高考圆锥曲线细分考点经典例题解析版.doc

2015年高考一轮复习讲义
知识模块一 圆锥曲线
一、 知识体系
椭圆：
项目
内容
第一定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆。
第二定义
平面内到定点与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹叫椭圆。
图形

标准方程

几 何 性 质
范围

顶点与长短轴的长

焦点焦距

准线方程

焦半径
左
下
焦准距

离心率
（越小，椭圆越近似于圆）
准线间距

对称性
椭圆都是关于轴成轴对称，关于原点成中心对称
通径

焦点三角形
椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形，其周长为，解题中常用余弦定理和勾股定理来进行相关的计算
焦点弦三角形
椭圆的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形，其周长为。
参数方程
为参数）
为参数）

双曲线：
项目
内容
第一定义
平面内与两个定点的距离之差等于常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。
第二定义
平面内到定点与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹叫双曲线。
图形

标准方程

几 何 性 质
范围

顶点与实虚轴的长

焦点焦距

准线方程

焦半径
当在右支上时
左
当在左支上时
左
当在上支上时
下
当在下支上时
下
渐近线方程

焦准距

离心率
（越小，双曲线开口越小）,等轴双曲线的
准线间距

对称性
双曲线都是关于轴成轴对称，关于原点成中心对称
通径

焦点三角形
双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形，解题中常用余弦定理和勾股定理来进行相关的计算
焦点弦三角形
双曲线的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形。
参数方程
为参数）
为参数）

项目
内容
定义
平面内到定点的距离等于到定直线距离的点的轨迹叫抛物线。
图形

标准方程

几 何 性 质
范围

开口方向
向右
向左
向上
向下
焦准距

顶点坐标
坐标原点（0，0）
焦点坐标

准线方程

对称轴
轴
轴
轴
轴
离心率

通径长

焦半径

抛物线：

能力测试点25 椭圆
题型 1：椭圆的定义和方程
（1）椭圆的定义
【经典例题1】：椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．
解：（1）当为长轴端点时，，，
椭圆的标准方程为：；
（2）当为短轴端点时，，，
椭圆的标准方程为：；
说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
【经典例题2】椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标．
分析：本题的关键是求出离心率，把转化为到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求均可用此法．
解：由已知：，．所以，右准线．
过作，垂足为，交椭圆于，故．显然的最小值为，即为所求点，因此，且在椭圆上．故．所以．
说明：本题关键在于未知式中的“2”的处理．事实上，如图，，即是到右准线的距离的一半，即图中的，问题转化为求椭圆上一点，使到的距离与到右准线距离之和取最小值．
【经典例题3】已知椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距离．
分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．
解法一：由，得，，．
由椭圆定义，，得．
由椭圆第二定义，，为到左准线的距离，∴，
即到左准线的距离为．
解法二：∵，为到右准线的距离，，
∴．又椭圆两准线的距离为．
∴到左准线的距离为．
说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．

（2）离心率e
【经典例题1】已知椭圆的离心率，求的值．
分析：分两种情况进行讨论．
解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得．
当椭圆的焦点在轴上时，，，得．
由，得，即．
∴满足条件的或．
说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上．故必须进行讨论．
【经典例题2】如果椭圆上有一点P，它到左准线的距离为2.5，那么P点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是( )
(A)3 : 1 (B)4 : 1 (C)15 : 2 (D)5 : 1
分析：e=,P点到左准线的距离为2.5，它到左焦点的距离是2， 2a=10, P点到右焦点的距离是8，∴P点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是4 : 1。
解：B

（3）椭圆方程
【经典例题1】已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．
分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．
解：当焦点在轴上时，设其方程为．
由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为．
当焦点在轴上时，设其方程为．
由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为
【经典例题2】已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即．
从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，
可求出，，从而．
∴所求椭圆方程为或．

同步练习
1. 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．
分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值．
解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得．
又，所以，适合．故．

2. 已知椭圆的离心率，求的值．
分析：分两种情况进行讨论．
解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得．
当椭圆的焦点在轴上时，，，得．
由，得，即．
∴满足条件的或．
说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上．故必须进行讨论．

