南昌大学第五届高数竞赛理工类答案.doc

南昌大学第五届高等数学竞赛(理工类)试题答案
一、1. , 2. , 3. ,
4. , 5. .
二、1、B 2、C 3、A 4、D 5、B
三、由于，，
因此=，所以在点连续. 2分
， 3分
同理. 4分
求得
5分
当时，不存在，因此在点不连续，同理在点不连续. 6分
= =0
于是在点是可微. 8分
四、原式= 3分
= 5分
= 6分

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五、，
. 2分
由格林公式得，于是， 3分
其中为的正向，令，，则
6分
= 7分
六、设凸弧的方程为，依题意得
. 3分
两边对求导得
,
即
.
通解为
, 6分
由得.
故所求曲线为
. 7分

七、
=
=, 3分
当充分大时，级数是交错级数.
=0，且当充分大时，因此级数收敛. 4分
其次，考虑级数，由于
=，
因此级数发散， 5分
所以级数条件收敛. 6分
八、
= 2分
= 3分
=, 5分
. 6分
由罗毕达法则得
. 7分

九、令，
, 2分
. 7分
十、因为 , 2分
所以.
, 4分
, 6分
由夹逼准得=. 7分

十一、=,
. 2分
令, 则
=， 4分
， 6分
= 7分
十二、因为连续，也连续，所以由积分中值定理存在使
. 2分
又，即， 4分
所以
6分

故. 7分