2016上海健康医学院自主招生数学模拟试题及答案.docx

2016上海健康医学院自主招生语文模拟试题及答案
一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若集合，，则等于（ ）
A．{0}　　　　　 B．　　　　C．T　　　　　 D． S
2．是“函数的最小正周期为”的 ( )．
　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设是方程的解，则属于区间（ ）
A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D.（3，4）
4．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种
5．一个等差数列共n项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n为 （ ）
A.14 B.16 C.18 D.20
6．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为 （ ）

A. B. C. D. 6
7．已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图（如图所示），则甲、乙两人得
分的中位数之和是 （ ） （ ）
A．62
B．63
C．64
D．65
A
B
C
12.5元
8元
4.5元
10元
6元
D
8. A，B，C，D四个城市之间有笔直的公路相连接，客运车行驶于各城市之间，其票价与路程成正比.具体票价如图，则BD之间的票价应为（ ）
A、7.5元 B、7元
C、8元 D、8.5元

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，其中9-12题必做,在13,14,15题中选做两题,多选以前两题计分,把答案写在答题卷上）．
9. 已知，若，则
10．二项式的展开式中的常数项是
11．随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率为 .

12.已知函数f(x)满足：f(p+q)=f(p)f(q), f(1)=3, 则

= ．
13、极坐标方程所表示的曲线的直角坐标方程是 .
（第15小题）
14、已知都是正数，且则的最小值是 .
15．已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，
圆心到的距离为，，则切线的长
为 _______.

三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本题满分(12分）
已知向量
（I）若求 （II）求的最大值。

17．（本题满分(12分）已知函数是定义在上的奇函数,在上.
（Ⅰ）求函数的解析式;并判断在上的单调性(不要求证明)
（Ⅱ）解不等式.

B
P
A
E
D
C
18．（本题满分14分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求二面角的大小.

19．（本题满分14分）已知直线与轴和轴分别交于A、B两点，椭圆O以原点为中心，A、B为顶点，点C的坐标是，点D的坐标是点P在椭圆O第一象限的部分上.
（1）求椭圆O的方程；（2）若求点P的坐标；（3）求△PAB面积的最大值.

20.（本小题满分14分）一个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了个伙伴；第二天，它又飞出去，找回了个伙伴……，第n天，它又飞出去，找回了个伙伴，已知这只蜜蜂在这n天中它找到的伙伴总数满足：.
（Ⅰ）求这只蜜蜂第1天中它找的伙伴数及这只蜜蜂在第n天中它找的伙伴数.
（Ⅱ）从第一天起，若这只蜜蜂找回的伙伴在家（蜂巢）建造小蜂房，已知第一天建造了个小蜂房，第二天建造了个小蜂房……，第n天建造了个小蜂房；问数列是否是等比数列，使得成立（），若是，请求出数列；若不是，请说明理由。

21．（本题满分14分）对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”。现已知,请解答下列问题:
（Ⅰ）求函数的“拐点”A的坐标;
(Ⅱ）求证的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）；
（Ⅲ）若另一个三次函数G（x）的“拐点”为B（0，1），且一次项系数为0，当，时，试比较与的大小。

参考答案
一、 选择题：1. D. 2.C　3.C　4.C 5.C　6.B 7. B 　8.A
二、填空题：9. 3　10. 15 11. 12. 24 13.
14. 15.
三.解答题:
16．（本题满分分）
解析：（1）；

当=1时有最大值,此时，最大值为。

17. 解：（1） 设，则 …………………1分
…………………2分
又是奇函数，所以…………………3分
=……4分

………………5分
是[-1，1]上增函数 ………………6分
（2）是[-1，1]上增函数，由已知得: …………7分
等价于 …………10分
解得：，所以…………12分
18．解：（1）由平面可得PA^AC
又，所以AC^平面PAB，所以

（2）如图，连BD交AC于点O，连EO，则
EO是△PDB的中位线，\EOPB
\PB平面
（3）如图，取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，
\EFPA又平面，\EF^平面
同理FO是△ADC的中位线，\FOAB\FO^AC由三垂线定理可知\ÐEOF是二面角E－AC－D的平面角.又FO＝AB＝PA＝EF\ÐEOF＝45°而二面角与二面角E－AC－D互补，故所求二面角的大小为135°.

19、A、B两点分别为（-5，0），（0，-3）即长轴在x轴，
椭圆的方程为 4分
（2）设点P坐标为
法一： 点P在椭圆O第一象限的部分上
5分
由得： 6分
与椭圆方程联立得 8分
法二：由得P点在以CD为直径的圆上 6分
与椭圆方程联立得 8分
（3）法一：设P点坐标为，则P点到直线AB的距离：

当时P点在第一象限，此时d取得最大值
14分
法二：设直线与椭圆相切，联立方程组得：

（2）代入（1）得：

解得：点在第一象限
，
14分

20.解：（Ⅰ）∵，或（舍去），
故；………………2分
∵……………………………①
∴…………………………………②
①式减②式得： ，
，
∵，∴，即(且)
∴
又
∴
∴这只蜜蜂在第n天中它找的伙伴数是.………………………………………7分
（Ⅱ）假设存在等比数列
使成立
∴当时，；……10分
当时，，即，所以，……12分
∴存在等比数列为，使得成立（））…14分
21 解：（1） ………………………………1分

令得………………………2分

拐点……………………………………3分
（2）设是图象上任意一点，则，因为关于的对称点为，把代入得左边

右边

右边=右边
在图象上
关于A对称………………………………………7分
结论：①任何三次函数的拐点，都是它的对称中心
②任何三次函数都有“拐点”
③任何三次函数都有“对称中心”（写出其中之一）……9分
（3）设，则………………………10分
，，
，，…………………11分
法一：

……………………………………13分
当时，
当时，。。。。。。。14分
法二： ，当时，且时，，在为凹函数，……………………………………13分
当时，，在为凸函数
…………………………………………14分

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