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第二章 平面向量
2．1平面向量得实际背景及基本概念
练习（P77）
1、略、 2、，、 这两个向量得长度相等，但它们不等、
3、，，，、
4、（1）它们得终点相同； （2）它们得终点不同、
习题2、1 A组（P77）
1、 （2）、
3、与相等得向量有：；与相等得向量有：；
与相等得向量有：、
4、与相等得向量有：；与相等得向量有：；
与相等得向量有：
5、、 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×、
习题2、1 B组（P78）
1、海拔与高度都不就是向量、
2、相等得向量共有24对、 模为1得向量有18对、 其中与同向得共有6对，与反向得也有6对；与同向得共有3对，与反向得也有6对；模为得向量共有4对；模为2得向量有2对
2．2平面向量得线性运算
练习（P84）
1、图略、 2、图略、 3、（1）； （2）、
4、（1）； （2）； （3）； （4）、
练习（P87）
1、图略、 2、，，，，、 3、图略、
练习（P90）
1、图略、
2、，、
说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案、 值得注意得就是与反向、
3、（1）； （2）； （3）； （4）、
4、（1）共线； （2）共线、
5、（1）； （2）； （3）、 6、图略、
习题2、2 A组（P91）
1、（1）向东走20 km； （2）向东走5 km； （3）向东北走km；
（4）向西南走km；（5）向西北走km；（6）向东南走km、
2、飞机飞行得路程为700 km；两次位移得合成就是向北偏西53°方向飞行500 km、
3、解：如右图所示：表示船速，表示河水
得流速，以、为邻边作□，则
表示船实际航行得速度、
在Rt△ABC中，，，
所以
因为，由计算器得
所以，实际航行得速度就是，船航行得方向与河岸得夹角约为76°、
4、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）、
5、略
6、不一定构成三角形、 说明：结合向量加法得三角形法则，让学生理解，若三个非零向量得与为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量得有向线段一定能构成三角形、
7、略、 8、（1）略； （2）当时，
9、（1）； （2）； （3）； （4）、
10、，，、
11、如图所示，，，
，、
12、，，，，
，，、
13、证明：在中，分别就是得中点，
所以且，
即；
同理，，
所以、
习题2、2 B组（P92）
1、丙地在甲地得北偏东45°方向，距甲地1400 km、
2、不一定相等，可以验证在不共线时它们不相等、
3、证明：因为，而，，
所以、
4、（1）四边形为平行四边形，证略
（2）四边形为梯形、
证明：∵，
∴且
∴四边形为梯形、
（3）四边形为菱形、
证明：∵，
∴且
∴四边形为平行四边形
又
∴四边形为菱形、
5、（1）通过作图可以发现四边形为平行四边形、
证明：因为，
而
所以
所以，即∥、
因此，四边形为平行四边形、
2．3平面向量得基本定理及坐标表示
练习（P100）
1、（1），； （2），；
（3），； （4），、
2、，、
3、（1），； （2），；
（3），； （4），
4、∥、 证明：，，所以、所以∥、
5、（1）； （2）； （3）、 6、或
7、解：设，由点在线段得延长线上，且，得
，
∴ ∴
∴，所以点得坐标为、
习题2、3 A组（P101）
1、（1）； （2）； （3）、
说明：解题时可设，利用向量坐标得定义解题、
2、
3、解法一：，
而，、 所以点得坐标为、
解法二：设，则，
由可得，，解得点得坐标为、
4、解：，、
，，、
，所以，点得坐标为；
，所以，点得坐标为；
，所以，点得坐标为、
5、由向量共线得，所以，解得、
6、，，，所以与共线、
7、，所以点得坐标为；
，所以点得坐标为； 故
习题2、3 B组（P101）
1、，、
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以、
2、（1）因为，，所以，所以、、三点共线；
（2）因为，，所以，所以、、三点共线；
（3）因为，，所以，所以、、三点共线、
3、证明：假设，则由，得、
所以就是共线向量，与已知就是平面内得一组基底矛盾,
因此假设错误，、 同理、 综上、
4、（1）、 （2）对于任意向量，都就是唯一确定得，
所以向量得坐标表示得规定合理、
2．4平面向量得数量积
练习（P106）
1、、
2、当时，为钝角三角形；当时，为直角三角形、
3、投影分别为，0，、 图略
练习（P107）
1、，，、
2、，，，、
3、，，，、
