大学数学-武汉大学2009数学(非数学类)竞赛模拟试题(2)及解答.pdf

武汉大学 2009 数学（非数学类）竞赛模拟试题（2）武汉大学 2009 数学（非数学类）竞赛模拟试题（2）一、填空题 1、若有一、填空题 1、若有3331112nnixi=+?，则，则lim=nnx 2、已知 2、已知+=2422301ln(1)0tan2()0 xtxt edtxxf xax在在0 x=处连续，试确定参数处连续，试确定参数a的值。3、设函数的值。3、设函数()f x可导，且，可导，且，00()f=10()()xnnnF xtf xtd=t，则，则20()limnxF xx=4、级数 4、级数211333()mmnmnm nnm=+的和为：的和为：5、已知 5、已知234111()ydxydxy dxy dxdxy+=，则，则()xf y=二、若 二、若()f x满足，且对时有满足，且对时有11()f=1x 221()()fxxfx=+，证明：，证明：lim()xf x存在，且值小于存在，且值小于14+。三、设。三、设1()sinnkkf xak=x，且，且|()|sin|f x x)，又为常数，试证，又为常数，试证 1 2(,iain=?1|nkkka=四、设函数在闭区间上连续，在开区间内大于零，并且满足四、设函数在闭区间上连续，在开区间内大于零，并且满足()f x0 1,0 1(,)232()()axfxf x=+ax（为常数），又曲线（为常数），又曲线()yf x=与所围成的图形与所围成的图形1,xy=0S的面积值为 2，求函数的面积值为 2，求函数()yf x=；并问为何值时，图形；并问为何值时，图形aS绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。ox五、若为内的连续函数，且满足 五、若为内的连续函数，且满足()f t(,)[phone]()()|(,)xyztf tfxyzdxdydztt+=+，试确定，试确定314()f 与与312(f)的值。六、已知，求级数。的值。六、已知，求级数。11111110nnnnnnnnnna xna xa x+=1nnna x=七、设二阶常系数线性微分方程七、设二阶常系数线性微分方程xypyqyle+=的一个特解为的一个特解为21()xxyex=+e，试确定常数，试确定常数,p q l，并求该方程得通解。八、设函数，并求该方程得通解。八、设函数()f x在上可导，且满足方程在上可导，且满足方程,ba)0,0(ba)()()(22)(bfabdxxfebaabxbx=+证明：存在使 证明：存在使),(ba0)()(2=+ff成立。九、证明：成立。九、证明：2()()Lyxf y dydxf x?0)，其中为圆周曲线，其中为圆周曲线L221()()(xayaa+=正向，正向，()f x连续取正值。连续取正值。1武汉大学 2009 数学（非数学类）竞赛模拟试题（2）解答 武汉大学 2009 数学（非数学类）竞赛模拟试题（2）解答 一、填空题 1、若有1、若有3331112nnixi=+?，则，则lim=nnx 解：由33311212()ii i+=+?2 2211212()(ii i+=+?)所以 33321111211212()()nnniixi iii=11ni=+?111122 111()(niiin=+)故有：2limnnx=2、已知2、已知+=2422301ln(1)0tan2()0 xtxt edtxxf xax在在0 x=处连续，试确定参数处连续，试确定参数a的值。的值。解：由+=[phone]ln(1)d2ln(14)lim()limlim26xtxxxxxxtetxef xx ex ex e468x=+22444242426240088limlim368(68)xxxxxxxx ex ex ex ex ex=4 而()f x在处连续，故0 x=0(0)lim()xff x=所以有43=a 3、设函数3、设函数()f x可导，且，可导，且，00()f=10()()xnnnF xtf xtd=t，则，则20()limnxF xx=解：令，则nuxt=n0011()()()()nxxnnnnF xf xtd xtf u dunn=故有 102221000011122()()()()limlimlimlimnxnnnnnnxxxxf u duf xnxnnF xf xnxxnxn=x 0101022()()lim()nnxf xffnxn=4、级数4、级数211333()mmnmnm nnm=+的和为：的和为：解：22222211111111111133333333333 3333()()()()mmnmmnnmmnnmnmnmnmnmnmnmnm nm nm nmnmnnmnnmmnnmnm=+2等式右端第二式正好是左端将与对调的结果，所以其和相等，故 mn22111111133323 323()()mmnnmnmnmnnm nmnnnm=+利用2100111()()()nnnnnnddnxnxxxxdxdxxx=x 则有222221111111111 33133323 32322 43213()()()()mmnnmnmnmnnm nmnnnm=+9=5、已知5、已知234111()ydxydxy dxy dxdxy+=，则，则()xf y=解：由题设条件，注意到：42111()(3)yyyyy=+，可有4411111()()yydxdxyy=考虑11()()YdxdxY=，显然0Ydx，且10dxY，从而有1dxYYdx=1 （*）对（*）式两边求导数得：21()YYdxYYYdx=两边再求导数得：,ln,cYYYY YYxcY xY=ln 即：441111()(ln;lnc)ycyxxyy=二、若二、若()f x满足，且对时有满足，且对时有11()f=1x 221()()fxxfx=+，证明：，证明：lim()xf x存在，且值小于存在，且值小于14+。证：有积分公式，知11()()()xf xffx dx=由题设知，故0()fx()f x在1 ,)+上是增函数，又11()f=，故当时，所以有：1x 1()f x 12221111111()()()arctan|()xxxxf xffx dxdxdxxxfxx=+4244arctan x=，故 当5a=时旋转体的体积最小。五、若五、若()f t为内的连续函数，且满足 为内的连续函数，且满足(,)[phone]()()|(,)xyztf tfxyzdxdydztt+=+，试确定，试确定314()f 与与312(f)的值。的值。解：由题设知（利用球坐标）22222222323230000331()()|()|()|ttxyzt2f tfxyzdxdydztddf r r drtf r r drt+=+=+=+2 显然，当时，00()f=0t 232012123()()()()tf tf r r drtftt f tt=+=+此为()f t的一阶线性微分方程，解之得：223312122441111344()t dtt dttt341tf tet edtceecc e=+=+=+由得00()f=114c=，故3431111444()()()()tf tefe=1012123()()()()()t 当时，0t ba)()()(22)(bfabdxxfebaabxbx=+证明：存在使 证明：存在使),(ba0)()(2=+ff成立。成立。证明：由)()()(22)(bfabdxxfebaabxbx=+，积分中值定理得：2222()()()a bbxaef bef x dx efba+=令，则)()(2xfexFb=()()F bF=，微分中值定理得：在),(b中至少存在一点使0)(=F 即：0)()(2=+ff 九、证明：九、证明：2()()Lyxf y dydxf x?0)，其中为圆周曲线，其中为圆周曲线L221()()(xayaa+=正向，连续取正值。正向，连续取正值。()f x 证明：设,()y)PQxf yf x=，则有 1()()QPf yxyf x=+，由格林公式，得 1()()()()LDyxf y dydxf ydxdyf xf x=+?，由区域的对称性，有()()DDf y dxdyf x dxdy=故有 11()()()()DDf ydxdyf xdxdyf xf x+=+因为()f x连续取正值，所以有1122()()()()f yf xf xf x+=所以有 122()()()()LDDyxf y dydxf ydxdydxdyf xf x=+?=即 2()()Lyxf y dydxf x?5