推理与证明总结课.doc

推理与证明
考纲要求：
1．合情推理与演绎推理（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
2．直接证明与间接证明（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。
3．数学归纳法：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理
归纳
类比
综合法
分析法
反证法
直接证明
间接证明
数学归纳法
知识网络：

一、推理
●1. 归纳推理
1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
2）归纳推理的思维过程大致如图：
实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论

3）归纳推理的特点：
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
●2. 类比推理
1）根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。
2）类比推理的思维过程是：
观察、比较
联想、类推
推测新的结论

●3. 演绎推理
1）演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
2）主要形式是三段论式推理。
3）三段论式推理常用的格式为：
M——P （M是P） ① ①是大前提，它提供了一个一般性的原理；
S——M （S是M） ② ②是小前提，它指出了一个特殊对象；
S——P （S是P） ③ ③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？
合情推理；演绎推理：由一般到特殊.
二、证明
●1. 直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。
综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。
分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“执果索因”。
要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。
●2. 间接证明：即反证法：是指从结论的否定出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
反证法的一般步骤是：反设——推理——矛盾——原命题成立。（所谓矛盾是指：与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾；或与已知条件矛盾）。
常见的“结论词”与“反议词”如下表：

原结论词
否定
原结论词
否定
至少有一个
一个也没有
对所有的x都成立
存在某个x不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x成立
至少有n个
至多有n－1个
p或q
¬ p且¬ q
至多有n个
至少有n＋1个
p且q
¬ p或¬ q

典例精讲：
1．观察下列等式：,……，根据上述规律，第五个等式为 ____________.
2．观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（ ）
（A） (B) (C) (D)
3. 下列表述正确的是（ ）.
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.
4．已知是的充分不必要条件，则是的（ ）
（Ａ） 充分不必要条件 （Ｂ） 必要不充分条件
（Ｃ） 充要条件 （Ｄ） 既不充分也不必要条件
5. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
6.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。
(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；
(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。
7．观察下列等式：
① cos2a=2-1;
② cos4a=8- 8+ 1;
③ cos6a=32- 48+ 18- 1;
④ cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1;
⑤ cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1.
可以推测，m – n + p = .
8．利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1 =， (a≠1，n∈N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是 （ ）
(A)1 (B)1＋a (C)1＋a＋a2 (D)1＋a＋a2＋a3
９．某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得 （ ）
A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立
C．当n=8时该命题不成立 D．当n=8时该命题成立
10.用数学归纳法证明“”（）时，从 “”时，左边应增添的式子是 （ ）
A． B． C． D．
11.已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ）
A．时等式成立 B．时等式成立
C．时等式成立 D．时等式成立
12.求证： +>2+.

13.设a、b、c都是正数，求证:,,至少有一个不小于2.

14.已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1
(1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；(2) 用数学归纳法证明所得的结论.