习题2、4 A组（P108）
1、，，、
2、与得夹角为120°，、
3、，、
4、证法一：设与得夹角为、
（1）当时，等式显然成立；
（2）当时，与，与得夹角都为，
所以
所以 ；
（3）当时，与，与得夹角都为，
则
所以 ；
综上所述，等式成立、
证法二：设，，
那么
所以 ；
5、（1）直角三角形，为直角、
证明：∵，
∴
∴，为直角，为直角三角形
（2）直角三角形，为直角
证明：∵，
∴
∴，为直角，为直角三角形
（3）直角三角形，为直角
证明：∵，
∴
∴，为直角，为直角三角形
6、、
7、、
，于就是可得，
，所以、
8、，、
9、证明：∵，，
∴，
∴为顶点得四边形就是矩形、
10、解：设，
则，解得，或、
于就是或、
11、解：设与垂直得单位向量，
则，解得或、
于就是或、
习题2、4 B组（P108）
1、证法一：
证法二：设，，、
先证
，
由得，即
而，所以
再证
由得 ，
即，因此
2、、
3、证明：构造向量，、
，所以
∴
4、得值只与弦得长有关，与圆得半径无关、
证明：取得中点，连接，
则，
又，而
所以
5、（1）勾股定理：中，，则
证明：∵
∴、
由，有，于就是
∴
（2）菱形中，求证：
证明：∵，
∴、
∵四边形为菱形，∴，所以
∴，所以
（3）长方形中，求证：
证明：∵ 四边形为长方形，所以，所以
∴、
∴，所以，所以
（4）正方形得对角线垂直平分、 综合以上（2）（3）得证明即可、
2．5平面向量应用举例
习题2、5 A组（P113）
1、解：设，
则，
由得，即
代入直线得方程得、 所以，点得轨迹方程为、
2、解：（1）易知，∽，,
所以、
（2）因为
所以，因此三点共线，而且
同理可知：，所以
3、解：（1）；
（2）在方向上得投影为、
4、解：设，得合力为，与得夹角为，
则，； ，与得夹角为150°、
习题2、5 B组（P113）
1、解：设在水平方向得速度大小为，竖直方向得速度得大小为，
则，、
设在时刻时得上升高度为，抛掷距离为，则
所以，最大高度为，最大投掷距离为、
2、解：设与得夹角为，合速度为，与得夹角为，行驶距离为、
则，、 ∴、
所以当，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短、
3、（1）
解：设，则、 、
将绕点沿顺时针方向旋转到，相当于沿逆时针方向旋转到，
于就是
所以，解得
（2）
解：设曲线上任一点得坐标为，绕逆时针旋转后，点得坐标为
则，即
又因为，所以，化简得
第二章 复习参考题A组（P118）
1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×、
2、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）、
3、，
4、略解：
，
，
，
5、（1），；
（2），； （3）、
6、与共线、
证明：因为，，所以、 所以与共线、
7、、 8、、 9、、
10、
11、证明：，所以、
12、、 13、，、 14、
第二章 复习参考题B组（P119）
1、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）、
2、证明：先证、
，、
因为，所以，于就是、
再证、
由于，
由可得，于就是
所以、 【几何意义就是矩形得两条对角线相等】
3、证明：先证
又，所以，所以
再证、
由得，即
所以 【几何意义为菱形得对角线互相垂直，如图所示】
4、，
而，，所以
5、证明：如图所示，，由于，
所以，
所以
所以，同理可得
所以，同理可得，，所以为正三角形、
6、连接、
由对称性可知，就是得中位线，、
7、（1）实际前进速度大小为（千米／时），
沿与水流方向成60°得方向前进；
（2）实际前进速度大小为千米／时，
沿与水流方向成得方向前进、
8、解：因为，所以，所以
同理，，，所以点就是得垂心、
9、（1）； （2）垂直；
（3）当时，∥；当时，，
夹角得余弦；
（4）
第三章 三角恒等变换
3．1两角与与差得正弦、余弦与正切公式
练习（P127）
1、、
、
2、解：由，得；
所以、
3、解：由，就是第二象限角，得；
所以、
4、解：由，得；
又由，得、
所以、
练习（P131）
1、（1）； （2）； （3）； （4）、
2、解：由，得；
所以、
3、解：由，就是第三象限角，得；
所以、
4、解：、
5、（1）1； （2）； （3）1； （4）；
（5）原式=；
（6）原式=、
6、（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=、
7、解：由已知得，
即，
所以、 又就是第三象限角，
于就是、
因此、
练习（P135）
1、解：因为，所以
又由，得，
所以
2、解：由，得，所以
所以
3、解：由且可得，
又由，得，所以、
4、解：由，得、 所以，所以
