第二十章-平行四边形中各知识点及配套练习.doc

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第二十章 平行四边形的判定
§20.1 平行四边形的判定
一． 知识点：
1.可以根据平行四边形的原始定义： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定。
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
行四边形的判定习题精选
一、填空
1．用边长分别为2cm，3cm，4cm的两个全等三角形拼成四边形，共能拼成_________个四边形，______________个为平行四边形。
2．在四边形ABCD中，若AB=CD，再添加一个条件为__________，就可以判定四边形ABCD为平行四边形。
3．延长△ABC的中线AD至E，使DE=AD，连接BE，CE，则AB_________CE，AC_________BE。
4．若四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，要判定它为平行四边形，从角的关系看应满足___________，从对角线的关系看应满足_______________。
5．已知E、F、G、H分别为ABCD各边的中点，则四边形EFGH为_______________。
二、选择
6．能识别四边形ABCD是平行四边形的题设是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD
7．点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD，④BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
8．下列结论正确的是（ ）
A．对角线相等且一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一边长为5cm，两条对角线长分别是4cm和6cm的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是平行四边形
9．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）
A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CD
C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
10．如图19－1－26，在ABCD中，E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（ ）。
①AF=CF；②AE=CF；③∠BAE=∠FCD；④∠BEA=∠FCE。
A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或③或④

11．如图19－1－27，在△ABC中，DE∥AB，FD∥BC，EF∥AC，则下列说法中正确的有（ ）个。
①图中共有三个平行四边形；②AF=BF，CE=BE，AD=CD；③EF=DE=DF；
④图中共有三对全等三角形。
A．1 B．2 C．3 D．4

三、解答题
12．如图19－1－28，在ABCD中，E，F为BD上的点，BF=DE，那么四边形AECF是什么图形？试用两种方法证明。

13．已知：在△ABC中，AB=AC，EF是△ABC的中位线，分别交AB，AC于E，F，延长AB到D，使BD=AB，连接CD。求证：。
14．如图19－1－29，ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作两条直线分别与AB，BC，CD，AD交于G，F，H，E四点。求证：四边形EGFH是平行四边形。

15．如图19－1－30，分别以△ABC的三边为边长，在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF。求证：四边形ADEF是平行四边形。

四、思维拓展
16．如图19－1－31，在ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F，点G，H分别为AD，BC的中点，试证明EF和GH互相平分。

17．如图19－1－32，△ABC是边长为4cm的边三角形，P是△ABC内的任意一点，过点P作EF∥AB分别交AC，BC于点E，F，作GH∥BC分别交AB，AC于点G，H，作MN∥AC分别交AB，BC于点M，N，试猜想：EF+GH+MN的值是多少？其值是否随P位置的改变而变化？并说明你的理由。

五、中考热身
18．（2005年苏州市）如图19－1－33，在ABCD中，下列各式不一定正确的是（ ）。
A．∠1+∠2=180°B．∠2+∠3=180°C．∠3+∠4=180°D．∠2+∠4=180°

答案
1．六；三
2．AB∥CD或AD=BC
3．；
4．∠A=∠C，∠B=∠D或∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°；AO=CO，BO=DO
5．平行四边形
6．C 7．B 8．C 9．C 10．D 11．B
12．平行四边形。方法一：连接AC，利用“对角线互相平分的四边形为平行四边形”来证明。
方法二：证△ABE≌△CDF， △AFD≌△CEB，利用“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”来证明。
13．提示：先证明△EBC≌△FCB，得CE=BF，再证。
14．先证△AEO≌△CFO，得OE=OF，同理可得OG=OH，所以四边形EGFH是平行四边形。
15．先证△EDB≌△CFE，可得BD=EF，ED=CF。∵BD=DA，CF=AF，∴ED=AF，EF=DA，∴四边形ADEF是平行四边形。
16．提示：连接GE，EH，HF，GF，先证GE=HF，再证GE∥HF即可。
17．其值为8cm，且不随P位置的改变而变化。
理由：由△ABC为等边三角形可得△AGH也是等边三角形，
∴GH=AG=AM+MG ①，
同理，△BMN也为等边三角形，
∴MN=MB=MG+GB。②
∵MN∥AC，EF∥AB，
∴四边形AMPE为平行四边形，
∴PE=AM，同理，BFPG也为平行四边形，
∴PF=GB，
∴EF=PE+PF=AM+GB。③
①+②+③得EF+GH+MN=AM+GB+MG+GB+AM+MG=2（AM+MG+GB）=2AB=2×4=8cm。
18．D
§20.2 矩形的判定
一． 知识点：
1.可以根据矩形的原始定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是一个矩形。
3. 如果一个四边形的四个角都是直角，那它肯定是一个矩形，有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形的判定习题一
基础与巩固
1．下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）．
A．AB∥CD，AB=CD，AC=BD B．∠A=∠B=∠D=90°
C．AB=BC，AD=CD，且∠C=90° D．AB=CD，AD=BC，∠A=90°
2．已知点A、B、C、D在同一平面内，有6个条件：①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD，④BC=AD，⑤AC=BD，⑥∠A=90°．从这6个条件中选出（直接填写序号）_______
个，能使四边形ABCD是矩形．
3．已知：如图，在ABCD中，O为边AB的中点，且∠AOD=∠BOC．
求证：ABCD是矩形．

