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辅助圆思想

题型一：共顶点等线段

思路导航

如果在题目中遇到共顶点的等线段，可以利用圆的定义添加辅助圆来凸显线段、角之间的关系．

典题精练

练习：1、如图，△ABC内有一点D，DA＝DB＝DC，若DAB＝，DAC＝，
则BDC＝ .
2、如图，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，若C＝，则BAD＝ .
3、如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，CBD＝，BDC＝，则
BAD＝ .

第1题 第2题 第3题

4、如图，□ABCD中，点E为AB、BC的垂直平分线的交点，若D＝， 则AEC＝ .
5、如图，O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，ABC＝ADC＝，
则DAO＋DCO＝ .

例题：在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．
⑴ 若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；
⑵ 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；

题型二： 共斜边的直角三角形

几个直角三角形若有公共的斜边，那么这些直角三角形的顶点共圆．它的本质其实是直角三角形的顶点到斜边中线的距离都相等，依然是利用圆的定义构造辅助圆．

练习：如图，四边形ABCD中，ACB＝ADB＝，ADC＝，则ABC＝ .

【例1】 已知，是的平分线．将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合．如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；

如图，四边形是正方形，是上一点，交的外角平分线于，求证：．

题型三： 四点共圆的简单应用

例1.如图，在四边形中，是的平分线，若，求证：

例2.已知：如图，正方形中，为对角线，，将绕顶点逆时针旋转（），旋转后角的两边分别交于点、点，交于点、点，联结．在的旋转过程中，的大小是否改变？若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围．

例3.如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆和半圆，其中和分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点.
⑴ 连结，证明：；
⑵ 如图二，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ的长;
⑶ 如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA. 证明：PA是半圆的切线.

训练1. 如图，分别切于两点，满足，且，，求的度数．

训练2. 如图，分别是正方形的边的中点，相交于，求证：．

训练3. 如图，已知在五边形中，，，
且．求证：．
作业：
题型一 共顶点等线段

【练习1】 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，连结．
⑴ 求证：是等边三角形；
⑵ 点在线段的延长线上，连结，作的垂直平分线，垂足为点，并与轴交于点，分别连结、．
①若，直接写出的度数；
②若点在线段的延长线上运动（不与点重合），的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数；

题型二 共斜边的直角三角形

【练习2】 如图，正方形的中心为，面积为，为正方形内一点，且，，求的长．

题型三 四点共圆的简单应用
【练习3】 设是等腰底边的中点，过两点（但不过点）任作一圆交直线于点，连接交此圆于点．求证：．

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春晖数学编写组