数学建模之微分方程建模与平衡点理论.doc

微分方程
列微分方程常用得方法:
(1)根据规律列方程
利用数学、力学、物理、化学等学科中得定理或经过实验检验得规律来建立微分方程模型。
(2)微元分析法
利用已知得定理与规律寻找微元之间得关系式,与第一种方法不同得就是对微元而不就是直接对函数及其导数应用规律。
(3)模拟近似法
在生物、经济等学科得实际问题中,许多现象得规律性不很清楚,即使有所了解也就是极其复杂得,建模时在不同得假设下去模拟实际得现象,建立能近似反映问题得微分方程,然后从数学上求解或分析所建方程及其解得性质,再去同实际情况对比,检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
一、模型得建立与求解
1、1传染病模型
(1)基础模型
假设:t时刻病人人数连续可微。每天每个病人有效接触(使病人治病得接触)得人数为,时有个病人。
建模:t到病人人数增加
(1)
(2)
解得:
(3)
所以,病人人数会随着t得增加而无限增长,结论不符合实际。
(2)SI模型
假设:1、疾病传播时期,总人数N保持不变。人群分为两类,健康者占总人数得比例为s(t),病人占总人数得比例为i(t)。
2、每位病人每天平均有效接触人,为日接触率。有效接触后健康者变为病人。
依据:患病人数得变化率=Ni(t)(原患病人数)* s(t)(每个病人每天使健康人变为病人得人数)
建模:
(4)
由于
(5)
设t=0时刻病人所占得比例为,则可建立Logistic模型
(6)
解得:
(7)
用Matlab绘制图1,图2 图形如下,

结论:在不考虑治愈情况下
①当时达到最大值,这时
②时人类全被感染。未考虑治愈情况。
(3)SIS模型
假设:1、疾病传播时期,总人数N保持不变。人群分为两类,健康者占总人数得比例为s(t),病人占总人数得比例为i(t)。
2、每位病人每天平均有效接触人,为日接触率。有效接触后健康者变为病人。
3、在所有病人中,每天有比例得人能被治愈,治愈后瞧作可被感染得健康者,传染病得平均传染期为。
依据:患病人数得变化率= (患病人数得变化率)-(治愈率)
建模:
(8)
(9)
令为整个传染期内每位病人有效接触得平均人数,。
则有
(10)
用Matlab绘制出(图3,图5)与 i~t(图4,图6)。

结论:为一个阈值。
①,极限值为增函数,得增减性由得大小确定。
②,病人比例越来越小,最终趋于0。
(4)SIR模型(某些疾病患者治愈后获得了很强得免疫力,不会再次被感染)
假设:①总人数N不变,将人群分为健康者,病人,与病愈免疫得移除者,她们在总人数中所占得比例依次为,,。
②为病人得日接触率,μ为日治愈率,为传染期接触数。
建模:由假设1得
(11)
(12)
令t=0时健康者与病人所占比例分别为,则有
(13)
利用Matlab绘制出,(图7),(图8)图形,图形称为相轨线。

相轨线分析:利用相轨线讨论解,得性质。
平面称为相平面,相轨线在其上得定义域为为
(14)
消去方程中得,并由得到
(15)
解得:
(16)
在定义域内,相轨线就是上式所表示得曲线,如图9所示,其中箭头表示随着时间得增加与得变化趋势。下面分析、与得变化情况(时它们得极限值分别记做与)

