1、幂运算一、知识网络归纳二、学习重难点学习本章需关注几种问题:在运用(、为正整数),(,、为正整数且),(、为正整数),(为正整数),(,为正整数)时,要特别注意各式子成立条件。上述各式子中底数字母不但仅表达一种数、一种字母,它还可以表达一种单项式,甚至还可以表达一种多项式。换句话说,将底数看作是一种“整体”即可。注意上述各式逆向应用。如计算,可先逆用同底数幂乘法法则将写成,再逆用积乘办法则计算,由此不难得到成果为1。通过对式子变形,进一步领略转化数学思想办法。犹如底数幂乘法就是将乘法运算转化为指数加法运算,同底数幂除法就是将除法运算转化为指数减法运算,幂乘方就是将乘方运算转化为指数乘法运算等。
2、在经历上述各个式子推导过程中,进一步领悟“通过观测、猜想、验证与发现法则、规律”这一重要数学研究办法,学习并体会从特殊到普通归纳推理数学思想办法。一、同底数幂乘法1、同底数幂乘法同底数幂相乘,底数不变,指数相加.公式表达为:2、同底数幂乘法可推广到三个或三个以上同底数幂相乘,即 注意点:(1) 同底数幂乘法中,一方面要找出相似底数,运算时,底数不变,直接把指数相加,所得和作为积指数.(2) 在进行同底数幂乘法运算时,如果底数不同,先设法将其转化为相似底数,再按法则进行计算.例题:例1:计算列下列各题(1) ; (2) ; (3) 简朴练习:一、选取题1. 下列计算对的是( ) A.2+3=5
3、B.23=5 C.3m+2m=5m D.2+2=24 2. 下列计算错误是( )A.52-2=42 B.m+m=2m C.3m+2m=5m D.2m-1= 2m 3. 下列四个算式中33=23 3+3=6 32=5 p2+p2+p2=3p2 对的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4. 下列各题中,计算成果写成底数为10幂形式,其中对的是( ) A.100102=103 B.10001010=103 C.100103=105 D.1001000=104 二、填空题1. 44=_;44=_。 2、 b2bb7=_。3、103_=1010 4、(-)2(-)35=_。5、5( )=2(
4、 ) 4=18 6、(+1)2(1+)(+1)5=_。中档练习:1、 (-10)310+100(-102)运算成果是( ) A.108 B.-2104 C.0 D.-104 2、(-)6(-)5=_。 3、10m10m-1100=_。 4、a与b互为相反数且都不为0,n为正整数,则下列两数互为相反数是( ) A.2n-1与-2n-1 B.2n-1与2n-1 C.2n与2n D.2n与2n 5. 计算(-)n(-)n-1等于( ) A.(-)2n-1 B.(-)2n-1 C.(-)2n-1 D.非以上答案6. 7等于( )A.(-2 )5 B、(-2)(-5) C.(-)34 D.(-)(-)6
5、 7、解答题(1) 2(-3) (2) (-)23 (3) 2(-)2(-)3 (4) (-2)(-)2(-3)(-)3(5) (6)x4m x4+m(-x)(7) x6(-x)5-(-x)8 (-x)3 (8) -3(-)4(-)57. 计算(-2)1999+(-2)等于( ) A.-23999 B.-2 C.-21999 D.21999 8. 若2n+1x=3 那么x=_较难练习:一、 填空题:1. =_,=_.毛2. =_,=_.3. =_.4. 若,则x=_.5. 若,则m=_;若,则a=_;若,则y=_;若,则x=_. 6. 若,则=_. 二、选取题7. 下面计算对的是( ) A;
6、B; C; D8. 8127可记为( ) A.; B.; C.; D.9. 若,则下面多项式不成立是( ) A.; B.;C.; D.10. 计算等于( ) A.; B.-2; C.; D.11. 下列说法中对的是( )A. 和 一定是互为相反数 B. 当n为奇数时,和相等C. 当n为偶数时,和相等 D. 和一定不相等三、解答题:12. 计算下列各题: (1);(2)(3); (4)。13. 已知土地上,一年内从太阳得到能量相称于燃烧煤所产生能量,那么国内土地上,一年内从太阳得到能量相称于燃烧煤多少公斤?14 (1) 计算并把成果写成一种底数幂形式:;。(2)求下列各式中x:;。15计算。16
7、. 若,求x值.二、幂乘方与积乘方1、幂乘方幂乘方,底数不变,指数相乘.公式表达为:.2、积乘方积乘方,把积每一种因式分别乘方,再把所得幂相乘.公式表达为:.注意点:(1) 幂乘方底数是指幂底数,而不是指乘方底数. (2) 指数相乘是指幂指数与乘方指数相乘,一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区别开. (3) 运用积乘办法则时,数字系数乘方,应依照乘方意义计算出成果;(4) 运用积乘办法则时,应把每一种因式都分别乘方,不要漏掉其中任何一种因式.例题:1.计算:表达 .2.计算:(x)= .3计算:(1); 简朴练习:一、判断题1、 ( ) 2、 ( )3、 ( ) 4、 ( )5、 ( )二