3. 　求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程．
分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为(，)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．

解：设所求椭圆方程为(，)．由和两点在椭圆上可得
即所以，．故所求的椭圆方程为．

4．　已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．
(1)　求的最大值、最小值及对应的点坐标；
(2)　求的最小值及对应的点的坐标．
分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．

解：(1)如上图，，，，设是椭圆上任一点，由，，∴，等号仅当时成立，此时、、共线．
由，∴，等号仅当时成立，此时、、共线．
建立、的直线方程，解方程组得两交点
、．
综上所述，点与重合时，取最小值，点与重合时，取最大值．
(2)如下图，设是椭圆上任一点，作垂直椭圆右准线，为垂足，由，，∴．由椭圆第二定义知，∴，∴，要使其和最小需有、、共线，即求到右准线距离．右准线方程为．

∴到右准线距离为．此时点纵坐标与点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点坐标．
说明：求的最小值，就是用第二定义转化后，过向相应准线作垂线段．巧用焦点半径与点准距互化是解决有关问题的重要手段．
5. 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．
解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，
即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，
即．∴点的轨迹是以，为两焦点，
半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．
说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

题型 2：椭圆的性质
（1） 焦半径的性质
【经典例题1】P（x，y）是以F1（-c，0），F2（c，0）为焦点，以距离之和为2a的椭圆上任意一点.直线l为x=-，PD1⊥l交l于D1. 求证：.
【解答】 由椭圆的焦半径公式 |PF1|=a+ex.
对|PD1|用距离公式 |PD1|=x-=x+.
故有.
【说明】 此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F1（-c,0）（F2（c,0））与定直线l1:x=-(l2：x=)的距离之比为定值e（0<e<1）.

【经典例题2】已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设存在，设，由已知条件得
，，∴，．
∵左准线的方程是，
∴．
又由焦半径公式知：
，．
∵，∴．
整理得．
解之得或． ①
另一方面． ②
则①与②矛盾，所以满足条件的点不存在．

（2） 焦点三角形的性质
【经典例题1 】若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，
求△的面积.
解法一：在椭圆中，而
记 点P在椭圆上，由椭圆的第一定义得：
在△中，由余弦定理得：
配方，得：
从而

解法二：在椭圆中，，而

【经典例题2】已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．
分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．
解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知： ·．①
由椭圆定义知： ②，则得 ．
故 ．

（3） 通径的性质
【经典例题1】设椭圆的右焦点为，右准线为L1,过且垂直于x轴的弦
长等于到L1离，则椭圆的离心率是_________。
分析与略解：过且垂直于X轴的弦长就是椭圆的“通径”长，所以长度为，又到
同步练习
1. 已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则△的面积为（ ）
A. B. C. D.
解：设，则，
故选答案A.

2. 已知椭圆的左、右焦点分别是、，点P在椭圆上. 若P、、是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（ ）
A. B. C. D. 或
解：若或是直角顶点，则点P到轴的距离为半通径的长；若P是直角顶点，设点P到轴的距离为h，则，又
，故答案选D.
3. 已知、是椭圆的两个焦点，椭圆上一点使，求椭圆离心率的取值范围。

解：思路一：由焦点三角形性质二，
　≤＜
思路二：利用焦点三角形性质⑴，从面积角度考虑
不妨设短轴一端点为
则≤
≤ ≤ ≤≥，故　≤＜

题型3：直线和椭圆
（1） 弦的问题
【经典例题1】已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF2的面积
解法一：由题可知：直线方程为
由可得，

解法二：到直线AB的距离
由可得，又

解法三：令则，其中
到直线AB的距离
由可得，

[评述]在利用弦长公式（k为直线斜率）或焦（左）半径公式时，应结合韦达定理解决问题。

【经典例题2】已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两准线间的距离为2，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是，求椭圆的方程
解：解法一：令椭圆方程为，由题得：，
由可得，
又即
椭圆方程为
解法二：令椭圆方程为，由题得：，
由作差得

