列表法与树状图法应用攻略.doc

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列表法与树状图法应用攻略
山东 卜群祥
学习了计算概率的两种方法“列表法和树状图法”后，很多同学不禁会产生这样的疑问：“求事件的概率，哪个更胜一筹？”有的同学可能还很想了解在运用这两种方法计算概率时需要注意些什么等等.下面就为同学们解答这些疑惑.
一、列表法与树状图法的特点
列表法指用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法．较之于树状图而言，它的优点是操作简便、快速高效．当一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用列表法．
对于一个事件在分析可有出现的结果的过程中，采用画图把所有可能的结果一一列出，这幅图好像一棵倒立的树，称为树状图，它帮助我们分析问题，既直观又条理分明，还可以避免重复和遗漏．当一次试验涉及三个或更多的因素时，列表法就显得无能为力，此时可选用树状图法来确定事件的概率．

例1 甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A，B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数，乙胜．如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．
（1）试用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．
解析：8684（1）用列表表示所有可能出现的结果：
转盘A
转盘B

1
2
3
4
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
5
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）

数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的有4种，所以P（甲获胜）＝＝．
（2）由（1），知“和是4的倍数”的结果有3种，所以P（乙获胜）＝＝．
因为≠，即P（甲）≠P（乙），所以这个游戏规则对甲、乙双方不公平．
二、注意事项
1．用列表法或树状图法确定数组（x，y）时，要注意x，y的有序性（如例1）．
2．在确定事件的概率时要审清题意，在所有等可能的结果中找出所有要关注的结果.
3．分清试验的操作次数，两次操作用列表法或树状图法，三次或三次以上用树状图法.
4．要注意区分两种不同的抽取方式．在连续两次摸球游戏或抽卡片的概率问题中，有两种方式：有放回和无放回．解题时要注意区分，以免发生混淆．
例2 为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场劵，甲和乙设计了如下的摸球游戏：在不透明口袋中放入编号分别为1，2，3的三个红球及编号为4的一个白球，四个小球除了颜色和编号不同外，其他没有任何区别，摸球之前将袋内的小球搅匀，甲先摸两次，每次摸出一个球（第一次摸后不放回），把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一次且摸出一个球，如果甲摸出的两个球都是红色，甲得1分，否则，甲得0分；如果乙摸出的球是白色，乙得1分，否则乙得0分，得分高的获得入场卷，如果得分相同，游戏重来．
（1）运用列表或画树状图求甲得1分的概率；
（2）请你用所学的知识说明这个游戏是否公平？
解析：（1）画树状图如下：

由图，得P（甲得1分）＝＝．
（2）由题意，得P（乙得1分）＝，所以P（甲得1分）≠P（乙得1分），所以游戏不公平．