(2017-2019)高考理数真题分类汇编专题07 平面解析几何(选择题、填空题)(教师版).pdf

专题 07平面解析几何（选择题、填空题）1【2019 年高考全国卷理数】已知椭圆 C 的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过 F2的直线与 C 交于 A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则 C 的方程为x2 y21A2x2y21B32x2y21D54x2y21C43【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设F2B n，则AF22n,BF1 AB 3n，由椭圆的定义有2a BF1 BF24n,AF12a AF22n4n29n29n21在AF1B中，由余弦定理推论得cosF1AB22n3n3在AF1F2中，由余弦定理得4n 4n 22n2n2213 4，解得n 32x2y22a 4n 2 3,a 3,b a c 31 2,所求椭圆方程为1，故选 B32222法二：由已知可设F2B n，则AF22n,BF1 AB 3n，由椭圆的定义有2a BF1 BF24n,AF12a AF22n4n2422n2cosAF2F1 4n2在AF1F2和BF1F2中，由余弦定理得2，2n 42n2cosBF2F19n又AF2F1,BF2F1互补，cosAF2F1cosBF2F1 0，两式消去cosAF2F1,cosBF2F1，得3n26 11n2，解得n 32a 4n 2 3,a 3,b2 a2c2 31 2,所求椭圆方2x2y2程为1，故选 B32【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养2【2019 年高考全国卷理数】若抛物线 y2=2p(p0)的焦点是椭圆A2C4【答案】Dx23py2p1的一个焦点，则 p=B3D8x2y2pp21的一个焦点，【解析】因为抛物线y 2px(p 0)的焦点(,0)是椭圆所以3p p ()，3pp222解得p 8，故选 D【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p的方程，从而解出p，或者利用检验排除的方法，如p 2时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（2，0），排除 A，同样可排除 B，C，从而得到选 Dx2y23【2019 年高考全国卷理数】设 F 为双曲线 C：221(a 0,b 0)的右焦点，O为坐标原点，以abOF为直径的圆与圆x2 y2 a2交于 P，Q 两点若PQ OF，则 C 的离心率为A2C2【答案】A【解析】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ x轴，B3D5|PA|又Q PQ|OF|c，|OA|c,PA为以OF为直径的圆的半径，2c c c，P,，22 2c2c2c2c2222又P点在圆x y a上，a，即 a,e 2 22a44222e 2，故选 A【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈 解答本题时，准确画图，由图形对称性得出 P 点坐标，代入圆的方程得到 c 与 a 的关系，可求双曲线的离心率x2y24【2019 年高考全国卷理数】双曲线 C：=1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为42坐标原点，若PO=PF，则 PFO 的面积为A3 24B3 22C2 2【答案】AD3 2【解析】由a 2,b 2,c a2b26,Q PO PF,xP6，2又 P 在 C 的一条渐近线上，不妨设为在y bb263x上，则yPxP，aa222SPFO1133 2，故选 AOF yP62224【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积1x2y25【2019 年高考北京卷理数】已知椭圆221（ab0）的离心率为，则2abAa2=2b2Ca=2b【答案】B【解析】椭圆的离心率e 故选 B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识 基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和a,b,c的关系可得满足题意的等式.6【2019 年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C：x2 y21|x|y就是其中之一（如图）给出下列三个结论：B3a2=4b2D3a=4bc12,c a2b2，化简得3a2 4b2，a2曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过2；曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3其中，所有正确结论的序号是AC【答案】CBD|x|3x23x242【解析】由x y 1 x y得，y x y 1x，y，1,1厔 0,x244322222所以x可取的整数有 0，1，1，从而曲线C:x y 1 x y恰好经过(0，1)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，(1，0)，(1，1)，共 6 个整点，结论正确.22x2 y222由x y 1 x y得，x y1，解得x y 2，所以曲线C上任意一点到原点的距22222离都不超过2.结论正确.