空间解析几何.pptx

引言l几何与代数间最早的桥梁是由几何与代数间最早的桥梁是由几何与代数间最早的桥梁是由几何与代数间最早的桥梁是由17171717世纪世纪世纪世纪笛卡尔和笛卡尔和笛卡尔和笛卡尔和费马费马费马费马建立的建立的建立的建立的平面解析几何平面解析几何平面解析几何平面解析几何.l解析几何利用代数方法来研究几何图形的性质解析几何利用代数方法来研究几何图形的性质解析几何利用代数方法来研究几何图形的性质解析几何利用代数方法来研究几何图形的性质.l解析几何为微积分的出现创造了条件解析几何为微积分的出现创造了条件解析几何为微积分的出现创造了条件解析几何为微积分的出现创造了条件.l几何向量几何向量几何向量几何向量是研究空间解析几何的工具；也是是研究空间解析几何的工具；也是是研究空间解析几何的工具；也是是研究空间解析几何的工具；也是研究数学中其它一些分支、力学及三维计算机研究数学中其它一些分支、力学及三维计算机研究数学中其它一些分支、力学及三维计算机研究数学中其它一些分支、力学及三维计算机图形学、三维游戏设计等学科的工具图形学、三维游戏设计等学科的工具图形学、三维游戏设计等学科的工具图形学、三维游戏设计等学科的工具.l1715171517151715年，瑞士伯努力将平面解析几何推广到空间年，瑞士伯努力将平面解析几何推广到空间年，瑞士伯努力将平面解析几何推广到空间年，瑞士伯努力将平面解析几何推广到空间解析几何解析几何解析几何解析几何.1.向量的概念及其表示向量的概念及其表示 1).向量：向量：2).向量的长度或模：向量的长度或模：3).自由向量：自由向量：4).相等向量：相等向量：5).负向量：负向量：6).零向量：零向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量 只考虑向量的大小和方向不计较起点位置只考虑向量的大小和方向不计较起点位置 长度相等且方向相同长度相等且方向相同 长度相等且方向相反长度相等且方向相反 或或长度为零，方向任意长度为零，方向任意方向相同或相反方向相同或相反 8).平行平行(共线共线)向量：向量：7).单位向量：单位向量：长度为长度为1 1一一.空间向量的线性运算空间向量的线性运算第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系2.向量的加法向量的加法 1).1).平行四边形法则平行四边形法则平行四边形法则平行四边形法则 2).2).三角形法则三角形法则三角形法则三角形法则 3).3).运算性质运算性质运算性质运算性质:结合律结合律结合律结合律 交换律交换律交换律交换律 首尾相接首尾相接首尾相接首尾相接 多边多边多边多边形法则形法则形法则形法则 OAB向量的减法向量的减法 运算性质运算性质:三角不等式三角不等式 （减数指向被减数（减数指向被减数）（后项减去前项（后项减去前项）注注:当当平行时平行时，等式成立。，等式成立。ADB第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系3.向量与数量的乘法（数乘）向量与数量的乘法（数乘）1).定义：定义：m 注注:m =m=0 或或 =.2).运算性质运算性质 (1)=.单位向量：长度为单位向量：长度为1 1的向量的向量模模：方向：方向：非零向量的单位化：非零向量的单位化：分配律分配律 结合律结合律 向量的伸缩向量的伸缩/第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系例例1.设设P,Q分别是分别是 ABC的的BC,AC边的中点边的中点,AP与与BQ交于点交于点M.证明证明:A AB BC CMMAM=AP.2 23 3P PQ QA AB BC CS ST T往证点往证点往证点往证点S S与点与点与点与点T T重合重合重合重合,即即即即P PQ Q证明：可知证明：可知第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系1.向量的概念及其表示：方向和大小向量的概念及其表示：方向和大小 2.向量的加法向量的加法 向量的减法向量的减法 平行四边形、三角形、多边形法则平行四边形、三角形、多边形法则平行四边形、三角形、多边形法则平行四边形、三角形、多边形法则 3.数乘数乘 向量的伸缩向量的伸缩向量的单位化：向量的单位化：向量的单位化：向量的单位化：一一.空间向量的线性运算空间向量的线性运算3.1-2 空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系二二二二.共线、共面向量的判定共线、共面向量的判定共线、共面向量的判定共线、共面向量的判定 三三三三.空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系四四四四.