5、（1）； （2）；
（3）原式=； （4）原式=、
习题3、1 A组（P137）
1、（1）；
（2）；
（3）；
（4）、
2、解：由，得，
所以、
3、解：由，得，
又由，得，
所以、
4、解：由，就是锐角，得
因为就是锐角，所以，
又因为，所以
所以
5、解：由，得
又由，得
所以
6、（1）； （2）； （3）、
7、解：由，得、
又由，就是第三象限角，得、
所以
8、解：∵且为得内角
∴，
当时，
，不合题意，舍去
∴
∴
9、解：由，得、
∴、
∴、
、
10、解：∵就是得两个实数根、
∴，、
∴、
11、解：∵
∴
12、解：∵
∴
∴
又∵，∴
13、（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）、
14、解：由，得
∴
15、解：由，得
∴
16、解：设，且，所以、
∴
17、解：，、
18、解：，即
又，所以
∴
∴
19、（1）； （2）； （3）； （4）、
习题3、1 B组（P138）
1、略、
2、解：∵就是得方程，即得两个实根
∴，
∴
由于，所以、
3、反应一般得规律得等式就是（表述形式不唯一）
（证明略）
本题就是开放型问题，反映一般规律得等式得表述形式还可以就是：
，其中，等等
思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳、 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力得提高、
4、因为，则
即
所以
3．2简单得三角恒等变换
练习（P142）
1、略、 2、略、 3、略、
4、（1）、 最小正周期为，递增区间为，最大值为；
（2）、 最小正周期为，递增区间为，最大值为3；
（3）、 最小正周期为，递增区间为，最大值为2、
习题3、2 A组（ P143）
1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略；
（4）提示：用代替1，用代替；
（5）略； （6）提示：用代替；
（7）提示：用代替，用代替； （8）略、
2、由已知可有、、、、、、①，、、、、、、②
（1）②×3－①×2可得
（2）把（1）所得得两边同除以得
注意：这里隐含与①、②之中
3、由已知可解得、 于就是
∴
4、由已知可解得，，于就是、
5、，最小正周期就是，递减区间为、
习题3、2 B组（P143）
1、略、
2、由于，所以
即，得
3、设存在锐角使，所以，，
又，又因为，
所以
由此可解得， ，所以、
经检验，就是符合题意得两锐角、
4、线段得中点得坐标为、 过作垂直于轴，交轴于，、
在中，、
在中，，
、
于就是有 ，
5、当时，；
当时，
，此时有；
当时，
，此时有；
由此猜想，当时，
6、（1），其中
所以，得最大值为5，最小值为﹣5；
（2），其中
所以，得最大值为，最小值为；
第三章 复习参考题A组（P146）
1、、 提示：
2、、 提示：
3、1、
4、（1）提示：把公式变形；
（2）； （3）2； （4）、 提示：利用（1）得恒等式、
5、（1）原式=；
（2）原式=
=；
（3）原式=
=；
（4）原式=
6、（1）； （2）；
（3）、 提示：；
（4）、
7、由已知可求得，，于就是、
8、（1）左边=
=右边
（2）左边=
=右边
（3）左边=
=右边
（4）左边=
=右边
9、（1）
递减区间为
（2）最大值为，最小值为、
10、
（1）最小正周期就是；
（2）由得，所以当，即时，得最小值为、 取最小值时得集合为、
11、
（1）最小正周期就是，最大值为；
（2）在上得图象如右图：
12、、
（1）由得；
（2）、
13、如图，设，则，
，
所以，
当，即时，得最小值为、
第三章 复习参考题B组（P147）
1、解法一：由，及，可解得，
，所以，，
、
解法二：由 得，，所以、
又由，得、
因为，所以、
而当时，；
当时，、
所以，即
所以，、
2、把两边分别平方得
把两边分别平方得
把所得两式相加，得，
即，所以
3、由 可得 ，、
又，所以，于就是、
所以
4、
由得，又，
所以，
所以，
，, 所以，
5、把已知代入，得、
变形得，，
本题从对比已知条件与所证等式开始，可发现应消去已知条件中含得三角函数、
考虑，这两者又有什么关系？及得上解法、
5、6两题上述解法称为消去法
6、、
由 得，于就是有、 解得、
得最小值为，
此时得取值集合由，求得为
7、设，，，，则，
于就是
又得周长为2，即，变形可得
于就是、
又，所以，、
8、（1）由，可得
解得或（由，舍去）
所以，于就是
（2）根据所给条件，可求得仅由表示得三角函数式得值，
例如，，，，，等等、
??
??
??
??
数学必修四答案详解
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