高三数学一轮复习-排列组合题型汇总(附详解).doc

高三数学一轮复习——排列、组合（理）2013.1
一、分步计数原理、分类计数原理：弄清是“分布”还是“分类”
例1、(1)某公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名翻译人员不能同时分给一个部门，另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门，求有多少种不同的分配方案．
解：用分步计数原理．先分英语翻译，再分电脑编程人员，最后分其余各人，故有2×(3＋3)×3＝36种．

(2)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是（ ）D
A、26 B、24 C、20 D、19
3 5 12
B 4 6 A
6 76 12
8
解：要完成的这件事是：“从A向B传递信息”，完成这件事有4类办法：
第一类：12 5 3
第二类 ： 12 6 4
第三类 ：12 6 7
第四类；：12 8 6
可见：第一类中单位时间传递的最大信息量是3；第二类单位时间传递的最大信息量是4；
第三类单位时间传递的最大信息量是6；第四类单位时间传递的最大信息量是6。所以由分类记数原理知道共有：3+4+6+6=19，故选D
(3)如图A，B，C，D为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有（ ）C

D

A
A、8种 B、12种 C、16种 D、20种

B C
解：第一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥，共有=4种方法；
第二类：一个岛最多建设两座桥，例如：A—B—C—D，D—C—B—A，这样的两个排列对应一种建桥方法，因此有种方法；
根据分类计数原理知道共有4+12=16种方法
二、排队问题：
例2、7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
(1)甲在排头
(2)甲不在排头，也不在排尾
(3)甲、乙不相邻
(4)甲乙之间有且只有两人
(5)甲乙丙三人必须在一起
(6)甲乙丙三人两两不相邻
(7)甲在乙的左边（不一定相邻）
(8)甲乙丙三人按从高到矮，自左向右的顺序
(9)甲不在排头，乙不在排尾
(10)排3排，前排2人，中排2人，后排3人
三、定序问题：常用方法：(1) 考虑位置“插空法”(2) 整体考虑用“除法”
例3、(1) 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
(2) 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( )C
A． B． C． D．
(3)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为____ __
解：实质是7个节目的排列，因原定的5个节目顺序不改变，故排这5个节目是一个组合，有种方法，再排新插入的两个节目有种方法，故
(4)一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？
解：分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为，故本例所求的排法种数就是所有排法的，即A=360种
四、排数问题：注意数字“0”
例4、1、由0，1，2，3，4，5这六个数字。
(1)能组成多少个无重复数字的四位数？
(2)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(3)能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数？
(4)组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？
解：（1）
(2)
(3)
(4)
2、由四个不同的数字1,2,4，x组成无重复数字的三位数.
(1)若x＝5，其中能被5整除的共有多少个？
(2)若x＝9，其中能被3整除的共有多少个？
(3)若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x.
解(1)5必在个位，所以能被5整除的三位数共有A23＝6个.
(2)∵各位数字之和能被3整除时，该数就能被3整除，
∴这种三位数只能由2,4,9或1,2,9排列组成，
∴共有2×A33＝12个.
(3)显然x≠0，∵1,2,4，x在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现A31×A32次，
∴这样的数字之和是(1＋2＋4＋x)×A31×A32，即(1＋2＋4＋x)×A31×A32＝252，
∴7＋x＝14，∴x＝7.
3、用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 12 （用数字作答)

4、3张卡片的正反面上分别有数字0和1，3和4，5和6，当把它们拼在一起组成三位数字的时可得到多少个不同的三位数（6可做9用）
解：若6不能做9用，由于0不能排百位，此时有5×4×2＝40个．这40个三位数中含数字6的有2×3×2＋1×4×2＝20个，故6可做9用时，可得三位数40＋20＝60个
五、分组（平均分组）问题：先分堆再分配，注意平均分堆的算法
例5、按以下要求分配6本不同的书，各有几种分法？
(1)平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；
(2)平均分成三份，每份2本；
(3)甲、乙、丙三人一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(4)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
(5)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另二人每人得1本；
(6)分成三份，一份4本，另两份每份1本；
(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本（均只要求列式）
解：（1）； （2） （3）
（4） （5） （6）
（7）
六、不配对问题：
例6、(1) 元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有 种？ 9
(2)编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有__ __种
解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法,故所求方法有种

(3)有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有 种？44

七、相同元素问题：隔板法
例7、(1)7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子，则每个盒子都不空的放法有多少种？
解：首先要清楚：“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子里至少有1个球”。
于是，我们采用“隔板法”来解决。在7个小球中的每两个之间分别有6个空，我们从6个空中任意选3个分别插入3块隔板，则这3块隔板就把7个小球分成4部分，而且每一部分至少有1个球。即有=20种方法，又每一种分割方法都对应着一种放球的放法。所以共有20种放球放法。
(2)把10本相同的书分给编号1,2,3的阅览室，要求每个阅览室分得的书数不大于其编号数，则不同的分法有多少种？
解：先在编号为1，2，3的阅览室中依次放入0，1，2本书，再用隔板法分配剩下的书有＝15种，
(3) 一次文艺演出中需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯15只，现以不同的亮灯方式来增加舞台效果，设计者按照每次亮灯时恰好有6只是关的，且相邻的灯不能同时关掉，两端的灯必须要亮的要求进行设计，求有多少不同的亮灯方式？