空间向量线性运算的坐标表示空间向量线性运算的坐标表示空间向量线性运算的坐标表示空间向量线性运算的坐标表示五五五五.空间向量的数量积空间向量的数量积空间向量的数量积空间向量的数量积第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系二二.共线共线、共面向量的判定、共面向量的判定 1.共线共线、共面共面向量的定义向量的定义 1 2 3 点点点点O O,A A1 1,A A2 2,A As s在同一在同一在同一在同一直线直线直线直线上上上上.1 1,2 2,s s共线共线共线共线:1 1 2 2 s s O OA A1 1 A A2 2 A As s 点点点点O O,A A1 1,A A2 2,A As s在同一在同一在同一在同一平面平面平面平面上上上上.1 1,2 2,s s共面共面共面共面:O OA A1 1A A2 2A A3 3二二.共线共线、共面向量的判定、共面向量的判定 2.共线共线的判定的判定 定理定理3.1 设向量设向量 1 ,向量向量 2与与 1共线共线 存在唯一存在唯一的实数的实数k使得使得 2=k 1.推论推论3.1 向量向量 1,2共线共线 存在不全为零存在不全为零的实数的实数k1,k2使得使得k1 1+k2 2=.注：注：设向量设向量 1 ,向量向量 2与与 1共线共线 2可由可由 1唯一的线性表示唯一的线性表示.第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系 1 2 3 1,2共线共线 存在唯一存在唯一的实数的实数k使得使得 2=k 1当当当当 1 1=,2 2 时时时时,1 1,2 2共线但共线但共线但共线但 2 2 k k 1 1?k 0？不一定不一定二二.共线共线、共面向量的判定、共面向量的判定 2.共线共线的判定的判定 定理定理3.1 设向量设向量 1 ,向量向量 2与与 1共线共线 存在唯一存在唯一的实数的实数k使得使得 2=k 1.2可由可由 1唯一的线性表示唯一的线性表示.推论推论3.1 向量向量 1,2共线共线 存在不全为零存在不全为零的实数的实数k1,k2使得使得k1 1+k2 2=.存在一个向量可由另一个向量线性表示存在一个向量可由另一个向量线性表示.第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系 1 2 3 注：注：向量向量 1 1,2 2不共线不共线 k1 1+k2 2=只有零解，即只有零解，即 k1=k2=0.任何一个向量都不能由另一个向量线性表示任何一个向量都不能由另一个向量线性表示.二二.共线共线、共面向量的判定、共面向量的判定 推论推论3.2 向量向量 1,2,3共面共面 存在存在不全为零不全为零 的实数的实数k1,k2,k3,使得使得 k1 1+k2 2+k3 3=.注：若向量注：若向量 1,2 不平行不平行,则向量则向量 3与与 1,2共共面面 3可由可由 1,2 唯一的线性表示唯一的线性表示.1 3 23.共面共面的判定的判定 定理定理定理定理3.23.2 若向量若向量 1,2不平行不平行,则向量则向量 3与与 1,2共共面面存在唯一存在唯一的有序实数组的有序实数组(k1,k2),使得使得第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系 3=k1 1+k2 2.k1 1k2 2定理定理定理定理3.23.2 若向量若向量若向量若向量 1 1,2 2不平行不平行不平行不平行,则向量则向量则向量则向量 3 3与与与与 1 1,2 2共面共面共面共面存在唯一存在唯一存在唯一存在唯一的有序实数组的有序实数组的有序实数组的有序实数组(k k,l l),),使得使得使得使得 3 3 =k k 1 1+l l 2 2.3 3可由可由可由可由 1 1,2 2唯一的线性表示唯一的线性表示唯一的线性表示唯一的线性表示.推论推论推论推论3.23.2 向量向量向量向量 1 1,2 2,3 3共面共面共面共面 存在存在存在存在不全为零不全为零不全为零不全为零的实数的实数的实数的实数k k1 1,k k2 2,k k3 3,使得使得使得使得 k k1 1 1 1+k k2 2 2 2+k k3 3 3 3 =.存在一个向量可由其余向量线性表示存在一个向量可由其余向量线性表示存在一个向量可由其余向量线性表示存在一个向量可由其余向量线性表示.注：注：向量向量 1,2,3不共面不共面 k1 1+k2 2+k3 3=只有零解，即只有零解，即k1=k2=k3=0推论推论3.2 向量向量 1,2,3共面共面 1,2,3 线性无线性无关关3.共面共面的判定的判定 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系 1,2,3 线性相线性相关关.任何一个向量都不能由其余向量线性表示任何一个向量都不能由其余向量线性表示.