等差数列知识点及类型题详解(含精细化答案).doc

数列——等差数列
【考纲解读】
u 理解等差数列的概念。
u 掌握等差数列的通项公式及前项和公式。
u 能根据具体条件识别等差数列，并灵活运用等差数列的性质解决问题。
u 了解等差数列通项公式与一次函数、等差数列前项和与二次函数的关系。

【知识储备】
知识点1、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。

知识点2、等差数列的通项公式
如果等差数列的首项是，公差是，则有（是常数）或，
叠加得到等差数列的通项为： 该公式整理后是关于的一次函数。
例1：已知是一个等差数列，请在下表中填入适当的数或式子。

-5

9

2

-6.5

知识点3、等差中项
如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或
例2：已知是等差数列。
（1） 有，那么是否成立？ 呢？为什么？
（2） 是否成立？
（3） 是否成立？据此你能得出什么结论？

知识点4、等差数列的前n项和
将带入可得
该公式整理后是关于的二次函数。
例3：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和。
（1）
（2）。

知识点5、等差数列的判定方法
v 定 义 法：若（d是常数）或，则数列是等差数列。
v 等 差 中项：若或，则数列是等差数列。
v 通项公式法：若通项公式为一次函数，则数列是等差数列，
且公差，首项。
v 前n项和法：若前项和，则数列是等差数列，
且公差，首项。
例4：已知数列的前项和，求这个数列的通项公式。

知识点6、等差数列的性质
①　 等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有 ——该公式为等差数列的递推公式。
对于等差数列，若，则
也就是：

例5：已知是等差数列。有则 。

②　 若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：

③　 等差数列的前项和的性质：
若项数为， 则，且，．
若项数为，则，且，
（其中，）。
例6：设是等差数列的前项和，若，则 。
【题型划归】
题型一、利用递推公式或求值。
例1、设数列的首项，则 。
万能解题模板：

【现炒现卖】
在数中，，，则的值为（　 　）
A．49 B．50 C．51 D．52
题型二、利用等差中项求值。
例2、已知为等差数列，则等于（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
万能解题模板：

【现炒现卖】
等差数列的前三项依次为 ，，，则等于（ ）
A.-1 B.1 C.-2 D.2
题型三、利用等差数列性质，有求值。
例3、已知等差数列中，= 。
万能解题模板：

【现炒现卖】
若等差数列中，则= 。
题型四、已知其中几项的值，求公差、通项公式、前项和、及的最大（小）值等。
例4、等差数列的前项和为，若 。
万能解题模板：

【现炒现卖】
等差数列中，，，则= 。
题型五、已知前项和的值及后项和的值，求项数或者。
例5、在等差数列中，，，则 。
万能解题模板：

【现炒现卖】
等差数列中，已知，，则其前项和
=　 　　。
题型六、已知，利用求通项公式。
例6、已知数列的前项和，求数列的通项公式。

万能解题模板：

【现炒现卖】
已知数列中，前项和。求证：数列是等差数列。

题型七、已知，，的关系，利用，，成等差数列求其中几个量。
例7、设为等差数列的前n项和，＝14，，则＝　　　　 。

万能解题模板：

【现炒现卖】
设等差数列的前项和为，若，，则　　　　 。

题型八、利用等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，②若项数为，则，且，（其中，）．
例8、设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
万能解题模板：

【现炒现卖】
若等差数列共有项，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，则项数为（ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

课后强化巩固
【基础巩固】
1、等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（　 ）
A.92 B.47 C.46 D.45
2、在等差数列中，，，则 。
3、已知数列的通项,则其前项和为 。
4、记等差数列的前n项和为，若，，则该数列的公差等于（ ）
A.7 B.6 C.3 D.2
5、等差数列中，已知，，，则为（ ）
A.48 B.49 C.50 D.51
6、等差数列-2,1,4，…的前项和为（ ）
A. B. C. D.
7、已知等差数列满足，则（ ）
A. B. C. D.[
8、数列的前项和，则＝___________。
9、在等差数列中,,求的最大值。

10、 三个数成等差数列,和为18,积为66,求这三个数。

【能力加强】
1、首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
A.＞ B.＜3 C. ≤＜3 D.＜≤3
2、在数列中，，且对任意大于1的正整数，点在直 上，
则=_____________。
3、设为等差数列的前项和，＝14，，则　　　　 。
4、等差数列中，,，其前项和=100,则=（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
5、设Sn是等差数列的前项和，若（ ）
A.1 B.－1 C.2 D.
6、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
A.13项 B.12项 C.11项 D.10项
7、 等差数列的前项和为，若（　 　）
A.12 B.18 C.24 D.42
8、一个等差数列中= 33，= 66，则=__________。
9、等差数列的前项和记为.已知
（1）求通项； （2）若=242，求.

10、已知数列是一个等差数列，且，。
（1）求的通项； （2）求前项和的最大值。

【尖子训练】
1、如果，，…，为各项都大于零的等差数列，公差，则（ ）
A. B. C.= D.++
2、若两个等差数列和的前项和分别是，已知，则等于（　 　）
A. B. C. D.
3、已知等差数列中，，，则。
4、等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和，求。

5、已知是等差数列，，；也是等差数列，，。
（1）求数列的通项公式及前项和的公式；
（2）数列与是否有相同的项？ 若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由。

6、设等差数列的首项及公差都为整数，前项和为。
（1）若=0,=98,求数列的通项公式；
（2）若≥6，＞0，≤77，求所有可能的数列的通项公式.