如图所示，易知A0,1,B1,0,C1,1,D0,1，四边形ABCD的面积S四边形ABCD131111，很明显“心形”区域的面积大于2S四边形ABCD，即“心22形”区域的面积大于 3，说法错误.故选 C.【名师点睛】本题考查曲线与方程曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.7【2019 年高考 天津 卷理 数】已 知抛 物线y 4x的 焦 点为F，准线 为l，若l与 双曲线2x2y221(a 0,b 0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|（O为原点），则双曲2ab线的离心率为A2C2B3D5【答案】D【解析】抛物线y 4x的准线l的方程为x 1，双曲线的渐近线方程为y 则有A(1,),B(1,)，2bx，abbaa2b2b 4，b2a，AB，aaca2b2e 5.aa故选 D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把AB 4 OF用a,b,c表示出，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.8【2019 年高考浙江卷】渐近线方程为y=0 的双曲线的离心率是A22B1C2【答案】CD2【解析】因为双曲线的渐近线方程为x y 0，所以a b，则c a2b22a，所以双曲线的离心率e c2.故故C.a【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.9【2018 年高考北京卷理数】在平面直角坐标系中，记d 为点 P（cos，sin）到直线x my 2 0的距离，当，m 变化时，d 的最大值为A1C3【答案】C【解析】Q cos2sin21，所以 d 的最，P 为单位圆上一点，而直线x my 2 0过点 A（2，0）B2D4大值为 OA+1=2+1=3,故选 C.【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化10【2018 年高考全国故卷理数】直线x y 2 0分别与轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2 y2 2上，则ABP面积的取值范围是A2，68B4，3 2D2 2，3 2C2，【答案】A【解析】直线x y 2 0分别与x轴，y轴交于A，B两点，A2,0,B0,2,则AB 2 2.点 P 在圆(x2)y 2上，圆心为（2，0），则圆心到直线的距离d1222022 2 2.2d22,6.故点 P 到直线x y 2 0的距离d2的范围为2,32，则SABP2AB d2故答案为 A.1【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出 A，B 两点坐标得到AB，再计算圆心到直线的距离，得到点 P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可.x2y211【2017 年高考浙江卷】椭圆1的离心率是94A133B53C23D59【答案】Bx2y29451的离心率e【解析】椭圆，故选 B9433【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式，建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等x2y212【2018 年高考全国理数】已知F1，F2是椭圆C：221(a b 0)的左、右焦点，A是C的左ab顶点，点P在过A且斜率为AC3的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P 120，则C的离心率为62313BD1214【答案】D【解析】因为PF1F2为等腰三角形，F1F2P 120，所以|PF2|F1F2|2c，由AP的斜率为33可得tanPAF2，66所以sinPAF2112，cosPAF2，1313PF2sinPAF2由正弦定理得，AF2sinAPF212c213=所以，acsin(PAF)53121123213213所以a 4c，e 1131，故选 D4【名师点睛】解决椭圆的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于,的方程或不等式，再根据,的关系消掉得到,的关系式，而建立关于,的方程或不等式，要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等.x2y213【2017 年高考全国理数】已知椭圆 C：221(a b 0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线ab段 A1A2为直径的圆与直线bx ay 2ab 0相切，则 C 的离心率为A6323B33CD13【答案】A【解析】以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a，圆的方程为x2 y2 a2，直线bx ay 2ab 0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d 2aba b22 a，整理可得222a2 3b2，即a 3(a c)即2a2 3c2，c26c22从而e 2，则椭圆的离心率e，故选 Aa33a32【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：求出 a，c，代入公式 ec；a只需要根据一个条件得到关于a，b，c 的齐次式，结合 b2a2c2转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围).x214【2018 