(但不知是哪个向量但不知是哪个向量但不知是哪个向量但不知是哪个向量)例例2.3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系d二二二二.共线、共面向量的判定共线、共面向量的判定共线、共面向量的判定共线、共面向量的判定 2 2与与与与 1 1()共线共线共线共线 唯一唯一唯一唯一实数实数实数实数k k使得使得使得使得 2 2 =k k 1 1 2 2可由可由可由可由 1 1唯一唯一唯一唯一线性表示线性表示线性表示线性表示 2 2与与与与 1 1 共线共线共线共线 不全为零不全为零不全为零不全为零的的的的k k1 1,k k2 2使得使得使得使得k k1 1 1 1+k k2 2 2 2=2 2与与与与 1 1 线性相关线性相关线性相关线性相关 1 1,2 2不平行不平行不平行不平行,3 3与与与与 1 1,2 2共共共共面面面面 3 3 可由可由可由可由 1 1,2 2唯一唯一唯一唯一线性表示线性表示线性表示线性表示重点和难点重点和难点在在在在直线直线直线直线上任意一个向量都可以由直线上上任意一个向量都可以由直线上上任意一个向量都可以由直线上上任意一个向量都可以由直线上一一一一个个个个非零非零非零非零向量向量向量向量唯一唯一唯一唯一的线性表示的线性表示的线性表示的线性表示.在在在在平面平面平面平面上任意一个向量都可以由平面上上任意一个向量都可以由平面上上任意一个向量都可以由平面上上任意一个向量都可以由平面上两两两两个个个个不共线不共线不共线不共线向向向向量量量量唯一唯一唯一唯一的线性表示的线性表示的线性表示的线性表示.在在在在空间空间空间空间上任意一个向量都可以由空间上上任意一个向量都可以由空间上上任意一个向量都可以由空间上上任意一个向量都可以由空间上三三三三个个个个不共面不共面不共面不共面向向向向量量量量唯一唯一唯一唯一的线性表示的线性表示的线性表示的线性表示.1.线性表示线性表示(1)(1)在在在在直线直线直线直线上任意一个向量都可以由直线上上任意一个向量都可以由直线上上任意一个向量都可以由直线上上任意一个向量都可以由直线上一一一一个个个个 非零非零非零非零向量向量向量向量唯一唯一唯一唯一的线性表示的线性表示的线性表示的线性表示.(2)(2)在在在在平面平面平面平面上任意一个向量都可以由平面上上任意一个向量都可以由平面上上任意一个向量都可以由平面上上任意一个向量都可以由平面上两两两两个个个个 不共线不共线不共线不共线向量向量向量向量唯一唯一唯一唯一的线性表示的线性表示的线性表示的线性表示.定理定理3.3 在空间中取定三个在空间中取定三个不共面的不共面的 1,2,3,则则 对空间中任一向量对空间中任一向量 都都存在唯一存在唯一的有序的有序 实数组实数组(x,y,z),使得使得 =x 1+y 2+z 3.实数实数实数实数k k1 1,k k2 2,k k3 3,使得使得使得使得 =k=k1 1 1 1+k k2 2 2 2+k k3 3 3.3.1 1,2 2不平行不平行不平行不平行,3 3与与与与 1 1,2 2共面共面共面共面 3 3 可由可由可由可由 1 1,2 2唯一线性表唯一线性表唯一线性表唯一线性表示示示示.第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系(3)(3)在在在在空间空间空间空间上任意一个向量都可以由空间上上任意一个向量都可以由空间上上任意一个向量都可以由空间上上任意一个向量都可以由空间上三三三三个个个个 不共面不共面不共面不共面向量向量向量向量唯一唯一唯一唯一的线性表示的线性表示的线性表示的线性表示.定理定理3.3 在空间中取定三个在空间中取定三个不共面的不共面的 1,2,3,则则 对空间中任一向量对空间中任一向量 都都存在唯一存在唯一的有序的有序 实数组实数组(x,y,z),使得使得 =x 1+y 2+z 3.3 3 2 2 1 1O OP PQ QMM唯一性：唯一性：第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系右右(左左)手仿射坐标系手仿射坐标系.3 3 2 2 1 1O O =x 1+y 2+z 3=(x,y,z)1.仿射坐标系仿射坐标系O;1,2,3 坐标原点坐标原点;坐标向量坐标向量(基基);坐标轴坐标轴;坐标坐标(分量分量);三三.空间坐标系空间坐标系第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系-,-,-,+,+III-,-,+-,+,-+,+,-+,-,-+,-,+坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴)坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)zox面+,+,+2.