4．已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形．

5．已知：如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．求证：四边形EBCF是矩形．

拓展与延伸
6．已知：如图，在ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，且∠BED为直角．求证：四边形ABCD是矩形．

后花园
智力操 如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作3个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．请回答问题并说明理由：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？

参考答案:
1．C
2．（答案不唯一，只要写出一组即可）①②⑥，①③⑥，①②⑤，①③⑤，②④⑤，②④⑥．
3．由ABCD，可得AD∥BC，AB∥DC，∴∠A+∠B=180°，∴∠AOD=∠CDO，∠BOC=∠DCO．又∵∠AOD=∠BOC，∴∠CDO=∠DCO．∴OD=OC．又∵AO=BO，∴△ADO≌△BCO．∴∠A=∠B=90°，∴ABCD是矩形．
4．由等边三角形的性质，可推出∠DMB=∠MBN=∠BND=90°，可得四边形BMDN是矩形．
5．∵AE=AF，∠EAB=∠FAC，AB=AC，∴△AEB≌△AFC．∴EB=FC，∠ABE=∠ACF．
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠EBC=∠FCB．
∵EB=FC，EF=BC，∴四边形EBCF是平行四边形．
∴EB∥FC，∴∠EBC+∠FCB=180°．
∴∠EBC=∠FCB=90°，∴EBCF是矩形．
6．证明：连接OE．在ABCD中，OA=OC，OB=OD．

以AC为斜边的Rt△ACE中，OE为斜边AC上的中线，∴OE=AC，即AC=2OE．
以BD为斜边的Rt△BDE中，OE为斜边BD上的中线，
∴OE=BD，即BD=2OE，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．
智力操 （1）四边形ADEF是平行四边形．
理由：△ABD、△BCE是等边三角形，∠ABD=∠EBC=60°．
∠ABD-∠EBA=∠EBC-∠ABE，即∠DBE=∠ABC．
又∵DB=AB，EB=CB，∴△EDB≌△CAB．∴DE=AC=AF．
同理△CEF≌△CBA，∴EF=AB=DA，∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）当△ABC中的∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．
矩形的判定习题二
一、选择题
1．下列命题中，真命题是（ ）．
A．两组对角分别相等的四边形是矩形;
B．有两个角是直角的四边形是矩形;
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形;
D．有一个角是直角，且一组对边相等的四边形是矩形
2．在矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE=30°，那么△ECD的面积是（ ）
A．2 B． C．
3．如图1所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正确的是结论有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

(1) (2) (3)
二、填空题
1．在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则∠EBC=_______．
2．如图2，矩形ABCD中，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，若AE=1，EF=2，则AB=_____，BC=________．
3．矩形的两条对角线的夹角为120°，矩形的宽为3，则矩形的面积为______．
三、解答题
1．已知：如图3所示，△ABC中，AB=AC，P是BC上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC
于F，CG⊥AB于G．求证：PE+PF=CG．

2．已知：四边形ABCD中，AB=CD，∠A+∠D=180°，AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形．
求证：四边形ABCD是矩形．

答案:
一、1．C 2．C 3．C
二、1．15° 2．2 2 3．9
三、1．证明略 提示：过点P作PH⊥CG于H，
则四边形PEGH是矩形，再证△CPH≌△CPF，得CH=PF，
∴PE+PF=GH+CH=CG．
2．证明略 提示：证△BAD≌△CDA，得∠D=∠C，
证∠D=90°，四边形ABCD是矩形．