年高考浙江卷】双曲线 y21的焦点坐标是3A(2，0)，(2，0)B(2，0)，(2，0)C(0，2)，(0，2)D(0，2)，(0，2)【答案】Bx2【解析】设 y21的焦点坐标为(c,0)，因为c2 a2b2 31 4，c 2，3所以焦点坐标为(2,0)，故选 Bx2y215【2017 年高考天津卷理数】已知双曲线221(a 0,b 0)的左焦点为F，离心率为2若经ab过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为x2y2A144x2y2B188x2y2C148【答案】Bx2y2D18440 x2y21 c 4,a b 2 2 1，【解析】由题意得a b,0(c)88故选 B【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线的方程是高考的常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于a,b,c的方程（组），解方程（组）求出a,b的值另外要注意巧设双曲线方程的x2y2技巧：双曲线过两点可设为mx ny 1(mn 0)，与221共渐近线的双曲线可设为ab22x2y222(0)x y(0)，等轴双曲线可设为22abx2y216【2018 年高考全国故理数】双曲线221(a 0,b 0)的离心率为3，则其渐近线方程为abAy 2xCy 【答案】ABy 3xDy 2x23x2cbb2c2a222，【解析】因为e 3，所以2，所以 e 1 31 22aaaa因为渐近线方程为y bx，所以渐近线方程为y 2x，故选 Aax2y2217【2017 年高考全国故理数】若双曲线C:221（a 0，的一条渐近线被圆x2 y2 4b0）ab所截得的弦长为 2，则C的离心率为A2C2【答案】AB3D2 33x2y2【解析】由几何关系可得，双曲线221a 0,b 0的渐近线方程为bx ay 0，ab圆心2,0到渐近线的距离为d 2 1 3，22则点2,0到直线bx ay 0的距离为d 2ba0a2b24(c2a2)2b3，3，即2ccc24 2整理可得c 4a，则双曲线的离心率e a222故选 A【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a，c，代入公式e c；a只需要根据一个条件得到关于a，b，c 的齐次式，结合 b2c2a2转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)5x2y2x，18【2017 年高考全国 III 理数】已知双曲线 C：221(a0，b0)的一条渐近线方程为y 2abx2y2且与椭圆1有公共焦点，则 C 的方程为123x2y2A1810 x2y2C154【答案】Bx2y2B145x2y2D143x2y2b【解析】双曲线 C：221(a0，b0)的渐近线方程为y x，aba在椭圆中：a 12,b 3，c a b 9,c 3，故双曲线 C 的焦点坐标为(3,0)，22222据此可得双曲线中的方程组：b5,c 3,c2 a2b2，解得a2 4,b2 5，a2xy21故选 B则双曲线C的方程为45【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出a，b 的值.如果已知双曲线的渐xy2近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为22 0，再由条件ab求出 的值即可.x2y219【2018 年高考全国 III 理数】设F1，F2是双曲线C:221(a 0,b 0)的左、右焦点，O是坐标ab原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P若|PF，则C的离心率为1|6|OP|A5C3【答案】C【解析】由题可知PF2b，OF2c，PO a，在RtPOF2中，cosPF2O B2D2PF2OF22b，c22在RtPF1F2中，cosPF2O PF2 F1F2 PF12 PF2F1F2b，cb24c2(6a)2b，即c2 3a2，2b2cce 3，故选 C20【2018 年高考全国 I 理数】设抛物线 C：y2=4 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为M，N 两点，则FM FN=A5C7【答案】D【解析】根据题意，过点（2，0）且斜率为B6D82的直线与 C 交于3uuuu r uuu r22的直线方程为y x2，332y x23y26y 8 0，与抛物线方程联立得，消元整理得：解得M1,2,N4,4，又F1,0，y2 4xuuuu ruuu r所以FM 0,2,FN 3,4，从而可以求得FM FN 0324 8，故选 D.【名师点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程，消元化简求解，从而确定出M1,2,N4,4，之后借助于抛物线的方程求得F1,0，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N 的坐标，应用根与系数的关系得到结果.21【2017 年高考全国 I 理数】已知 F 为抛物线 C：y2 4x的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于 A、B 两点，直线 l2与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为A16C12B14D10uuuu r uuu r【答案】A【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4)，直线l1的方程为y