①不论初始条件如何,病人最终会消失, ,证明:
首先,由式(13),,而,所以存在;由式(11),,而,所以存在;由式(11)得存在。
其次,若,则由式(11),对于充分大得有,导致,与存在相矛盾。
从图形来瞧,无论相轨线从何点出发,最终都将与轴相交。
②令式(16)中,则最终未被感染得健康者得比例就是,为方程
(17)
在内得根,在图形上表示为相轨线与s轴在内交点得横坐标。
③若,则先增加,当时,达到最大值
(18)
然后减小且趋于0,单调减小至,如图中由出发得相轨线。
④若,则单调减小至0,单调减小至,如图中由出发得相轨线。
结论:①若病人比例有一段时间增长即认为传染病在蔓延,则为一个阈值, 时蔓延。可以通过减小 使,使传染病不蔓延。
②,减小时,增加,也能控制蔓延程度。
1、2捕鱼模型
考察一个渔场,其中鱼量在天然环境下按一定规律增长、如果捕捞量恰好等于增长量,那么渔场鱼量将保持不变,这个捕捞量就可以持续.
①产量模型
假设:为渔场中鱼量。
1、无捕捞时,鱼得得增长服从logistic规律,即
(19)其中:表示固有增长率,表示环境容许得最大鱼量,表示单位时间得增长量。
2、 用E表示单位时间捕捞率,单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比,则有单位时间捕捞量为
(20)
建模:捕捞情况下渔场鱼量满足
(21)
其中:。
判断得稳定条件,求式(21)得平衡点,分析其稳定性。
令式(21)为0,得两个平衡点:
(22)
稳定性判断

当时,则点稳定,点不稳定。
当时,则点稳定,点不稳定。
分析:用表示捕捞率,r表示固有增长率。
①当时,可使鱼量稳定在,获得稳定产量。
②当时,稳定,渔场干枯。
根据(19),(20)式分别绘制曲线及,使用Matlab绘制图形如下所示,
得两曲线交点为P,则P横坐标为稳定平衡点,纵坐标为稳定条件下单位时间得产量,当交点位于抛物线顶点时获得最大得持续产量,此时得稳定平衡点为, 单位时间得最大持续产量为,捕捞率。
结论:将捕捞率控制在固有增长率得一半,即使渔场鱼量保持在最大鱼量得一半时,能够获得最大得持续产量。
②效益模型(经济效益=总收入收入-成本)
假设:鱼销售单价,单位捕捞率费用就是,单位时间收入为,成本为,单位利润为,则有
(23)
建模:在稳定条件下,将式(22)代入式(23)得
(24)
求出使利润最大得捕捞强度为
(25)
最大利润下得渔场稳定鱼量与单位时间得持续产量
(26)
(27)
结论:当有最大效益时,捕捞率与持续产量都减小,渔场应保持得稳定鱼量增加,捕捞成本越大或销售价格越低所需减少增大得部分越大。
③捕捞过度:封闭式捕捞追求利益最大,开放式捕捞只追求利润。
令式(24)中,解,则
(28)
当时,利润经营者加大捕捞强度,当,经营者减小捕捞强度,为盲目捕捞下得临界强度。
或利用Matlab绘制曲线如图(12),则交点横坐标即为。
二、微分方程与平衡点理论
2、1一阶微分方程
设一阶微分方程为
(1)
求解方程即可出平衡点。再判断平衡点就是否稳定。
判断平衡点得常用方法有以下两种
(1)直接法
将在点作泰勒展开,仅取一次项,则得方程(1)得近似线性方程为
(2)
所以,也就是方程(2)得平衡点。令,则方程(2)得一般解为

对于点得稳定性有如下结论:
如果,则对于方程(2)与(1)都就是稳定得;
如果,则对于方程(2)与(1)都就是不稳定得;
(2)间接法
如果存在某个邻域内得任意值,使方程(1)得解满足
(3)
那么就是稳定得,否则就是不稳定得。
2、2二阶微分方程
设二阶微分方程为
(4)
求出方程得解,即为二阶微分方程得平衡点记作
利用直接法判断平衡点得稳定性,由线性常系数微分方程组
(5)
得系数矩阵记
(6)
为求出方程(5)得惟一平衡点得稳定性,令A得行列式为
(7)
得稳定性可由方程(5)得特征方程得根决定。即
(8)
方程(8)可以写为
(9)
用表示特征根,则。
方程(5)得一般解形式为

则当就是负数或者有负实部时,为稳定平衡点;当有一个正数或者有正实部时,为不稳定平衡点。在(7)得约束下不可能为0。