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数值分析复习试题
第一章 绪论
一. 填空题
1. 为精确值的近似值；为一元函数的近似值；为二元函数的近似值，请写出下面的公式：：

1、
2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。
3、 分别用2.718281，2.718282作数e的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取（三位有效数字），则。
4、 设均具有3位有效数字，则的相对误差限为 0.0055 。
5、 设均具有3位有效数字，则的误差限为 0.01 。
6、 已知近似值是由真值经四舍五入得到,则相对误差限为 0.0000204 .
7、 递推公式如果取作计算,则计算到时,误差为;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 .
8、 精确值，则近似值和分别有 3 位和 4 位有效数字。
9、 若,则x有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5 。
10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差0.02n
11、近似值关于真值有( 2 )位有效数字；
12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；
13、为了使计算 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为，为了减少舍入误差，应将表达式改写为 。
14、改变函数 ()的形式，使计算结果较精确 。
15、设 ，取5位有效数字，则所得的近似值x=_2.3150____.
16、 已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有效数字是 4 。
二、单项选择题：
1、舍入误差是( A )产生的误差。
A. 只取有限位数 B．模型准确值与用数值方法求得的准确值
C． 观察与测量 D．数学模型准确值与实际值
2、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。
A． 6 B． 5 C． 4 D． 7
3、用 1+x近似表示ex所产生的误差是( C )误差。
A． 模型 B． 观测 C． 截断 D． 舍入
4、用1+近似表示所产生的误差是( D )误差。
A． 舍入 B． 观测 C． 模型 D． 截断
5、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
6、( D )的3位有效数字是0.236×102。
(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.54×10－1
7、取计算，下列方法中哪种最好？（　C　　　）
(A)； (B)； (C) ； (D) 。
三、计算题
1. 有一个长方形水池,由测量知长为(50±0.01)米,宽为(25±0.01)米,深为(20±0.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限.
解：设长方形水池的长为L，宽为W,深为H，则该水池的面积为V=LWH
当L=50,W=25,H=20时，有 V=50*25*20=25000(米3)
此时，该近似值的绝对误差可估计为

相对误差可估计为：
而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足

故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为

2.已知测量某长方形场地的长a=110米,宽b=80米.若
试求其面积的绝对误差限和相对误差限.
解：设长方形的面积为s=ab
当a=110,b=80时，有 s==110*80=8800(米2)
此时，该近似值的绝对误差可估计为

相对误差可估计为：
而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足

故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为

绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。
3、设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差

4、计算球体积要使相对误差为1%，问度量半径R允许的相对误差限是多少？
解：令，根据一元函数相对误差估计公式，得

从而得
5.正方形的边长大约为100cm，问怎样测量才能使面积的误差不超过1cm2
n解：da=ds/(2a)=1cm2/(2*100)cm=0.5*10-2cm,即边长a的误差不超过0.005cm时，才能保证其面积误差不超过1平方厘米。
6．假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50.00m和100.00m，且已知其测量误差为0.005m。试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。
解：
=2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325
=2=0.0002

第二章 插值法
一、填空题：
1.设xi(i=0,1,2,3,4)为互异节点，li(x)为相应的四次插值基函数，则
＝(x4+2).
2.设xi(i=0,1,2,3,4，5)为互异节点，li(x)为相应的五次插值基函数，则=
3.已知
4.。
5.设则＝3, =0
6.设和节点则= 4.
7.设则的二次牛顿插值多项式为 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1) 。
8.如有下列表函数:

0.2
0.3
0.4

0.04
0.09
0.16
则一次差商= 0.6 。
9、2、，则过这三点的二次插值多项式中的系数为 -2 ，拉格朗日插值多项式为,或
10、对,差商( 1 ),( 0 )；
11、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为( 0.15 )；
12、设,则，的二次牛顿插值多项式为。
13、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则= 1 ，= ，，当时( )。
14、设一阶差商 ，    则二阶差商
15、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足三阶均差为0，则p(x)是不超过二次的多项式
16、若，则差商 3 。