§20.3 菱形的判定
一． 知识点：
1.可以根据定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2.如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是一个菱形。
3.四条边都相等的四边形是菱形。
4. 每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。
菱形的判定习题一
一、选择题
1．下列性质中，为菱形所具备而平行四边形却不一定具有的是（ ）．
A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．邻角相等 D．邻边相等
2．菱形是轴对称图形，对称轴有（ ）．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．若菱形的周长等于它的高的8倍，则菱形一定互补角度数分别为（ ）．
A．30°，150° B．45°，135° C．60°，120° D．80°，100°
4．在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且E、F分别是BC、CD的中点，那么∠EAF等于（ ）．
A．75° B．55° C．45° D．60°
二、填空题
1．有一组_________的平行四边形叫做菱形，菱形的______都相等．
2．菱形的对角线________，并且_________．
3．如果菱形的高是5cm，相邻两个内角的度数之比为1：5，那么它的边长为_____cm．
4．菱形较短的对角线长为4，两邻角的比为1：2，则菱形的面积为_______，另一条对角线的长为_______．
三、解答题
1．菱形的周长为12cm，一条对角线长为3cm，求菱形各角的度数．
2．如下图，在△ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点．
（1）求证：四边形BDEF是菱形．
（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周长．

答案:
一、1．D 2．B 3．A 4．D
二、1．邻边相等 四边 2．互相垂直 平分一组对角
3．10 4．8 4
三、1．解：菱形各角度数分别为60°，120°，60°，120°
2．（1）证明：∵D、E、F分别是BC、AC、AB边中点，
∴DE∥AB，EF∥BC，
∴BDEF为平行四边形．
又∵AB=BC，
∴BF=BD，
∴BDEF是菱形
（2）∵AB=12cm，
∴BF=6cm，
∴菱形BDEF的周长为24cm．

菱形的判定习题二
一、选择题
1．下面性质中，菱形具有而矩形没有的是（ ）．
A．对角相等 B．对角互补 C．内角和为360° D．对角线平分对角
2．下列图形中，不一定为菱形的是（ ）．
A．两对角线互相垂直平分的四边形 B．有一条对角线平分一个内角的平行四边形
C．四条边都相等的四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的图形
3．如图1，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F为垂足，且E、F分别是BC、CD的中点，则∠EAF的度数为（ ）．
A．75° B．60° C．45° D．30°

(1) (2)
二、填空题
1．四边都相等的_________形是菱形．
2．对角线________的四边形是菱形．
3．菱形周长是40，它的一条对角线是10，则菱形相邻两角度数是________．
4．延长等腰△ABC顶角平分线AD到E，使AD=DE，连结BE、CE，则ABEC是_____形．
三、解答题
1．已知：如图2，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．

2．如图，ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于E、F、O，
求证：四边形AFCE是菱形．

3．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线BD、CE相交于点M，DF∥CE，EG∥BD，DF与EG交于N．
求证：四边形MDNE是菱形．

答案:
一、1．D 2．D 3．B
二、1．四边 2．互相平分且垂直
3．60° 120° 4．菱
三、1．证明：∵DE∥AC DF∥AB，
∴AEDF为平行四边形，
∵AD平分∠BAC．
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠CAD，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∴四边形AEDF为菱形
2．证明：易证△AOE≌△COF，
∴AE=CF．
又∵AD∥BC，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．
3．证明：∵DF∥CE，EG∥BD，
∴四边形DMEN为平行四边形，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠DBC=∠ECB，
∴MB=MC，
易证△BCD≌△CBE，
∵BD=CE，
∴EM=DM，
∴四边形DMEN为菱形．
§20.4 正方形的判定
一． 知识点：
1. 有一个角是直角的菱形或有一组邻边相等的矩形是正方形。
正方形的判定习题

一、选择题
1．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ）．
A．AC=BD，∠A=∠B，∠C=∠D; B．AB∥CD，AB=CD，∠A=∠B，∠ABD=∠CBD
C．AO=CO，BO=DO，∠A=∠B; D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
2．用两个全等的直角三角形拼成下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形．其中一定能拼成的图形是（ ）．
A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤
3．如图1，四边形ABCD是正方形，对角线BD为一边作等边三角形EBD，过E作EF⊥DA交DA的延长线于F点，则∠AEF等于（ ）．
A．15° B．30° C．45° D．60°
二、填空题
1．已知正方形ABCD中，E在BC上，F在DC上，且∠FAE=45°，AB=2，那么△CEF的周长是________．
2．如图2，正方形ABCD的边长是a，E是AD中点，BM⊥EC于M，则BM的长是______．