(4)某校准备参加2013年高中数学联赛,把10个选手名额分配到高三年级的8 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有__ _种
解 ：问题等价于把10个相同小球放入8个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题
将10个小球串成一串，截为7段有种截断法，对应放到8个盒子里:因此，不同的分配方案共有36种
(5)有多少项？
解：当项中只有一个字母时，有种（即a.b.c.d而指数只有15故。
当项中有2个字母时，有而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，即
当项中有3个字母时指数15分给3个字母分三组即可
当项种4个字母都在时 四者都相加即可．

(6)方程中不同的整数解有 个
八、几何问题：
例8、(1)从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条30
(2)在直角坐标xoy平面上，平行直线x=n，（n=0，1，2，3，4，5），y=n，（n=0，1，2，3，4，5），组成的图形中，矩形共有（ ）
A、25个 B、36个 C、100个 D、225个
解：在垂直于x轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y轴的6条直线中任意取2条，这样的4 条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：
得到的矩形共有个， 故选D。
(3)已知直线ax+by+c=0中的系数a，b，c是从集合{-3，-2，-1，0，1，2，3}中取出的三个不同的元素，且该直线的倾斜角为锐角，请问这样的直线有多少条？
解：首先把决定“直线条数”的特征性质，转化为对“a，b，c”的情况讨论。
设直线的倾斜角为，并且为锐角。
则tan=－＞0,不妨设a＞b,那么b＜0
当c≠0时,则a有3种取法,b有3种取法,c有4种取法,并且其中任意两条直线不重合,所以这样的直线有3×3×4=36条
当c=0时, a有3种取法,b有3种取法, 其中直线:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0重合,所以这样的直线有3×3-2=7条
故符合条件的直线有7+36=43条
(4)平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线互相平行。求：
①这些直线所交成的点的个数（除原10点外）。
②这些直线交成多少个三角形。

解法一：（1）由题设这10点所确定的直线是C102=45条。
这45条直线除原10点外无三条直线交于同一点，由任意两条直线交一个点，共有C452个交点。而在原来10点上有9条直线共点于此。所以，在原来点上有10C92点被重复计数；
所以这些直线交成新的点是：C452－10C92=630。
（2）这些直线所交成的三角形个数可如下求：因为每个三角形对应着三个顶点，这三个点来自上述630个点或原来的10个点。所以三角形的个数相当于从这640个点中任取三个点的组合，即C6403=43486080（个）。
解法二：（1）如图对给定的10点中任取4个点，四点连成6条直线，这6条直线交3个新的点。故原题对应于在10个点中任取4点的不同取法的3倍，即这些直线新交成的点的个数是：3C104=630。

（2）同解法一。
(5)从正方体的八个顶点中任取三个点作为三角形，直角三角形的个数为（ ）
A．56 B．52 C．48 D．40 C
(6)四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A、150种 B、147种 C、144种 D、141种
解：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。以上三种情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有（种）
(7) 以平行六面体的任意三个点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面情况有多少种？
解：平行六面体中能构成三角形个数＝56为任取两个有种情况，其中共面的有12，因而不共面的有—12种
(8)圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？
解：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有=1365（个）
九、重排问题：求幂法（关键是正确判断哪个底数，哪个是指数）
例9、(1)有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有 （ ）种。 A．81 B．64 C．24 D．4
(2)四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是（ ）
A．81 B．64 C．24 D．4
(3)有四位学生参加三项不同的竞赛，
①每位学生必须参加一项竞赛，则有不同的参赛方法有 ；
②每项竞赛只许有一位学生参加，则有不同的参赛方法有 ；
③每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有 。
解析：（1）完成一件事是“分步”进行还是“分类”进行，是选用基本原理的关键。将“投四封信”这件事分四步完成，每投一封信作为一步，每步都有投入三个不同信箱的三种方法，因此：N=3×3×3×3=34=81，故答案选A。
本题也可以这样分类完成，①四封信投入一个信箱中，有C31种投法；②四封信投入两个信箱中，有C32（C41·A22+C42·C22）种投法；③四封信投入三个信箱，有两封信在同一信箱中，有C42·A33种投法、，故共有C31+C32（C41·A22+C42C22）+C42·A33=81（种）。故选A。
（2）因学生可同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将4名学生看作4个“店”，3项冠军看作“客”，每个“客”都可住进4家“店”中的任意一家，即每个“客”有4种住宿法。由分步计数原理得：N=4×4×4=64。
故答案选B。
（3）①学生可以选择项目，而竞赛项目对学生无条件限制，所以类似（1）可得N=34=81（种）；
②竞赛项目可以挑学生，而学生无选择项目的机会，每一项可以挑4种不同学生，共有N=43=64（种）；
③等价于从4个学生中挑选3个学生去参加三个项目的竞赛，每人参加一项，故共有C43·A33=24（种）。
十、着色问题：
常用方法：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论
（2）根据相对区域是否同色分类讨论
（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
例10、(1)如图，一个地区分5个行政区域，现给地图着色，要求相邻
区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共
有　 　　种（用数字作答）72