二、单项选择题：
1、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为( A )。
A． –0．5 B． 0．5 C． 2 D． -2
2、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。
(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，
(B)
(C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，
(D)
3、有下列数表
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f(x)
-2
-1.75
-1
0.25
2
4.25
所确定的插值多项式的次数是（ 　A　 ）。
（A）二次； （B）三次； （C）四次； （D）五次
4、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（　　D　　）

１
1.5
２
2.5
３
3.5

-1
0.5
2.5
5.0
8.0
11.5
(A)； (B)； (C) ； (D) 。
5、设是以为节点的Lagrange插值基函数，则( C )
(A)； （B）； （C）； （D）。
6、由下列数据

0
1
2
3
4

1
2
4
3
-5
确定的唯一插值多项式的次数为( A )
(A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。
三、问答题
1.什么是Lagrange插值基函数?它们有什么特性？
　　答：插值基函数是满足插值条件的n次插值多项式，它可表示为并有以下性质，
2.给定插值点可分别构造Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，它们是否相同？为什么?它们各有何优点？
　　答：给定插值点后构造的Lagrange多项式为 Newton插值多项式为它们形式不同但都满足条件,于是它表明n次多项式 有n+1个零点，这与n次多项式只有n个零点矛盾，故即与是相同的。 是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和应用，但不便于计算，而 每增加一个插值点就增加一项前面计算都有效，因此较适合于计算。
3.Hermite插值与Lagrange插值公式的构造与余项表达式有何异同？
　　答：Hermite插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange插值复什一些，但它们都用基函数方法构造，余项表达式也相似，对Lagrange插值余项表达式为，而Hermite插值余项在有条件的点看作重节点，多一个条件相当于多一点，若一共有m+1个条件，则余项中前面因子为 后面相因子改为即可得到Hermite插值余项。
四、计算题
1、设,求差商
解：，故

根据差商的性质，得

2、求满足下列条件的埃尔米特插值多项式:
解：根据已知条件可求得

代入埃尔米特三次插值多项式公式

3、如有下列表函数:

0
1
2
3
4

3
6
11
18
27
试计算此列表函数的差分表,并给出它的牛顿插值多项式及余项公式.
解：查分表如下：

0
3

1
6
3

2
11
5
1

3
18
7
1
0

4
27
9
1
0
0

N4(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x2+2x+3,0≤x≤1
4、给出的函数表如下：

0.40
0.50
0.60
0.70

－0.916291
－0.693147
－0.510826
－0.356675
试用线性插值和抛物插值求的近似值。

5．已知
x
-1
1
2
F（x）
3
1
-1
请依据上述数据求f(x)的2次Lagrange插值多项式。

6.用插值法求满足以下条件的不超过三次的插值多项式
f(0)=1,f(1)=2,f (2)=9,f’(1)=3,并写出插值余项。
解：根据Lagrange插值多项式和Newton插值多项式得出

设待插值函数为：

根据
得参数则

插值余项为：

7、 已知

1
3
4
5

2
6
5
4
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式，并求的近似值（保留四位小数）。
答案：

差商表为

一阶均差
二阶均差
三阶均差
1
2

3
6
2

4
5
-1
-1

5
4
-1
0

8、已知区间[0.4，0.8]的函数表

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736
如用二次插值求的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。
答案：解： 应选三个节点，使误差 尽量小，即应使尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点最好，实际计算结果， 且

9、取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多项式,并估计误差。
解：

又
故截断误差 。
10、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式及f (1，5)的近似值，取五位小数。
解：

11、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。
用Newton插值方法：差分表：

100

121

144
10
11
12

0.0476190

0.0434783

-0.0000941136
10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)
=10.7227555

12、(10分)已知下列函数表：

0
1
2
3

1
3
9
27
(1)写出相应的三次Lagrange插值多项式；
(2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算的近似值。

