8285）2+（8285）2+（8785）2+（9585）2=31.6，=（7585）2+（8085）2+（8085）2+（9085）2+（9585）2=50甲=乙，S甲2S乙2，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适19已知函数 f（x）=sin2xsinxcosx+，g（x）=mcos（x+）m+2（）若，求函数 y=f（x）的值域；（）若对任意的，x2 0，均有 f（x1）g（x2），求 m 的取值范围【考点】HW：三角函数的最值【分析】（）利用降次公式和二倍角公式将f（x）化简，上，求出内层函数的范围，结合三角函数的性质可得f（x）的值域；（）由（）可知f（x）的值域；值域求解x2 0，g（x2）的最大值即可，求解即可，需要对m 进行讨论哦【解答】解：（）函数 f（x）=sin2xsinxcosx+=cos2xsin2x=1sin（2x+）上，2x+，sin（2x+）1故得时函数 f（x）的值域为 0，；（）由（）可知f（x）的最小值为 0，对任意的，x2 0，均有 f（x1）g（x2）16 只需要 0g（x）max即可g（x）=mcos（x+）m+2x 0，x+，1cos（x+）当 m0 时，g（x）max=，0，解得：m4当 m0 时，g（x）max=mm+2，2m+20，解得：m1无解综合上述，可得 m 的取值范围 4，+）20已知椭圆C：+=1（ab0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为设过点F2的直线 l 与椭圆 C相交于不同两点 A，B，周长为 8（）求椭圆 C的标准方程；（）已知点 T（4，0），证明：当直线 l 变化时，总有 TA与 TB的斜率之和为定值【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系【分析】（）由 MNF1的周长为 8，得 4a=8，由 e=，求出 c，可求得 b；即可求解椭圆方程（）分类讨论，当直线l 不垂直与 x 轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，即可求得kTA+kTB=0，即可证明直线 TA与 TB的斜率之和为定值【解答】解：（I）由题意知，4a=8，所以 a=2因为 e=，所以 c=1，则 b=所以椭圆 C的方程为17（）证明：当直线l 垂直与 x 轴时，显然直线TS与 TR的斜率之和为 0，当直线 l 不垂直与 x 轴时，设直线 l 的方程为 y=k（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），整理得：（3+4k2）x28k2x+4k2x+4k212=0，=64k44（3+4k2）（4k212）=k2+10 恒成立，x1+x2=，x1x2=，由 kTA+kTB=+=，TA，TB的斜率存在，由 A，B 两点的直线 y=k（x1），故 y1=k（x11），y2=k（x21），由 2x1x25（x1+x2）+8=0，kTA+kTB=0，直线 TA与 TB的斜率之和为 0，综上所述，直线 TA与 TB的斜率之和为定值，定值为021已知函数 f（x）=xlnx，g（x）=x2+ax2（）求函数 f（x）在 t，t+2（t0）上的最小值；（）设函数 F（x）=f（x）g（x），若函数 F（x）的零点有且只有一个，求实数a 的值【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（I）f（x）=lnx+1，令 f（x）=0，解得 x=对 t 分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出（II）F（x）=f（x）g（x）=xlnx+x2ax+2，函数 F（x）的零点有且只有一个，即a=lnx+x+在（0，+）上有且仅有一个实数根由题意可得：若使函数y=f（x）与 y=g（x）的图象恰有一个公共点，则 a=h（x）min18【解答】解：（I）f（x）=lnx+1，令 f（x）=0，解得 x=当时，函数 f（x）在上单调递减，在上单调递增，x=时，函数 f（x）取得极小值即最小值，=当 t时，函数 f（x）在 t，t+2 上单调递增，x=t 时，函数 f（x）取得极小值即最小值，f（t）=tlnt（II）F（x）=f（x）g（x）=xlnx+x2ax+2，函数 F（x）的零点有且只有一个，即a=lnx+x+在（0，+）上有且仅有一个实数根令h（x）=lnx+x+，则 h（x）=+1=可得：函数 g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增 h（x）min=h（1）=3由题意可得：若使函数y=f（x）与 y=g（x）的图象恰有一个公共点，则a=h（x）min=3因此：函数 F（x）的零点有且只有一个，则实数a=3 选修 4-4：坐标系与参数方程 22 已知圆 C的极坐标方程为=4cos6sin，直线 l 的参数方程为（t 为参数）若直线 l 与圆 C相交于不同的两点P，Q（1）写出圆 C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；（2）若弦长|PQ|=4，求直线 l 的斜率【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】（1）利用极坐标化为直角坐标的方法，写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；（2）若弦长|PQ|=4，所以=3，即可求直线 l 的斜率【解答】解：（1）由=4cos6sin ，得圆 C的直角坐标方程x2+y24x+6y=0，配方，得（x2）2+（y+3）2=13，所以圆心为（2，3），半径为（2）由直线 l 的参数方程知直线过定点M（4，0），则由题意，知直线l 的斜率一定存在，设直线 l 的方程为 y=k（x4），因为弦长|PQ|=4，所以=3，解得 k=0 或 k=19 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）=|x1|2|x+a|（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（2）若不等式 f（x）0，在 x 2，3 上恒成立，求 a 的取值范围【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式【分析】（1）当a=1时，由不等式分别求得解集，再取并集，即得所求（2）由题意可得，13x2ax1 在 x 2，3 上恒成立，从而求得a 的取值范围【解 答】解：（1）a=1，f（x）1?|x 1|2|x+1|1，解集为（2）f（x）0 在 x 2，3 上恒成立?|x1|2|x+a|0 在 x 2，3 上恒成立?13x2ax1 在 x 2，3 上恒成立，a 的范围为