8、、填空题:1、;2、,;3、,;4、;5、若 , 则_.三、选取题1、等于( )A、 B、 C、 D、2、等于( )A、 B、 C、 D、3、可写成( )A、 B、 C、 D、4等于( )A B C D无法拟定5计算成果是( )A B C D6若N=,那么N等于( )A B C D7已知,则值为( )A15 B C D以上都不对中档练习:一、填空题1.计算:(y)+(y)= .2.计算:3.(在括号内填数)二、选取题4.计算下列各式,成果是是( )Ax2x4; B(x2)6; Cx4+x4; Dx4x4.5.下列各式中计算对的是( )A(x)=x; B.(a)=a; C.(a)=(a)=a;
9、D.(a)=(a)=a.6.计算成果是( )A.; B.; C.; D.7.下列四个算式中:(a3)3=a3+3=a6;(b2)22=b222=b8;(x)34=(x)12=x12;(y2)5=y10,对的算式有( )A0个; B1个; C2个; D3个.8.下列各式:;,计算成果为有( )A.和; B.和; C.和; D.和. 较难练习:1、2(anbn)2+(a2b2)n2、(-2x2y)3+8(x2)2(-x2)(-y3)3、-2100X0.5100X(-1)1994+4.已知2m=3,2n=22,则22m+n值是多少5已知,求值6.已知,求值7.已知xn=5,yn=3,求 (x2y)2
10、n值。8比较大小:218X310与210X3159.若有理数a,b,c满足(a+2c-2)2+|4b-3c-4|+|-4b-1|=0,试求a3n+1b3n+2- c4n+210、太阳可以近似看作是球体,如果用V、r分别代表球体积和半径,那么,太阳半径约为6X105千米,它体积大概是多少立方千米?(取3)三、同底数幂除法1、同底数幂除法同底数幂相除,底数不变,指数相减.公式表达为:.2、零指数幂意义任何不等于0数0次幂都等于1.用公式表达为:.3、负整数指数幂意义任何不等于0数-n(n是正整数)次幂,等于这个数n次幂倒数,用公式表达为4、绝对值不大于1数科学计数法 对于一种不大于1且不不大于0正
11、数,也可以表达到形式,其中.注意点:(1) 底数不能为0,若为0,则除数为0,除法就没故意义了;(2) 是法则一某些,不要漏掉.(3) 只要底数不为0,则任何数零次方都等于1.例题:计算下列各题:(1)(m-1)(m-1);(2)(x-y)(y-x)(x-y);(3)(a)(-a)(a);(4) 2-(-)+().简朴练习:1. a=a. 2.若5=1,则k= .33+()= .4用小数表达-3.02110= 。5.计算:= ,= .6.在横线上填入恰当代数式:,.7.计算: = , = 8.计算:= .9.计算:_10(-a)(-a)= ,9273= 。中档练习:1.如果aa=a,那么x等于
12、( ) A3 B.-2m C.2m D.-32.设a0,如下运算成果:(a) a=a;aa=a;(-a)a=-a;(-a)a=a,其中对的是( )A. B. C. D. 3.下列各式计算成果不对的是( )A.ab(ab)2=a3b3; B.a3b22ab=a2b; C.(2ab2)3=8a3b6; D.a3a3a3=a2.4.计算:成果,对的是( )A.; B.; C. ; D.5. 对于非零实数,下列式子运算对的是( )A ; B;C ; D.6若,,则等于( ) A.; B.6 ; C.21; D.20.7.计算:; ; . 8.地球上所有植物每年能提供人类大概大卡能量,若每人每年要消耗大
13、卡植物能量,试问地球能养活多少人?较难练习:1观测下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,则89个位数字是( )A.2 ; B4; C8; D6.2.若故意义,则x取值范畴是( ) Ax3; Bx2 ; Cx3或x2; Dx3且x2. 3.某种植物花粉直径约为35000纳米,1纳米=米,用科学记数法表达该种花粉直径为 . 4. 已知,则x= 5计算:.6.已知:,请你计算右边算式求出S值7. 解方程:(1); (2).8. 已知,求值.9.已知,求(1);(2).10.化简求值:(2x-y)(2x-y)(y-2x),其中x=2,y