解：（1）

（2）均差表：

13、   已知y=f（x）的数据如下
x
0
2
3
f（x）
1
3
2
求二次插值多项式   及f（2.5）
解：      

14、设
（1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足 H（x）以升幂形式给出。
（2）写出余项 的表达式
解 （1）
   （2）

第四章 数值积分
一、填空题
1、求，利用梯形公式的计算结果为 2.5 ，利用辛卜生公式的计算结果为2.333 。
2． n次插值型求积公式至少具有 n 次代数精度，如果n为偶数，则有 n+1 次代数精度。
3． 梯形公式具有1次代数精度，Simpson公式有 3 次代数精度。
4.插值型求积公式的求积系数之和 b-a 。
5、 计算积分,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。
6、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求≈( 12 )。
7、 设f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求( 2.5 )。
8、若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用 477个求积节点。
9、数值积分公式的代数精度为 2 。
10、已知，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得,用三点式求得 。
答案：2.367，0.25
10、 数值微分中，已知等距节点的函数值 ， 则由三点的求导公式，有
11、 对于n+1个节点的插值求积公式 至少具有n次代数精度.
二、单项选择题：
1、等距二点求导公式f¢(x1) »( A )。

2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ A 　 ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
（A）， （B）， （C）， （D），
三、问答题
1.什么是求积公式的代数精确度？如何利用代数精确度的概念去确定求积公式中的待定参数？
　　答：一个求积公式如果当为任意m次多项式时，求积公式精确成立，而当为次数大于m次多项式时，它不精确成立，则称此求积公式具有m次代数精确度。根据定义只要令代入求积公式两端，公式成立，得含待定参数的m+1个方程的方程组，这里m+1为待定参数个数，解此方程组则为所求。
四、计算题
1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.
(1)
　　解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。
令代入公式两端并使其相等，得

解此方程组得，于是有

再令，得
故求积公式具有3次代数精确度。
（2）

（3）
解：令代入公式精确成立，得

解得，
得求积公式
对
故求积公式具有2次代数精确度。
2.求积公式，已知其余项表达式为，试确定系数，使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给出代数精度的次数及求积公式余项。
7.3、根据下面给出的函数的数据表，分别用复合梯形公式和复合辛甫生公式
计算
xk
0.000
0.125
0.250
0.375
0.500
f(xk)
1
0.99739784
0.98961584
0.97672675
0.95885108
xk
0.625
0.750
0.875
1.000

f(xk)
0.93615563
0.90885168
0.87719257
0.84147098

解 用复合梯形公式,这里n=8,,

用复合辛甫生公式: 这里n=4,.可得

4、求A、B使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求(保留四位小数)。
答案：是精确成立，即
得
求积公式为
当时，公式显然精确成立；当时，左=，右=。所以代数精度为3。

5、n=3,用复合梯形公式求的近似值（取四位小数）,并求误差估计。
解：
，时，

至少有两位有效数字。
6、（15分）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算时，试用余项估计其误差。用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。
解：

7、（10分）已知数值积分公式为：
，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。
解：显然精确成立；
时，；
时，；
时，；
时，；
所以，其代数精确度为3。
8、(10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。

或利用余项：

，，
9、（9分）数值求积公式是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？
解：是。因为在基点1、2处的插值多项式为
。其代数精度为1。
10、(10分)取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分的近似值（保留4位小数）。
解：5个点对应的函数值
xi
0
0.5
1
1.5
2
f(xi)
1
0.666667
0.333333
0.181818
0.111111
----------------------------------------------------------（2分）
(1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：

(2) 复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：

11、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：

取f(x)=1,x，令公式准确成立，得：
， ，
f(x)=x2时，公式左右=1/4; f(x)=x3时，公式左=1/5, 公式右=5/24
∴ 公式的代数精度=2
12、  证明定积分近似计算的抛物线公式