k1(x1)，y2 4x2k1242k1242222联立方程，得k1x 2k1x 4x k1 0，x1 x2，22k1k1y k1(x1)22k24同理直线l2与抛物线的交点满足x3 x4，2k22442k1242k2484 由抛物线定义可知|AB|DE|x1 x2 x3 x42p 2222kkk1k212216816，当且仅当k1 k21（或1）时，取等号k12k22故选 A【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则2p2p2p2p2p1|DE|2|AB|AB|DE|4(，则，所以cos22222sin(+)sincossincos2111sin2cos222)4(22)(cossin)4(2)4(22)16222sincossincossinx222【2018 年高考全国 I 理数】已知双曲线C:y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直3线与C的两条渐近线的交点分别为M，N若OMN为直角三角形，则|MN|A32B3D4C2 3【答案】B【解析】由题可知双曲线C的渐近线的斜率为3，且右焦点为F(2,0)，从而可得FON 30，3所以直线MN的倾斜角为60或120，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60，可以得出直线MN的方程为y 分别与两条渐近线y 3(x 2)，3333求得M(3,3)，x和y x联立，N(,)，3322所以|MN|(3)2(3 3232)3，故选 B2x2y223【2018 年高考天津卷理数】已知双曲线221(a 0,b 0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于轴ab的直线与双曲线交于A，B 两点.设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d2 6，则双曲线的方程为x2y21A412x2y21C39【答案】Cx2y21B124x2y21D93【解析】设双曲线的右焦点坐标为Fc,0（c0），则xA xB c，c2y2b2由221可得：y ，abab2b2不妨设：Ac,Bc,，aa双曲线的一条渐近线方程为：bx ay 0，据此可得：d1则d1d2bcb2bcb2bcb2bcb2，d2，2222cca ba b2bc 2b 6，则b 3,b2 9，ccb29双曲线的离心率：e 1 1 2，22aaax2y2据此可得：a 3，则双曲线的方程为1.392本题选择 C 选项.【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出a，b 的值如果已知双x2y2曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为22 0，ab再由条件求出 的值即可.解答本题时，由题意首先求得A,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后求解 a 的值即可确定双曲线方程.24【2019 年高考浙江卷】已知圆C的圆心坐标是(0,m)，半径长是.若直线2x y 3 0与圆 C 相切于点A(2,1)，则m=_，=_【答案】2，5【解析】由题意可知kAC 此时r|AC|11 AC:y1(x2)，把(0,m)代入直线 AC 的方程得m2，2241 5.【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC的斜率，进一步得到其方程，将(0,m)代入后求得m，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.x2y21的左焦点为F，25【2019 年高考浙江卷】已知椭圆点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF95的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_【答案】15【解析】方法 1：如图，设 F1为椭圆右焦点.由题意可知|OF|=|OM|=c=2，P(x,y)，可得(x2)2 y216，由中位线定理可得PF1 2|OM|4，设321x2y2与方程，1联立，可解得x ,x（舍）2295315x又点P在椭圆上且在轴的上方，求得P2,2，所以kPF152 15.12方法 2：（焦半径公式应用）由题意可知|OF|=|OM|=c=2，由中位线定理可得PF1 2|OM|4，即aexp 4 xp 3，2315从而可求得P2,2，所以kPF152 15.12【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.故故利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.x2y226【2019 年高考全国卷理数】设F1，F2为椭圆 C+1的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象3620限.若MF1F2为等腰三角形，则 M 的坐标为_.