(1) (2) (3)
3．如图3，正方形ABCD的边长为2，P是DC上任意一点，且PE⊥DB于E，PF⊥CA于F，则PE+PF的长是_________．
三、解答题
1．如果一个菱形的两条对角线相等，那么它是不是正方形？为什么？

2．已知如图，点A′、B′、C′、D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′．
求证：四边形A′B′C′D′是正方形．

答案:
一、1．C 2．D 3．C
二、1．4 2．
三、
1．是正方形．因为对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形．
2．证明略 提示：由已知条件可先证四个小直角三角形全等，
从而得到A′B′=B′C′=C′D′=D′A′，
即四边形A′B′C′D′是菱形，再证明四边形A′B′C′D′有一角为直角即可．

§20.5 等腰梯形的判定
一． 知识点：
1.根据定义：两腰相等的梯形是等腰梯形。
2. 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（同一底上的两个角可以是上底的角，也可以是下底的角）。
3. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
等腰梯形的判定练习
基础与巩固
1．如图1，请写出等腰梯形ABCD（AD∥BC，AB=CD）特有而一般梯形不具备的3个特殊性质：（1）_________________；（2）_________________；（3）_________________．

(1) (2) (3)
2．如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC．若再加上一个条件：________，则可得到梯形ABCD是等腰梯形．
3．等腰梯形的一角为120°，两底分别为10和30，则它的腰长为（ ）．
A．10 B．20 C．10 D．20
4．已知：如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，且BD平分∠ABC，∠C=60°，求证：梯形ABCD是等腰梯形．
拓展与延伸
5．若等腰梯形的三条边长分别为3、4、11，则这个等腰三角形的周长为（ ）．
A．21 B．29 C．21或29 D．21或22或29
6．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，点E在边AB延长线上，且BE=DC．
求证：AC=CE．

后花园
智力操 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AE⊥DC，BD⊥AC，AE=12，BD=15，AC=20，求梯形ABCD的面积．

参考答案:
1．（1）∠A=∠D；（2）∠B=∠C；（3）AC=BD．
2．AB=CD或∠ABC=∠DCB或∠BAD=∠ADC．
3．B
4．∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°．
在△BCD中，∵∠C=60°，∴∠DBC=30°．
又∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠DBC=60°．
∴∠C=∠ABC．
在梯形ABCD中，AD∥BC，且∠C=∠ABC，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
5．B
6．在梯形ABCD中，∵AB∥DC，AD=BC，
∴∠ADC+∠DAB=180°，∠DAB=∠CBA．
又∵∠CBA+∠CBE=180°，∴∠ADC=∠CBE．
又∵BE=DC，AD=BC，∴△ADC≌△CBE．∴AC=CE．
智力操 150．
提示：过点B作BF∥AC，交DC的延长线于点F，则CF=AB．
在Rt△DBF中，求得DF=25，
于是DC+AB=25，代入梯形面积公式即可．
等腰梯形的判定习题二
一、选择题
1 ．下列命题错误的是( )
A.矩形是平行四边形; B.相似三角形一定是全等三角形
C.等腰梯形的对角线相等 D.两直线平行,同位角相等
2 ．顺次连结等腰梯形各边中点得到的四边形是
A 矩形 B 菱形 C 正方形 D 平行四边形
3 ．如图,锐角三角形ABC中(AB>AC),AH⊥BC,垂足为H,E、D、F分别是各边的中点,则四边形EDHF是( )
A.梯形 B.等腰梯形 C.直角梯形 D.矩形

4 ．等腰梯形的下底是上底的3倍,高与上底相等,这个梯形的腰与下底所夹角的度数为
A.30° B.45° C.60° D.135°
5 ．若等腰梯形的两底差等于一腰长,那么它的腰与下底的夹角为
A. B. C. D.
6 ．等腰梯形的腰长为13cm,两底差为10cm,则高为 ( )
A、cm B、12cm C、69cm D、144cm
7 ．在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=7,AB=CD,E为CD的中点,四边形ABED的周长与△BCE的周长之差为2,则AB的长为( ).
A.8 B.3 C.6 D.7
8 ．如图8,等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AD=BC=8,AB=10,CD=6,则梯形ABCD的面积是()
A.16 B.16 C.32 D.16

二、填空题
9 ．如图1,请写出等腰梯形ABCD(AB∥CD)特有而一般梯形不具有的三个特征:
________,________,________.