具有三次代数精度

证明：当 =1时，
公式左边：  公式右边：   左边=右边
当 =x时           
左边： 右边：左边=右边
当 时 
左边：右边：左边=右边
当 时            
左边： 右边： 左边=右边
当 时左边：
右边：
故 具有三次代数精度  
13、 试确定常数A，B，C和 ，使得数值积分公式

有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？
解 ，该数值求积公式具有5次代数精确度，

第五章 常微分方程
一、填空题
1、求解一阶常微分方程初值问题= f (x,y)，y(x0)=y0的改进的欧拉公式为 。
2、解初值问题的改进欧拉法是

　2　　阶方法。
3、解初始值问题 近似解的梯形公式是
4、解常微分方程初值问题 的梯形格式 是二阶方法 

二、计算题
1.用改进欧拉方法计算初值问题，取步长h=0.1计算到y5。
解：改进的欧拉公式
代入

2. 用梯形法解初值问题取步长h=0.1,计算到x=0.5，并与准确解相比较
解：用梯形法求解公式，得

解得

精确解为

3．用改进的Euler法解初值问题 ；取步长h=0.1计算，并与精确解相比较。(计算结果保留到小数点后4位)

解：改进的尤拉公式为：

代入和，有

代入数据，计算结果如下：
n
0
1
2
3
4
5
xn
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
yn
1
1.1100
1.2421
1.3985
1.5818
1.7949
y(xn）
1
1.1103
1.2428
1.3997
1.5836
1.7974
4.设初值问题，
a) 由Euler方法、取步长h=0.1写出表示上述初值问题数值解的公式；
b) 由改进Euler方法、取步长h=0.1写出上述初值问题数值解的公式。
解：a）根据Euler公式：

3分
b）根据改进Euler公式： 5分

5.设初值问题，
a) 写出由Euler方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；
b) 写出由改进Euler方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式。
解：a）根据Euler公式：

b）根据改进Euler公式：

6、用欧拉方法求

在点处的近似值。
解：等价于
()
记,取,.
则由欧拉公式
,
可得 ,

7、取步长，用预估-校正法解常微分方程初值问题

答案：解：
即
n
0
1
2
3
4
5

0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0

1
1.82
5.8796
10.7137
19.4224
35.0279
8、(10分) 求参数，使得计算初值问题的二步数值方法
的阶数尽量高，并给出局部截断误差的主项。
解：

所以当，即时，
局部截断误差为
局部截断误差的主项为，该方法为二阶方法。
9、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；
解：改进的欧拉法：
所以；
10、（10分）对于一阶微分方程初值问题，取步长，用Euler预报－校正法求的近似值。
解：Euler预报－校正法

11、（10分）用二步法求解一阶常微分方程初值问题，问：如何选择参数的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。
解：局部截断误差为

因此有
局部截断误差主项为，该方法是2阶的。

12、(10分)取步长，求解初值问题，用欧拉预报—校正法求的近似值。
解：（1）欧拉预报-校正法：

13、(8分)已知常微分方程的初值问题：

用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。
，

第六章 方程求根
一、填空题
1、已知方程附近有一个根，构造如下两个迭代公式：

则用迭代公式(1)求方程的根收敛_，用迭代公式(2)求方程的根_发散_。
2、设可微，求方程的根的牛顿迭代格式为 。
3、,要是迭代法局部收敛到，则的取值范围是
4、迭代法的收敛条件是（1） （2）。
5.写出立方根的牛顿迭代公式
6．用二分法求解方程在[1，2]的近似根，准确到10-3，要达到此精度至少迭代 9 次。
7、设可微,求方程的牛顿迭代格式是 ；
8、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为 。
9． 用二分法求方程在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
10、若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10 次。
11、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分10 次。
12、求方程    的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么    1.5
13、  解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有局部平方收敛     
14、  迭代过程 （k=1,2,…）收敛的充要条件是 < 1