14、=-1。运用幂运算法则四个注意一、注意法则拓展性对于具有三个或三个以上同底数幂相乘(除)、幂(积)乘方等运算,法则依然合用。例1. 计算:(1)(2)(3)二、注意法则底数和指数广泛性运算法则中底数和指数,可取一种或几种详细数;也可取单独一种字母或一种单项式,甚至可以是一种多项式。例2. 计算:(1)(2)三、注意法则可逆性逆向应用运算法则,由结论推出条件,或将某些指数进行分解。例3. 在下面各小题括号内填入恰当数或代数式:(1)(2)四、注意法则应用灵活性在运用法则时,要仔细观测题目特点,采用恰当、巧妙解法,使解题过程简便。例4. 计算:幂运算办法总结 作为整式乘除前奏,幂运算看似非常简朴,
15、实际运用起来却灵活多变。但是,只要熟悉运算某些基本办法原则,问题就迎刃而解了。并且通过这些办法原则学习,不但能使咱们熟悉幂运算,还可得到全面思维训练。当前对此做一摸索。 幂运算基本知识就四条性质,写作四个公式:aman=am+n (am)n=amn (ab)m=ambm aman=am-n只要理解掌握公式形状特点,熟悉其基本要义,直接应用普通都容易,虽然运用公式求其中未知指数难度也不大。问题1、已知a7am=a3a10,求m值。思路摸索:用公式1计算等号左右两边,得到等底数同幂形式,按指数也相等规则即可得m值。办法思考:只要是符合公式形式都可套用公式化简试一试。办法原则:可用公式套一套。但是,
16、渗入幂代换时,就有点难度了。问题2、已知xn=2,yn=3,求(x2y)3n值。思路摸索:(x2y)3n中没有xn和yn,但运用公式3就可将(x2y)3n化成具有xn和yn运算。因而可简解为,(x2y)3n =x6ny3n=(xn)6(yn)3=2633=1728办法思考:已知幂和规定代数式不一致,设法将代数式变形,变成已知幂运算形式即可代入求值。办法原则:整体不同靠一靠。然而,遇到求公式右边形式代数式该怎么办呢?问题3、已知a3=2,am=3,an=5,求am+2n+6值。思路摸索:试逆用公式,变形出与已知同形幂即可代入了。简解:am+2n+6=ama2na6=am(an)2(a3)2=32
17、54=300办法思考:遇到公式右边代数式时,普通倒过来逆用公式,把代数式展开,然后裔入。办法原则:逆用公式倒一倒。当底数是常数时,会有更多变化,如何思考呢?问题4、已知22x+322x+1=48,求x值。思路摸索:方程中未知数出当前两项指数上,因此必要统一成一项,即用公式把它们变成同类项进行合并。由此,可考虑逆用公式1,把其中常数整数指数幂,化作常数作为该项系数。简解:22x+322x+1=22x2322x21=822x222x =622x=48 22x=8 2x=3 x=1.5办法思考:冪底数是常数且指数中有常数也有未知数时,普通把常数整数指数冪化成常数作为其他冪系数,然后进行其他运算。问题
18、5、已知64m+12n33m=81,求正整数m、n值。思路摸索:幂底数不一致使运算没法进行,如何把它们变一致呢?把常数底数都变成质数底数就统一了。简解:64m+12n33m =24m+134m+12n33m=24m+1-n3m+1=81=34 m、n是正整数 m+1=4,4m+1n=0 m=3,n=13办法思考:冪底数是常数时,普通把它们分解质因数,然后按公式3展开,即可化成同底数冪了。问题6、已知2a=3,2b=6,2c=12,求a、b、c关系。思路摸索:求a、b、c关系,核心看2a、2b、2c关系,即3、6、12关系。6是32倍,12是62倍,因此2c=22b=42a,由此可求。简解:由题
19、意知2c=22b=42a 2c=2b+1=2a+2 c=b+1=a+2办法思考:底数是相似常数时,普通把冪值同乘以恰当常数变相似,然后比较它们指数。办法原则:系数质数和指数,常数底数造一造。综合用到以上办法就更需要引起注意。问题7、已知2x=m,2y=n,求22x+3y+1值。思路摸索:规定代数式与已知距离甚远,考虑逆用公式将其变成已知代数式形式。简解:22x+3y+1=22x23y21=(2x)2(2y)32=m2n32=2m2n3办法思考:综合运用化质数、逆用公式和整体代人办法。问题8、已知a=244,b=333,c=422,比较a、b、c大小。思路摸索:同底数幂比较大小观测指数大小即可,
20、底数不能变相似,只得逆用公式将指数变相似,比较底数大小了。简解:a=244=2411=(24)11=1611, b=333=3311=(33)11=2711 c=422=4211=1611 a=cb办法思考:化同指数冪是比较底数不能化相似冪又一种办法。思考归纳:幂运算一方面要纯熟掌握幂四条基本性质,不但会直接套用公式,还要能逆用。另一方面要注意规定代数式与已知条件联系,没明显关系时经常逆用公式将其分解。第三,底数是常数时普通将其化成质数积乘方形式,有常数指数普通求出其值,作为该项系数。第四,底数不同而指数可变相似可通过比较底数拟定其大小关系,还可通过积乘方逆运算相乘。思考原则可用公式套一套,整体不同靠一靠,逆用公式倒一倒,常数底数造一造,系数质数和指数,综合运用瞧一瞧。