山东省高二第二学期期末考试数学(理)试题(含参考答案).pdf

1 山东省第二学期期末考试高二数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在复平面内，复数34i1iz（i是虚数单位）对应的点在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2在用线性回归方程研究数据的拟合效果中，分别作出下列四个关于四组数据的残差图，则用线性回归模式拟合效果最佳的是（）3已知向量2,3,1ar，4,2,bxr，且abrr，则x的值为（）A12 B10 C14 D14 4现抛掷两枚骰子，即事件A为“朝上的2 个数之和为偶数”，事件B为“朝上的2 个数均为偶数”，则P B A（）A18 B14 C25 D125如图，阴影部分面积是（）A1ee B1e1e C1e2e D1ee2 6设随机变量X，Y满足：31YX，2,XBp:，若519P X，则D Y（）A4 B 5 C6 D7 7函数2sinyxx的图象大致是（）A B C D8数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（）A甲 B乙 C丙 D丁9做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是64，且用料最省，则圆柱的底面半径为（）A3 B 4 C5 D6 10直三棱柱111ABCA BC中，90BCA，12CACCCB，则直线1BC与直线1AB所成角的余弦值为（）A2 55 B53 C35 D5511某教师有相同的语文参考书3 本，相同的数学参考书4 本，从中取出4 本赠送给4 位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有（）A15 种 B 20 种 C48 种 D60 种12已知函数313fxxa与函数2122g xxx的图象上恰有三对关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A10 7,36 B7 10,63 C7 10,63 D107,36第卷（共 90 分）3 二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13曲线sinexyx在点0,1处的切线方程为14已知621axx的展开式的所有项系数的和为192，则展开式中2x项的系数是15如图，已知二面角l的大小为60，其棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知2AB，3AC，4BD，则线段CD的长为16在探究实系数一元二次方程的根与系数的关系时，可按下述方法进行：设实系数一元二次方程22100a xa xa在复数集C内的根为1x，2x，则方程可变形为2120axxxx，展开得222122120a xaxxxa x x.比较可以得到：11220122axxaax xa类比上述方法，设实系数一元n次方程11100nnnna xaxa xaL（2n且*nN）在复数集C内的根为1x，2x，nx，则这n个根的积1niix三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17观察下列等式：11；132；1353；13574；（1）照此规律，归纳猜想出第n个等式；4（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.18甲、乙两企业生产同一种型号零件，按规定该型号零件的质量指标值落在45,75内为优质品.从两个企业生产的零件中各随机抽出了500 件，测量这些零件的质量指标值，得结果如下表：甲企业：乙企业：（1）已知甲企业的500 件零件质量指标值的样本方差2142s，该企业生产的零件质量指标值X服从正态分布2,N，其中近似为质量指标值的样本平均数x（注：求x时，同一组数据用该区间的中点值作代表），2近似为样本方差2s，试根据该企业的抽样数据，估计所生产的零件中，质量指标值不低于71.92的产品的概率.（精确到0.001）（2）由以上统计数据完成下面22列联表，并问能否在犯错误的概率不超过0.01 的前提下，认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.附注：参考数据：14211.92，参考公式：0.6827PX，220.9545PX，330.9973PX.22n adbcKabcdacbd5 19如图，在三棱锥PABC中，ABBC，PAPB，E为AC的中点.（1）求证：PEAB；（2）设平面PAB平面ABC，2PBPC，4AC，求二面角BPAC的平面角的正弦值.20在某校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从A、B、C、D四首不同曲目中任选一首.（1）求甲、乙两班选择不同曲目的概率；（2）设这四个班级总共选取了X首曲目，求X的分布列及数学期望EX.21已知函数1lnfxaxx（aR）.（1）讨论函数fx极值点的个数，并说明理由；（2）若1x，2xfxaxaxa恒成立，求a的最大整数值.请考生在 22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是3212xtmyt（t为参数）.以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是2cos.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点,0P m，若直线l与曲线C交于A，B两点，且1PAPB，求实数m的值.23选修 4-5：不等式选讲已知函数1fxxxa.