二、单项选择题：
1、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=j(x)，则f(x)=0的根是( B )。
(A) y=j(x)与x轴交点的横坐标 (B) y=x与y=j(x)交点的横坐标
(C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=x与y=j(x)的交点
2、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。

3、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。
(A)
(B)
(C)
(D)
4、计算的Newton迭代格式为( B )
(A) ；(B)；(C) ；(D) 。
5、用二分法求方程在区间内的实根，要求误差限为，则对分次数至少为( A )
(A)10； (B)12； (C)8； (D)9。
6、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收敛的是( C )
(A)； (B)； (C)； (D)。
三、问答题
1.什么是不动点？如何构造收敛的不动点迭代函数？
　　答：将方程改写为若使则称点为不动点而就是不动点的迭代函数，迭代函数可以有很多，但必须使构造的满足条件
　　　（1）
　　　（2）
　　　　　若已知，且 时也收敛，称为局部收敛。
2.对于迭代法初始近似，当时为什么还不能断定迭代法收敛？
　　答：迭代法是否收敛一定要按收敛定理的条件判断，定理6.1是全局收敛性，需要在包含的区间上证明且才能说明由出是迭代法收敛
　　如果用局部收敛定理6.2，则要知道不动点为才可由 证明其收敛性，由还不能说明迭代法收敛。
3.怎样判断迭代法收敛的快慢？一个迭代公式要达到P阶收敛需要什么条件？
　　答：衡量迭代法快慢要看收敛阶P的大小，若序列收敛于，记为若存在及，使则称序列为P阶收敛，P越大收敛越快，当P＝1，则越小，收敛越快。一个迭代公式若为的不动点，P为大于1的整数，在连续，且而则此迭代公式为P阶收敛。
4.方程求根的Newton法是如何推出的？它在单根附近几阶收敛？在重根附近是几阶收敛？
　　答：用曲线在点上的切线的零点近似曲线零点得到就是Newton法，在单根附近2阶收敛，当为重根时是线性收敛。
5、简述二分法的优缺点
答：优点(a)计算简单，方法可靠；(b)对f (x) 要求不高(只要连续即可) ；(c)收敛性总能得到保证。缺点(a)无法求复根及偶重根 ; (b)收敛慢
6、画图说明牛顿迭代公式的几何意义。
x
y
o
x*

牛顿迭代公式就是切线与 x 轴交点的横坐标，
所以牛顿法是用切线与 x 轴的交点的横坐标来近
似代替曲线与x 轴交点的横坐标。

四、计算题
1、用二分法求方程的正根，使误差小于0.05.
解　使用二分法先要确定有根区间。本题f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间[1,2]为有根区间。另一根在[-1,0]内，故正根在[1,2]内。用二分法计算各次迭代值如表。

其误差
2. 求方程在=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.
　　(1) ，迭代公式.
　　(2) ,迭代公式.
　　(3)，迭代公式.
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根.
解：（1）取区间且，在且，在中，则L<1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。
（2），在中，且，在中有，故迭代收敛。
（3），在附近，故迭代法发散。
在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取，则

3. 给定函数，设对一切x,存在，而且.证明对的任意常数,迭代法均收敛于方程的根.
解：由于，为单调增函数，故方程的根是唯一的（假定方程有根）。迭代函数，。令，则，由递推有
，即
4. 用Newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字.
　　(1) 在=2附近的根.
　　(2) 在=1附近的根.
解：（1）
Newton迭代法
取，则，取
（2）
令，则，取
5. 应用Newton法于方程,求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性.
解：方程的根为，用Newton迭代法