空间直角坐标系空间直角坐标系 坐标分解式坐标分解式:P(x,y,z)的向径的向径第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系设设 =(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则则k1+k2 例例3.设两个定点为设两个定点为P1(x1,y1,z1)与与P2(x2,y2,z2),求求 向量向量P1P2的坐标的坐标.x xy yz zP P1 1P P2 2O O P1P2=OP2 OP1=(x2,y2,z2)(x1,y1,z1)=(x2 x1,y2 y1,z2 z1).=(k1x1+k2x2,k1y1+k2y2,k1z1+k2z2).后项减前项后项减前项四四.空间向量线性运算的坐标表示空间向量线性运算的坐标表示第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系例例4.设两个定点为设两个定点为P1(x1,y1,z1)与与P2(x2,y2,z2),若点若点P(x,y,z)把有向线段把有向线段P1P2分成定比分成定比,即即P1P=PP2(1),求分点求分点P的坐标的坐标.x xy yz zP P1 1P PO O P P2 2 OP OP1=(OP2 OP )OP=OP1+OP21+y=y1+y21+,x=x1+x21+,z=z1+z21+.第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系A A1.两个非零向量之间的夹角两个非零向量之间的夹角 2.投影的概念投影的概念ABu五五.空间向量的数量积空间向量的数量积第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系B BB BA A1.两个非零向量之间的夹角两个非零向量之间的夹角 2.投影的概念投影的概念ABu(注意投影是一个有正负的数注意投影是一个有正负的数)向量向量AB在轴在轴u上的投影为上的投影为 其中其中 为为向量向量AB与轴与轴u的夹角的夹角.(AB)u=|AB|cos 五五.空间向量的数量积空间向量的数量积第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系u 投影投影的性质的性质 投影投影的应用的应用(AB)u=|AB|cos uABABCC(AB+BC)u=(AB)u+(BC)u 与与与与 ,共面共面共面共面唯一实数唯一实数唯一实数唯一实数k,lk,l使得使得使得使得g=k +l=+当当 ,？何时？何时？第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系CCCCC且且|=|=1 物理背景：一物体在常力物理背景：一物体在常力 的作用下，的作用下，沿直线运动产生的位移为沿直线运动产生的位移为 时，则力时，则力 所做的功是所做的功是:FS 抽去物理意义，就是两个向量确定一抽去物理意义，就是两个向量确定一 个数的运算个数的运算.称为数量积称为数量积 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系3.两个向量的数量积两个向量的数量积(点积、内积点积、内积)1).物理背景物理背景 2).两个非零向量之间的夹角两个非零向量之间的夹角 3).数量积的定义数量积的定义 注注:=0 =或或 =或或(,)第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系点不能省略点不能省略4).内积的性质内积的性质(1)正定性正定性:2=|2 0且且 2=0 =(2)对称性对称性:=(3)(m)=m()=(m)(4)分配律：分配律：(+)=+(5)线性性：线性性：(k+l)=k +l (6)Schwartz不等式：不等式：|(7)三角不等式三角不等式:|-|+|(8)|+|2+|-|2=2(|2+|2)注注:数量积不满足消去律数量积不满足消去律,即即 =,=.应为应为 (-)=0 (-).第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系(2)设设 =(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则则5).直角坐标系直角坐标系 下向量内积的计算下向量内积的计算 例例5.5.已知已知|=3,|=6,(,)=/3/3/3/3,(3 )(+2),求求.解：解：(3 )(+2)=0 3 2+(6 )2 2=0 39+(6 )|cos/3 236=0 81 81=0 =1.=2=x12+y12+z12 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系 =x1x2+y1y2+z1z2=T6).