(2)将3种作物种植在如图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有　　 　种（以数字作答）42

(3)一个圆分成6个大小不等的小扇形，取来红、黄、兰、白、绿、黑6种颜色，从这6种颜色中任选5种着色,但相邻两个扇形不能着相同的颜色, 则有多少种不同的着色方法?
解：6个扇形从6种颜色中任选5种着色共有种不同的方法;其中相邻两个扇形是同一种颜色的着色方法共有;因此满足条件的着色方法共有种着色方法.

(4)某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）．120

(5)如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．
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(6)如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种84

图3 图4 图5 图6
(7)将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种 420
十一、走法问题：插空法
例11、(1)某栋楼从二楼到三楼共10级，上楼只许一步上一级或两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则不同的上楼方法有 （ ）
A．45种 B．36种 C．28种 D．25种
解：C. 8步走10级，则其中有两步走两级，有6步走一级．一步走两级记为a，一步走一级记为b，所求转化为2个a和6个b排成一排，有多少种排法．故上楼的方法有C＝28种；或用插排法．

(2)某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？

(3)设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种5

十二、放法问题：
例12、有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒子内.
(1)共有多少种放法？
(2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？
(3)恰有一个盒子内放2个球，有多少种放法？
(4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？
解(1)一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有44＝256种.
(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个有C41种可能，再将4个球分成2,1,1的三组，有C24种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可.由分步乘法计数原理，共有放法C41×C42×C31×A22＝144种.
(3)“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此，“恰有一个盒子内放2个球”与“恰有一个盒子不放球”是一种情况.故也有144种放法.
(4)先从四个盒子中任意拿走两个盒子有C42种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类.第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C43×C21种放法；第二类：有C42种放法.因此共有C43×C21＋C42＝14种.由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有C42×14＝84种.
十三、选派问题：
例13、1、某培训班有学生15名，其中正副班长各一名，先选派5名学生参加某种课外活动.
(1) 如果班长和副班长必须在内有多少种选派法.
(2) 如果班长和副班长有且只有1人在内有多少种派法.
(3) 如果班长和副班长都不在内有多少种派法.
(4) 如果班长和副班长至少有1人在内，有多少种派法.
解；(1) ＝286 (2) ＝1430 (3) ＝1287
(4) －＝1716

2、(1)从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会，若这4个人中必须既有男生又有女生，则不同的选法有（ ）D
A．140 B．120 C．35 D．34

(2)从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有( )
A、108种 B、186种 C.216种 D、270种
解：没有女生的选法有, 至少有1名女生的选法有种,
所以选派方案总共有：31×=186种。 故选B.

3、(1) 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，则不同的选派方案菜有多少处？
解：（1）分类：第一为甲丙都去，第二类不去共有种
（2）分类：第一类两名老队员都去，第二类去一名老队员共有种
(2) 5名乒乓选手的球队中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有多少种？

4、某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是( )C
A．15 B．45 C．60 D．75
5、有13名医生，其中女医生6人.现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为P，则下列等式其中能成为P 的算式有_________种.
(1) (2) (3) (4)；
解： 交换医疗小组的两成员顺序是同一选派方法，故为组合问题。
用直接法解：选派5名医生分为2男3女，3男2女，4男1女，5男这四类，故（2）正确；
用间接法解： 不考虑限制条件，选派方法有种，需剔除的有1男4女，5女两类，故（3）正确。
因此结论为： （2）（3）.
十四、连号问题：
例14、(1)在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有 种。（作数字作答）12

(2) 一排长椅上共有10个座位，现有4人就坐，恰有5个连续空位的坐法有多少种？
解：假设五个连续空位为一个元素A，B为单独一个空位元素，另4个为元素C1，C2，C3，C4间题转化为A，B，C1，C2，C3，C4排列，条件A，B不相邻，有＝480种.

(3) 同一排6张编号1，2，3，4，5，6的电影票分给4人，每人至少1张，至多2张，且这两张票有连续编号，则不同分法有多少种？
解：假设五个连续空位为一个整元素a，单独一个空位为一个元素b，另4人为四个元素c1、c2、c3、c4．问题化为a,b,c1,c2,c3,c4的排列，条件是a,b不相邻，共有＝48种

(4) 某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．
解；把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．=20种

十五、多面手问题：分类法---选定标准
例15、(1)有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精通,从中选出8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式?
=185

(2)某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法？37

十六、映射、函数问题：
例16、已知，则建立从A到B的映射有 个8
从A到B的函数有 个6
十七.多排问题：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理
例17. (1)8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有种,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,则共有种

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.

(2)有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346

十八、环排问题：
例18、(1)8人围桌而坐,共有 种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即！

一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有

(2)6颗颜色不同的钻石，可穿成 种钻石圈 120