此公式迭代函数，则，故迭代法2阶收敛。
6.用牛顿法求方程的根，，计算结果准确到四位有效数字。
解：根据牛顿法得

取,迭代结果如下表

所以，方程的根约为0.56714
7、构造求解方程的根的迭代格式，讨论其收敛性，并将根求出来，。
答案：解：令 .
且，故在(0,1)内有唯一实根.将方程变形为

则当时
，
故迭代格式

收敛。取，计算结果列表如下：
n
0
1
2
3

0.5
0.035127872
0.096424785
0.089877325
n
4
5
6
7

0.090595993
0.090517340
0.090525950
0.090525008
且满足 .所以.
8、用牛顿(切线)法求的近似值。取x0=1.7, 计算的值，保留五位小数。
解：是的正根，，牛顿迭代公式为
， 即
取x0=1.7, 列表如下：

1
2
3

1.73235
1.73205
1.73205
9、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。
解：（1），，故收敛；
（2），，故收敛；
（3），，故发散。
选择（1）：，，，，，
，
10、(6分)写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。
解：：，n=0,1,2,…
∴ 对任意的初值,迭代公式都收敛。
11、   设
（1） 写出解 的Newton迭代格式
（2） 证明此迭代格式是线性收敛的
证明：（1）因 ，故 ，由Newton迭代公式：
n=0,1,…
得 ，n=0,1,…
（2）因迭代函数 ，而 ，
又 ，则
故此迭代格式是线性收敛的。
第七章 线性方程组的直接解法
一、填空题
1. , 则= 6 , A的谱半径.
2.设x=（11 0 5 1）T，则= 17 ，= 11 ，.
3.设计算A的行范数 ，列范数 ，F-范数 ，2范数 .
解：

故
4.已知。
5．设x=（3 -1 5 8）T，则= 17 ，= 8 ，=。
6．已知，则A的谱半径 ，则。
7、
8.设x=（1 9 -5 2）T，则= 17 ，= 9 . .
9.
10、设矩阵分解为，则
11、设矩阵的，则。
12、设,则 9 。
13、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为A的各阶顺序主子式均
不为零。
 二、单项选择题：
1、用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为( A ) 。
(A) －4 (B) 3 (C) 4 (D)－9
三、问答题
1.在什么情况下Gauss消去法会出现数值不稳定？如何克服？
　　答：当消元过程中增广矩阵的元素很小时，Gauss消去法会出现数值不稳定，此时采用列主元消去法可克服这一问题。
2．什么是矩阵的条件数？如何判断A是"病态的"或"良态的"？
　　答：A的条件数定义为，这里 为矩阵的任一种从属范数。当 时就认为A为病态矩阵，通常 可认为A是良态的。
3.矩阵满足什么条件才能使A的LU分解存在唯一？如何利用A=LU分解求解不同右端项的方程组？如
　　答：A的顺序主子式 时存在唯一单位下三角阵L及上三角阵U，使A=LU，而当 则方程存在唯一解，此时等价于解 于是由 及可求得Ax=b的解x,同样解Ly＝c及Ux=y和Ly=d,Ux=y则分别得到不同右端项的方程解。
四、计算题
1. 用Gauss消去法求解下列方程组.

解　本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。

故
2. 用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值.
解：先选列主元，2行与1行交换得
消元
3行与2行交换 消元
回代得解

行列式得

3. 用Doolittle分解法求习题1(1)方程组的解.
解：由矩阵乘法得

再由求得

由解得

4.将矩阵分解为单位下三角矩阵和上三角矩阵，其中，然后求解该方程组。（9分）
答案：

求解得；求解得方程的解为：
5.用直接三角分解（Doolittle）法解方程组（不选主元）

解：

6. 设，证明　　
解：
即，另一方面

故
7．设，证明：。
证明：由定义可知：

从而

由此可以看到可由控制。
8.将矩阵分解为单位下三角矩阵和上三角矩阵，其中，
然后求解该方程组。
，
先求解
再解
9、，则A的（Doolittle）LU分解为 。
答案：

10﹑用直接三角分解（Doolittle）法解方程组 。
答案：解：
令得，得.
11、用列主元素消元法求解方程组 。
解：

回代得 。
12、(10分)用Gauss列主元消去法解方程