解析
【知识储备】

-5
2
9
3.5

15
2
-11
-6.5

例1、答案：

例2、答案：三个问均成立，结论是：事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
例3、答案：（1）（2）。
例4、答案：，，。
例5、答案：。
例6、答案：。
【题型划归】
例1、
❶关键词：。
❷通过关键词提取到的关键信息：。
❸逻辑思维分析：由，，所以此数列为等差数列，可用
求。
❹答题过程：，可求。
万能解题模板：
第1步：利用递推公式求出公差；
第2步：看题目中是否有首项，若没有则利用递推公式求出，若有则用通项公式求出。
【现炒现卖】答案：C；解析：，。

例2、
❶关键词：等差数列，。
❷通过关键词提取到的关键信息：角标。
❸逻辑思维分析：通过角标关系可知是的等差中项，由可得。
❹答题过程：。
万能解题模板：
第1步：分析给出的三项角标之间是否符合等差中项关系；
第2步：利用等差中项公式求解。
【现炒现卖】答案：B；解析：前三项符合等差中项关系，。

例3、
❶关键词：等差数列，。
❷通过关键词提取到的关键信息：
❸逻辑思维分析：知由角标关系及等差数列可得，则
❹答题过程：
万能解题模板：
第1步：分析给出的四项角标之间是否符合关系；
第2步：利用等数数列的性质，则求解。
【现炒现卖】答案：12；解析：分析角标，前一个等式有，后一个等式有，相加得；前一个等式还有，后一个等式还有，相加得；与抵消了，只剩下，因此，可以把两个等式加起来，即得

例4、
❶关键词：等差数列，
❷通过关键词提取到的关键信息：
❸逻辑思维分析：，由等差数列的性质可得，则
❹答题过程：，，
万能解题模板：
第1步：通过已知两项找其关系，如果需要可利用递推或等差中项公式求出；
第2步：若题目求通项公式，可用递推求解，若求前项和，可利用等差数列性质，再用求解。
【现炒现卖】答案：27；解析：，，，。
例5、
❶关键词：等差数列，，，。
❷通过关键词提取到的关键信息：前三项+后三项=93，。
❸逻辑思维分析：由等差数列性质知，，可算出，由即可算出。
❹答题过程：，，，。
万能解题模板：
第1步：由等差数列性质；
第2步：利用求解。
【现炒现卖】答案： ；解析：。
例6、
❶关键词：。
❷通过关键词提取到的关键信息：。
❸逻辑思维分析：，，由可求出。
❹答题过程：，，。
万能解题模板：
第1步：通过与的关系，递推出与的关系；
第2步：利用求解。
【现炒现卖】解析：，，，整理得 ①，
则 ②，
②-①得，整理得，即是等差数列。

例7、
❶关键词：等差数列，＝14，，？
❷通过关键词提取到的关键信息：角标4、8、12成倍数关系。
❸逻辑思维分析：由等差数列性质，，成等差数列，知，，即可求出。
❹答题过程：，，，。
万能解题模板：
第1步：寻找角标的成倍关系；
第2步：利用等差数列性质，，成等差数列，求解相关量。
【现炒现卖】答案：解析：。

例8、
❶关键词：等差数列，，？
❷通过关键词提取到的关键信息：角标7是奇数，且，。
❸逻辑思维分析：由角标关系，利用等差数列性质项数为（奇数），则可得。
❹答题过程：。
万能解题模板：
第1步：寻找角标的关系；
第2步：利用利用等差数列性质①若项数为，则，且，②若项数为，则，且，（其中，），求。
【现炒现卖】答案：B；解析：有奇数项，，解得，所以。

【基础巩固】

17

1、 答案：C.
2、 答案：-49.
3、 答案：.
4、 答案：C.
5、 答案：C.
6、 答案：B.
7、 答案：C.

8、 答案：；解析：是的形式，
9、 答案：630；解析： ①，配方得 ②，因为，所以只能取11或12；将11、12带入①式求得。
10、 答案：11、6、1；解析：已知的数字只有两个，因此只能列两个方程，而求的三个未知数，多了一个未知数，所以我们可以根据等差数列的性质，巧妙的设未知数，即设三个数分别为，也就只有两个未知数，，解得。
【能力加强】

1、 答案：D.
2、 答案：.
3、 答案：54.
4、 答案：B.
5、 答案：A.
6、 答案：A.
7、 答案：C.
8、 答案：99.

9、 答案：，；解析：，，，，解得。
10、 答案：，；解析：，，，，当时，有最大值4。
【尖子训练】
1、 答案：B；解析： ①，②，②①，。
2、 答案：D；解析：。
3、 答案：0；解析：，，解得，。
4、 答案：；解析：，同理，，，，，所以是首项为-2公差为的等差数列，。
5、 答案：，有；
解析：（1），，，，，；
（2）由（1）的，设，，有，，所以必须是3的倍数，即是3的倍数，令，解得可取1、2、3、4，即在100以内有四个相同的项：18、42、66、90。
6、 答案：；
①②
③
解析：（1），，，；（2）由已知条件有： ，由①③联立解得，由②③联立解得，将带入②③解得，则所有可能的通项公式有。