（1）若0a，求不等式0fx的解集；6（2）若方程0fxx有三个不同的解，求实数a的取值范围.7 第二学期期末考试高二数学（理）试题答案一、选择题1-5:BCDDC 6-10:ABABD 11、12：AC 二、填空题13210 xy 1445 1517 1601nnaa三、解答题17解：（1）第n个等式为135121nnL1nn（*nN）；（2）用数学归纳法证明：当1n时，等式显然成立；假设当nk（*kN）时，等式成立，即1351kL211kkk则当1nk时，135L1121121kkkk11121kkkk1121kkk111kk所以当1nk时，等式成立.由知，135121nnL1n（*nN）18解：（1）依据上述数据，甲厂产品质量指标值的平均值为：130 10404050 11560 165500 x70 12080 4590 560，所以60，2142，即甲企业生产的零件质量指标值X服从正态分布60,142XN，又14211.92，则，6011.926011.92PX48.0871.920.6827PX，148.0871.9271.922PXP X10.68270.158650.1592，8 所以，甲企业零件质量指标值不低于71.92 的产品的概率为0.159.（2）由以上统计数据填写22列联表，如下：计算221000400 140360 1008.7726.635760 240 500 500K对照临界值表得出，在犯错的概率不超过0.01 的前提下，认为“两个分厂生产的产品的质量有差异”.19解：（1）设AB中点为O，连接PO，EO，因为PAPB，所以POAB，又E为AC的中点，所以EOBC.因为ABBC，所以EOAB，因为POOEOI，所以AB平面POE，又PE平面POE，所以PEAB（2）由（1）知POAB，因为平面PAB平面ABC，平面PAB I平面ABCAB，PO平面PAB，所以PO平面ABC，又EOAB.以O为坐标原点，分别以OEuu u r，OBuu u r，OPuu u r为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，因为ABBC，4AC，2BC，得222 3ABACBC，由O为AB中点，POAB，2PB，得3OAOB，221POPBOB，则，0,0,0O，1,0,0E，0,0,1P，0,3,0A，0,3,0B，2,3,0C9 设平面PAC的一个法向量为,nx y zr，由00n PAn PCr uu rr uu u r，即30230yzxyz取3y，可得3,3,3nr，因为平面PAB平面ABC，平面PAB I平面ABCAB，OE平面ABC，所以EO平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为1,0,0OEuu u r，321cos,721OE nOE nOE nuu u r ruu u r ruu u r r，设二面角BPAC的大小为，则21cos7所以24 7sin1cos7，二面角BPAC的平面角的正弦值为4 77.20解：（1）在某校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从A、B、C、D四首不同曲目中任选一首，共有2416种选法，甲、乙两班选择不同的曲目共有2412A种选法，甲、乙两班选择不同曲目的概率为34.（2）依题意可知，X的可能取值为1，2，3，4，则4411464P X，244422212464CP X,23444363464C AP X，44464464AP XX的分布列为：10 12136123646464EX61754646421解：（1）fx的定义域为0,，且11axfxaxx.当0a时，0fx在0,上恒成立，函数fx在0,上单调递减.fx在0,上没有极值点；当0a时，令0fx得10,xa；列表所以当1xa时，fx取得极小值.综上，当0a时，fx在0,上没有极值点；当0a时，fx在0,上有一个极值点.（2）对1x，2xfxaxaxa恒成立等价于ln1xxxax对1x恒成立，设函数ln1xxxg xx（1x），则2ln21xxgxx（1x），令函数ln2xxx，则11xx（1x），当1x时，110 xx，所以x在1,上是增函数，又31ln30，42ln 40，所以存在03,4x，使得00 x，即00gx，且当01,xx时，0 x，即0g x，故g x在01,x在上单调递减；当0,xx时，0 x，即0g x，故g x在0,x上单调递增；所以当1,x时，g x有最小值00000ln1xxxg xx，由00 x得00ln20 xx，即00ln2xx，11 所以00000021xxxg xxx，所以0ax，又03,4x，所以实数a的最大整数值为3.22解：（1）直线l的参数方程是3212xtmy（t为参数），消去参数t可得直线l的普通方程为30 xym曲线C的极坐标方程是2cos，化为22cos，所以曲线C的直角坐标方程为2211xy.（2）将3212xtmyt（t为参数）代入方程2211xy，得22311122tmt，即223320tmtmm.由0，解得13m，所以21 22t tmm1 21PAPBt t，221mm，解得12m或12或 1，都满足0，所以12m或1m或12m.23解：（1）当0a，1fxxx1,012,011,1xxxx所以当0 x时，10fx，满足题意；当01x时，1 2fxx，由0fx得120 x，得12x，所以102x；当1x时，10fx，不合题意.综上，不等式0fx的解集为1,2（2）由0fxx得1axxx，12 则方程0fxx有三个不同的解等价于函数ya的图象和函数1yxxx的图象有三个不同交点，因为1yxxx1,01,011,1x xxxx x，画出其图象，如图所示，结合图象可知，函数ya的图象和函数1yxxx的图象有三个不同交点时，则有01a即10a，所以实数a的取值范围为1,0.