模、夹角、距离公式模、夹角、距离公式(2)设非零向量设非零向量 =(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2)之间的夹角为之间的夹角为,则则cos =|x1x2+y1y2+z1z2=(3)点点P1(x1,y1,z1)与与P2(x2,y2,z2)之间的距离为之间的距离为(1)设设 =(x,y,z),则则|=x2+y2+z2.x22+y22+z22 x12+y12+z12|P1P2|=(x2 x1)2+(y2 y1)2+(z2 z1)2 =x1x2+y1y2+z1z2第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系x xO OP PB BC Cy yz z7).方向角、方向余弦和方向数方向角、方向余弦和方向数(1)非零向量与三个坐标轴所成的夹角称为非零向量与三个坐标轴所成的夹角称为 此向量的此向量的方向角方向角;x xO OP PA AB BC Cz zy yx xO OP PA Ay yz z方向余弦方向余弦:cos,cos,cos OP的方向角的方向角:=AOP,=BOP,=COP 方向角的余弦称为此向量的方向角的余弦称为此向量的方向余弦方向余弦.第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系(3)方向数方向数c1,c2,c3:注注2：cos2 +cos2 +cos2 =1.cos =yx2+y2+z2,cos =zx2+y2+z2,(2)向量向量 的方向余弦的方向余弦,cos =xx2+y2+z2=(x,y,z)(1,0,0)x2+y2+z2注注注注1 1 1 1：方向余弦唯一，但方向数不唯一：方向余弦唯一，但方向数不唯一：方向余弦唯一，但方向数不唯一：方向余弦唯一，但方向数不唯一.与方向余弦成比例的一组数与方向余弦成比例的一组数第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系例例 6.向向 量量 1=(1,2,3),2=(1,0,0),3=(1,1,3),=1+2+3,求求|,的的方方向向余余弦弦、方方向向数数,=(,3).).解：解：=1+2+3=(3,3,6),|=|(3,3,6)|=|3(1,1,2)|=3 ,6的方向余弦的方向余弦:cos =,cos =,cos =6 66 66 66 66 63 3的方向数的方向数:3,3,6;或者或者1,1,2;通式为通式为k,k,2k(k 0)第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间3.1-23.1-2空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系空间向量及空间坐标系设设O为一根杠杆为一根杠杆L的支点，力的支点，力 作用于杠杆作用于杠杆上上P点，力点，力 与与 的夹角为的夹角为，力，力 对支对支点点O的力矩是向量的力矩是向量 ，则力矩的模为，则力矩的模为向量积的物理意义向量积的物理意义力矩力矩=力力力臂力臂 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 一一.两个向量的向量积两个向量的向量积(叉积叉积叉积叉积,外积外积外积外积)1.物理背景物理背景:2.向量积的定义向量积的定义:|=|sin 其中其中 =(,).3.模的几何意义：模的几何意义：力矩力矩=力力力臂力臂 是一个向量是一个向量.当当当当 ,，且，且，且，且 ,不平行时，不平行时，不平行时，不平行时，正弦值等于边长为正弦值等于边长为1菱形的面积菱形的面积.4.外积的性质外积的性质(3)反对称性反对称性:=(1)=或或=或或(,/)/(规定规定 /)|=|sin (4)(m)=m()=(m)第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 4.外积的性质外积的性质(3)反对称性反对称性:=(4)(m)=m()=(m)(5)(+)=+(6)()2+()2=2 2 例例7.已知已知|=3,|=11,且且 =30.求求|.(1)=/|=|sin 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 5.