10．等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=6,AD=5,BC=8,且AB∥DE,则△DEC的周长是____________.
11．等腰梯形的对角线互相垂直,若高为8,则梯形的面积是_______.
12．如图 2所示,在等腰梯形ABCD中,∠B=450,已知腰长是3cm,则∠ADC=______度,高DE=_____｡
A
B
C
D
E

13．等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC与BD相交与O,请写出图中一对相等的线段___________｡

14．顺次连结等腰梯形四边的中点,所得四边形是____________;
15．等腰梯形的一个锐角为60°,一腰长为24cm,一底长为39cm,则另一底长为_______.
16．若等腰梯形的上、下底之和为4,并且两条对角线所夹锐角为,则该等腰梯形的面积为___________(结果保留根号的形式).
三、解答题
17．如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,延长底边AB到E,使得BE=DC.
求证:AC=CE .

18．如图,将等腰梯形ABCD的一条对角线BD平移到CE的位置,(1)试猜猜线段AE与AD、BC有怎样的数量关系?为什么?(2)ΔACE是等腰三角形吗?为什么?

19．如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,对角线AC⊥BD于O,若DC=4cm,AB=9cm｡求梯形的高｡

O
D
C
B
A

参考答案
一、选择题
1 ．B
点拨:两三角形全等是两三角形,相似的一种特例,所以全等一定相似,但相似不一定全等.
2 ．B 3．B 4 .B 5．C 6．A;
7 ．C 解析:如图所示,四边形ABCD的周长=AB+BE+DE+AD,△BCE的周长=BC+EC+BE,
两者之差为2,即AB+BE+DE+AD-(BC+EC+BE)=AB+AD-BC=AB+3-7=2,所以AB=6.

8 ．A
二、填空题
9 ．略
10．15 ;
11．解析:如图所示,
过点D分别作DF⊥BC于F点,DE∥AC交BC延长线于点E.
∵梯形ABCD,AD∥BC,
∴四边形ACED是平行四边形,
∴DE=AC,AD=CE.
∵AB=CD,
∴AC=BD(等腰梯形对角线相等),
∴BD=DE.
∵BD⊥AC,∴BD⊥DE,
∴∠DBF=∠DEF=45°,
∴DF=BF=FE.
∴S梯形ABCD=(AD+BC)DF
=BE×DF

=(2DF)×DF=DF2.
∵DF=8,∴S梯形ABCD=64.
答案:64

12．
13．AC=BD等;
14．菱形
15．如图所示,过D点作DE∥AB交BC于点E.
∵AD∥BC,
∴四边形ABED是平行四边形,
∴∠DEC=∠B,
∴AB=ED,AD=BE.
∵∠B=∠C=60°,AB=DC=24cm,
∴△ECD是等边三角形,
∴CD=ED=EC=24cm.
若AD=39cm,
则BC=BE+EC=AD+EC=63cm;
若BC=39cm,
则AD=BE=BC-EC=15cm,
且均符合三边关系定理,
∴另一底长应为63cm或15cm.
答案:63cm或15cm

16．或
三、解答题
17．证明:在等腰梯形ABCD中
∵ AB∥CD AD=CB ,
∴ ∠DAB=∠CBA
又 ∵∠CDA+∠DAB=180°
∠CBA+∠CBE=180°

∴∠CDA=∠CBE
又∵ BE=DC
∴△ADC≌△CBE
∴AC=CE

18．(1) AE=AD+BC ∵BD平移到CE ∴ 四边形DBCE是平行四边形
∴ DE=BC ∴AE=AD+DE=AD+BC ｡(2) ∵ BD=CE AC=BD ∴AC=CE
∴△ACE是等腰三角形｡