【答案】3,15【解析】由已知可得a 36,b 20,c a b 16,c 4，22222 MF1 F1F2 2c 8，MF2 4设点M的坐标为x0,y0 x00,y00，则SMF1F2又SMF1F21 F1F2 y0 4y0，214 8222 4 15,4y0 4 15，解得y0 15，22x36201520，1，解得x0 3（x0 3舍去）M的坐标为3,15【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落MF2，设出M的实了直观想象、逻辑推理等数学素养解答本题时，根据椭圆的定义分别求出MF1、坐标，结合三角形面积可求出M的坐标.x2y227【2019 年高考全国卷理数】已知双曲线 C：221(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，abr uuu u ruuu ruuu ruuu过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若F1BF2B 0，则 C 的离心率为1A AB，F_【答案】2【解析】如图，uuu ruuu r由F1A AB,得F1A AB.又OF1 OF2,得 OA 是三角形F1F2B的中位线，即BF2OA,BF2 2OA.uuu r uuu u r由F，得F1B F2B,OA F1A,OB OF1，AOB AOF1，1BF2B 0又 OA 与 OB 都是渐近线，BOF2 AOF1,o又BOF2AOB AOF1，BOF2 AOF1 BOA 60,又渐近线 OB 的斜率为bcb tan60 3，该双曲线的离心率为e 1()21(3)2 2aaa【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题解答本题时，通过向量关系得到F1A AB和OA F1A，从 而 可 以 得 到AOB AOF1，再 结 合 双 曲 线 的 渐 近 线 可 得BOF2 AOF1,进 而 得 到BOF2 AOF1 BOA 60o,从而由b tan60 3可求离心率.a2y228【2019 年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x 21(b 0)经过点（3，4)，则该b双曲线的渐近线方程是.【答案】y 2x42【解析】由已知得3 21，解得b 2或b 2，b2因为b0，所以b 2.因为a 1，所以双曲线的渐近线方程为y 2x.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的a,b密切相关，事实上，标准方程中化1 为 0，即得渐近线方程.29【2019 年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，P 是曲线y x到直线+y=0 的距离的最小值是.【答案】4【解析】当直线+y=0 平移到与曲线y x最小.由y 14(x 0)上的一个动点，则点 Px4相切位置时，切点 Q 即为点 P，此时到直线+y=0 的距离x4 1，得x 2(x 2舍)，y 3 2，即切点Q(2,32)，x2则切点 Q 到直线+y=0 的距离为故答案为42 3 21 122 4，【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.30【2018 年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，A 为直线l:y 2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若ABCD 0，则点 A 的横坐标为_【答案】3【解析】设Aa,2a(a 0)，则由圆心C为AB中点得Cuuu r uuu r a5,a,2易得e C:x5xa yy2a0，与y 2x联立解得点D的横坐标xD1,所以D1,2.uuu ruuu ra 5,2a，所以AB 5a,2a,CD 12uuu r uuu ra 52 2a2a 0,a 2a 3 0,a 3或a 1，由ABCD 0得5a12因为a 0，所以a 3.【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.uuuu ruuuu rx2231【2018 年高考浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆+y=m(m1)上两点 A，B 满足AP=2PB，则当4m=_时，点 B 横坐标的绝对值最大【答案】5【解析】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由AP 2PB得x1 2x2，1 y1 2(y21)，所以y1 2y23，uuu ruuu rx12x2222因为A，B在椭圆上，所以 y1 m，y2 m，444x22所以(2y23)2 m，432mx22所以(y2)，2443m12x2222与，x2(m 10m9)4，y2 m对应相减得y2444当且仅当m5时取最大值【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求使问题得以解决.y232【2017 年高考北京卷理数】若双曲线x 1的离心率为3，则实数 m=_m2【答案】2【解析】a 1,b m，所以22c1 m3，解得m2a1【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题解题时要22222注意a、b、c的关系，即c a b，以及当焦点在x轴时，哪些量表示a,b，否则很容易出现错误最后根据离心率的公式计算即可.x2y233【2018 年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线221(a 0,b 0)的右焦点F(c,0)ab到一条渐近线的距离为【答案】2【解析】因为双曲线的焦点F(c,0)到渐近线y 3c，则其离心率的值是_2bc0bcb b，x，即bx ay 0的距离为22caa b所以b 3212132222c，因此a c b c c c，a c，e24422x2y2x2y234【2018 年高考北京卷理数】已知椭圆M:221(a b 0)，双曲线N:221 