直角系直角系 下外积的坐标计算下外积的坐标计算 j jki iO Oijk =i+j +k =(a1i+a2j+a3k)(b1i+b2j+b3k),(2)设设 =(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),则则(a2b3 a3b2)(a3b1 a1b3)(a1b2 a2b1)(1)第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 =i+j +k a2 a3 b2 b3a3 a1 b3 b1a1 a2 b1 b2注注:=(a1,a2,a3)与与 =(b1,b2,b3)共线共线 =(a2b3 a3b2)i+(a3b1 a1b3)j +(a1b2 a2b1)k =,a2 a3 b2 b3a3 a1 b3 b1a1 a2 b1 b2 i ij jk ka1 a2 b1 b2=a3 b3a1 b1=a2 b2a3 b3注注:为任意值为任意值,不共线不共线 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 例例8.求点求点P(4,4,1)到点到点A(1,0,1)和和B(0,2,3)所所 在直线的距离在直线的距离.x xy yz zB BO OP PA A分析分析:P到到AB的距离可看作的距离可看作底边底边AB上的高上的高.D D分析：分析：P到到AB的距离可通过的距离可通过AP到到AB的投影求得的投影求得.解解1 1：解解2：第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 例例9.已知向量已知向量 =(1,2,1),=(1,1,1),且且 =8,其中其中 =(1,2,1),求求 .解法解法1 1：设设 =(x,y,z),由题设知，由题设知，解法解法2 2：解得解得 =(x,y,z)=(1,-2,3).第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 例例10.已知向量已知向量,有共同起点但不共面有共同起点但不共面,求以它们为棱的平行六面体的体积求以它们为棱的平行六面体的体积V.V=()S=|,h=()解：解：第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 二二.三个向量的混合积三个向量的混合积 1.,的的混合积混合积:(,)=()2.几何意义几何意义 设设,为不共面的三个向量为不共面的三个向量,将它们平将它们平 移到同一起点移到同一起点.若它们符合若它们符合右手右手法则法则,则则g与与()在在 与与 所所成平面的成平面的同侧同侧,于是于是V=()若若 与与()在在 与与 所成平所成平面的面的两侧两侧,则则 V=()第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 二二.三个向量的混合积三个向量的混合积 1.,的的混合积混合积:(,)=()2.几何意义几何意义 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 ,共面共面 ()=0 ()注注:轮换对称性轮换对称性()=()=()|()|=以以,为相对棱的平行六面体的为相对棱的平行六面体的体积体积=以以,为相对棱的四面体体积的为相对棱的四面体体积的6 6倍倍 =i+j +k a2 a3 b2 b3a3 a1 b3 b1a1 a2 b1 b2 i ij jk ka1 a2 b1 b2=a3 b3 i ij jk ka1 a2 b1 b2=a3 b3设设 =(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),=(c1,c2,c3),4.直角系下直角系下混合积的坐标计算混合积的坐标计算 ()=A31 c1+A32 c2+A33 c3 a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3=A31 i+A32 j+A33 k 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 注注:对于向量对于向量 =(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),和和 =(c1,c2,c3),采用行列式的记号采用行列式的记号,我们有我们有()=a1 a2 a3b1 b2 b3 ,c1 c2 c3 =i j ka1 a2 a3 .b1 b2 b3 三个向量三个向量 =(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),=(c1,c2,c3)共面的共面的充分必要条件是充分必要条件是=0.a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3()=0第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 3.性质（即行列式的性质）性质（即行列式的性质）(1)(,)=0(2)(,)=(,)(3)(1+2,)=(1,)+(2,)(4)(m,)=m(,)=(,m,)=(,m)(5)(,+m)=(,),其中其中m为一实数为一实数.