19．解:过C作CE∥BD交AB的延长线于E,过C作CF⊥AB于F
AB∥CD, CE∥BD
CE=BD , BE=CD=4
等腰梯形ABCD中,AC=BD CE=AC
AC⊥BD, CE∥BD CE⊥AC
△ACE是等腰直角三角形
∴CF=AE=(AB+BE)
∵AB=9cm ∴CF=(9+4)=cm
即梯形的高为cm｡

平行四边形的判定单元测试

一、选择题
1．下列说法错误的是（ ）．
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形
2．矩形各内角平分线围成的四边形是（ ）．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
3．如果一个四边形的面积正好等于它的两条对角线乘积的一半，那么这个四边形一定是（ ）．
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．对角线互相垂直的四边形
4．在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形的是（ ）．

A B C D
5．梯形ABCD中，AB∥CD，若AD=m，CD=n，AB=m+n，则下列等式一定成立的是（ ）．
A．∠A=∠B B．∠D=2∠B C．BC=m-n D．BC=m+n
6．已知在正方形网格中如图1，每个小正方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小正方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小正方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1个平方单位，则点C的个数为（ ）．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

(1) (2) (3)
7．四边形ABCD的对角线相交于点O，能判定它是正方形的条件是（ ）．
A．AB=BC=CD=DA B．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD
C．AC=BD，AC⊥BD且AC、BD互相平分 D．AB=BC，CD=DA
8．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（ ）．
A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm

二、填空题
1．如果四边形ABCD满足条件_______，那么这个四边形的对角线AC=BD．（只填写一种你认为适当的条件）
2．如图2，平行四边形ABCD的周长为52cm，两条对角线AC和BD交于点O，△BOC和△DOC的周长差为6cm，那么这个平行四边形的两邻边AB、BC的长分别为_____、_____．
3．四边形ABCD中，AB=BC=5，∠B=60°，CD=7，则AD的取值范围是________．
4．已知：如图3，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE=________．
5．矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与短边的和为15cm，则短边的长为_______cm．
6．如图4，菱形ABCD的一条对角线的中点O到AB的距离为2，那么O点到另一边的距离为_________．
7．如图5，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD：BC=3：5，梯形ABCD的面积是8cm2，点M、N分别是AD和BC上一点，E、F分别是BM、CM的中点，则四边形MENF的面积是_______cm2．
8．已知：如图6，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为_______．

(4) (5) (6)
9．以下图形：①矩形；②平行四边形；③正三角形；④等腰梯形；⑤菱形；⑥正方形．其中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有________．（填序号）
三、解答题
1．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：AD⊥EF．

2．已知：如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF，
若∠BEC=60°，求∠EFD的度数．

3．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF．过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G．若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数．

4．已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE=BF，求证：∠AFE=∠AEF．

5．已知：如图，矩形ABCD中，AC和BD交于点O，E、F分别是OA、OD的中点．求证：四边形EBCF是等腰梯形．

6．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形．

答案:
一、1．B 2．D 3．D 4．D 5．B 6．D 7．C 8．D
二、1．ABCD是矩形 2．10cm 16cm 3．2<AD<12 4．45°
5．5 6．2 7．2．5 8．10 9．①⑤⑥
三、
1．证明略 提示：由DE∥AC且DF∥AB得AEDF为平行四边形；
由AD是△ABC的角平分线，得∠EAD=∠FAD，
又AE∥DF得∠EAD=∠ADF，
所以∠ADF=∠FAD，
从而AF=FD，
故平行四边形AEDF为菱形，
所以AD⊥EF
2．15°
3．100°
4．提示：先证△ABF≌△ADE（SAS），得AF=AE，
所以∠AFE=∠AEF
5．提示：由EF为△AOD的中位线，得EF∥AD且EF=AD，
又因为AD∥BC且AD=BC，
所以EF∥BC且EF=BC，
故BECF为梯形．
又由△ABE≌△CDF（SAS）得EB=FC，
所以EBCF是等腰梯形
6．提示：∵EF垂直平分AC，
∴EF⊥AC，且AO=CO．
证得：△AOE≌△COF．
证得：四边形AECF是平行四边形．
由AC⊥EF可知：四边形AECF是菱形．
平行四边形的判定单元测试
一、填空题（每小题3分，共24分）
1、 在四边形ABCD中，已知AB=CD，再添一个条件________，就可以判定四边形ABCD是平行四边形．
2、 对角线＿＿＿＿的四边形是菱形。
3、 平行四边形各个内角的角平分线构成的四边形是＿＿＿＿形。