若双曲线Nabmn的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_【答案】3 12【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c3c，再根据椭圆定义得c3c 2a，所以椭圆M的离心率为c2n3 1 双曲线N的渐近线方程为y x，由题意得双曲线a13mm2n2m23m2n222N的一条渐近线的倾斜角为，所以2 tan3，所以e 4，所以223mmm3e2x2y235【2017 年高考山东卷理数】在平面直角坐标系xOy中，双曲线221(a 0,b 0)的右支与焦点ab为F的抛物线x2 2pxp 0交于A,B两点，若AF BF 4 OF，则该双曲线的渐近线方程为_【答案】y 2x2【解析】由抛物线定义可得：|AF|BF|=yAppp yB 4 yA yB p,222x2y22pb222122222因为a a y 2pb y a b 0,所以yA yB2 p a 2b 渐近线方程bax2 2py为y 2x.2【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：（1）掌握方程；（2）掌握其倾斜角、斜率的求法；（3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都与椭圆的有关问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax By 1的形式，当A 0，B 0，A B时为椭圆，当AB 0时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点的距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理22x236【2017 年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，双曲线 y21的右准线与它的两条渐近线分别3交于点P，Q，其焦点是F1,F2，则四边形F1PF2Q的面积是_【答案】2 3【解析】右准线方程为x 33 103，渐近线方程为y x，10310设P(3 10 303 1030,)，F1(10,0)，F2(10,0)，,)，则Q(1010101030 2 310所以四边形F1PF2Q的面积S 2 10 x2y2x2y2b【名师点睛】（1）已知双曲线方程221(a 0,b 0)求渐近线：22 0 y x；ababa（2）已知渐近线y mx可设双曲线方程为m x y(0)；（3）双曲线的焦点到渐近线的距222离为b，垂足为对应准线与渐近线的交点x2y237【2017 年高考全国 I 理数】已知双曲线 C：221(a 0,b 0)的右顶点为 A，以 A 为圆心，bab为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点若故MAN=60，则 C 的离心率为_【答案】2 33【解析】如图所示，作AP MN，因为圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点，则MN为双曲线的渐近线y bx上的点，且A(a,0)，|AM|AN|b，a而AP MN，所以PAN 30o，点A(a,0)到直线y bx的距离|AP|a|b|1ba22，在RtPAN中，cosPAN|PA|，代入计算得a2 3b2，即a 3b，|NA|由c2 a2b2得c 2b，所以e c2b2 3a33b【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：求解渐近线，直接把双曲线后面的 1 换成 0 即可；双曲线的焦点到渐近线的距离是b；双曲线的顶点到渐近线的距离是ab.c38【2017 年高考全国 II 理数】已知F是抛物线C:y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N若M为FN的中点，则FN _【答案】6【解析】如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点F，作MBl于点B，NAl于点A，由抛物线的解析式可得准线方程为x 2，则|AN|2,|FF|4，在直角梯形ANFF中，中位线|BM|AN|FF|3，2由抛物线的定义有：|MF|MB|3，结合题意，有|MN|MF|3，故FN FM NM 336【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化1和抛物线C：39y2 4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C【2018 年高考全国故理数】已知点M1，交于A，B两点若AMB90，则k _【答案】22y1 y24y1 4x122.【解析】设Ax1,y1,Bx2,y2，则2，所以y1 y2 4x14x2，所以k x xy y1212y2 4x2取 AB 中点Mx0,y0,分别过点 A,B 作抛物线准线x 1的垂线，垂足分别为A,B，设 F 为C的焦点.因为AMB 90,所以MM 111AB AF BFAA BB.222因为M为 AB 中点，所以MM平行于轴.因为 M(1,1)，所以y01，则y1 y2 2，即k 2.故答案为 2.【名师点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设Ax1,y1,Bx2,y2，利用点差法得到k y1 y24，取 AB 中点Mx0,y0,分别过点 A,B 作抛物线准线x 1的垂x1 x2y1 y2线，垂足分别为A,B，由抛物线的性质得到MM 1AA BB，进而得到斜率.2