注注:结合结合轮换对称性轮换对称性,由这些性质还可派生出更由这些性质还可派生出更 多类似的性质多类似的性质.如如:(,1+2,)=(,1,)+(,2,);(+m,)=(,),等等等等.=(,)=(,)=(,)=(,)轮换对称性轮换对称性第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 例例11.试证试证(2,+3,+)=6(,).证明：证明：(2,+3,+)=(2,3 ,+)=6(,+)=6(,)=6(,)第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 例例12.由定理由定理3.3可知可知,在空间中任取三个不共面在空间中任取三个不共面 的的,后后,空间中任一向量空间中任一向量 都可以由都可以由,唯一的线性表示唯一的线性表示,即存在唯一的实数即存在唯一的实数 组组(x,y,z),使得使得 =x +y +z.下面我们去求下面我们去求x,y,z的值的值.(,)=(x +y +z,)=(x,)+(y ,)+(z,)=x(,).故故x=(,)(,).类似地类似地,y=(,)(,),z=(,)(,).,不共面，则不共面，则(,)0.解：解：Cramer法则法则第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 向量的数量积、向量积和混合积向量的数量积、向量积和混合积 数量积数量积向量积向量积混合积混合积定义定义定义定义性质性质性质性质2 2 坐标坐标坐标坐标计算计算计算计算|=|=|sin|sin =S S 正定性正定性,线性性线性性,SchwartzSchwartzSchwartzSchwartz不等式不等式不等式不等式反对称性反对称性 =0=0 =/a =a a1 1b b1 1+a a2 2b b2 2+a a3 3b b3 3(,)=()=V(平行六面体平行六面体)轮换对称性轮换对称性轮换对称性轮换对称性,行列式的性质行列式的性质(,)=0 =0 共面共面共面共面 a a1 1 a a2 2 a a3 3b b1 1 b b2 2 b b3 3 c c1 1 c c2 2 c c3 3(,)=i i j j k ka a1 1 a a2 2 a a3 3 b b1 1 b b2 2 b b3 3第三章第三章 几何空间几何空间 x xy yz zO On n P P0 0 3.4 空间的平面和直线空间的平面和直线 一一.平面的方程平面的方程 1.点法式方程点法式方程 r rr r0 0 P PA(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0 2.一般方程一般方程 Ax+By+Cz+D=0平面方程是三元一次方程平面方程是三元一次方程,而三元一次方程而三元一次方程必然表示一个平面必然表示一个平面.P P0 0(x x0 0,y y0 0,z z0 0)P P(x x,y y,z z)过点过点P0且与且与n 垂直的平面垂直的平面 的方程为的方程为其中其中D=Ax0 By0 Cz0 第三章第三章 几何空间几何空间 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 3.特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程(1)过原点的平面过原点的平面:Ax+By+Cz=0(2)平行于平行于x轴的平面轴的平面:平行于平行于y轴的平面轴的平面:Ax+Cz+D=0 平行于平行于z轴的平面轴的平面:Ax+By+D=0(3)平行于平行于xoy面的平面面的平面:平行于平行于yoz面的平面面的平面:Ax+D=0 平行于平行于xoz面的平面面的平面:By+D=0 Ax+By+Cz+D=0若若A 0，则，则A(x+D/A)+B(y-0)+C(z-0)=0P P0 0(-(-D/AD/A,0,0),0,0)By+Cz+D=0Cz+D=0D D=0 =0 过原点过原点过原点过原点,A A=0=0 x x轴轴轴轴,B=B=0 0 y y轴轴轴轴,C=C=0 0 z z轴轴轴轴第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.4 3.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 例例13.求通过点求通过点P0(1,2,3),且且 注注:确定确定A,B,C,D的值的值;作图时应标注一些特殊点作图时应标注一些特殊点,如与坐标轴如与坐标轴 或坐标平面的交点或坐标平面的交点.(0,2,3)(0,2,3)x xO Oy yz z(1,0,0)(1,0,0)x xO Oy yz z(1)通过通过x轴轴;(2)平行于平行于yoz平面平面的平面方程的平面方程,并且分别作出它们的图形并且分别作出