又即
椭圆方程为
（2） 椭圆上的点到直线的距离

【经典例题1】

解：

（3） 利用直线与椭圆的位置关系
【经典例题1】判断直线与椭圆的位置关系
解：由可得
（1）当时，直线与椭圆相交
（2）当时，直线与椭圆相切
（3）当时，直线与椭圆相离

【经典例题2】若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围.
解：由可得，即

[评述]由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去或得到关于或的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交（2）直线与椭圆相切（3）直线与椭圆相离，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。

同步练习
1. 已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．
分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去(或)，得到关于(或)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出，(或，)的值代入计算即得．
并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．

解：方法一：设所求直线方程为．代入椭圆方程，整理得
　①
设直线与椭圆的交点为，，则、是①的两根，∴
∵为中点，∴，．∴所求直线方程为．
方法二：设直线与椭圆交点，．∵为中点，∴，．
又∵，在椭圆上，∴，两式相减得，
即．∴．∴直线方程为．
方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为，另一个交点．
∵、在椭圆上，∴　　①。 　　　　　②
从而，在方程①－②的图形上，而过、的直线只有一条，∴直线方程为．
说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．
若已知焦点是、的椭圆截直线所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？

2. 已知椭圆及直线．
（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．
解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，
即．，解得．
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．
根据弦长公式得 ：．解得．方程为．

说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．
这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．
用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．

题型4：椭圆综合
（1） 点差法问题
【经典例题1】已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．
分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求．
解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得
．
由韦达定理得．
∵是弦中点，∴．故得．
所以所求直线方程为．
分析二：设弦两端坐标为、，列关于、、、的方程组，从而求斜率：．
解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得

①－②得． ⑤
将③、④代入⑤得，即直线的斜率为．
所求直线方程为．
说明：
（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．
（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．

（2） 求椭圆方程
【经典例题1】已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
解：由题意，设椭圆方程为，
由，得，
∴，，
，∴，
∴为所求．

（3） 面积、距离问题
【经典例题1】(1)写出椭圆的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积．
分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．
解：(1) ．
(2)设椭圆内接矩形面积为，由对称性知，矩形的邻边分别平行于轴和轴，设为矩形在第一象限的顶点，，
则
故椭圆内接矩形的最大面积为12．
说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．

（4） 定点、定值问题
【经典例题1】已知点是椭圆上任意一点，直线的方程为， 直线过P点与直线垂直，点M（-1，0）关于直线的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标。
解：直线的方程为，即
设关于直线的对称点的坐标为
则，解得
直线的斜率为
从而直线的方程为：
即
从而直线恒过定点
【经典例题2】在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不 过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为， 射线交椭圆于点，交直线于点.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若∙，求证：直线过定点；
解：（Ⅰ）由题意:设直线,
由消y得:,

设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: [来源:学科网]
=,即,,
所以中点E的坐标为,
因为O、E、D三点在同一直线上，
所以，即， 解得，
所以=,当且仅当时取等号, 即的最小值为2.
（Ⅱ）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,
所以由得交点G的纵坐标为,
又因为,,且∙，所以,
又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直线的方程为,
即有, 令得,y=0,与实数k无关,

（5） 存在性、探究性问题
【经典例题1】如图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
解：（I）由
解得，故椭圆的标准方程为

（II）设，则由
得

因为点M，N在椭圆上，所以
，
故

设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知
因此
所以
所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为

（6） 求轨迹方程问题
【经典例题1】已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，
求线段中点的轨迹方程．
分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则

①－②得．
由题意知，则上式两端同除以，有，
将③④代入得．⑤
（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为： ． ⑥
将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．
（2）将代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分）
（3）将代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分）
（4）由①＋②得 ： ， ⑦， 将③④平方并整理得
， ⑧， ， ⑨
将⑧⑨代入⑦得： ， ⑩
再将代入⑩式得： ， 即 ．
此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

（7） 利用函数、导数、不等式求参数、式子范围
【经典例题1】已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆G于A,B两点. 将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.
解：由题意知，.
当时，切线的方程为，点A,B的坐标分别为，
此时；
当时，同理可得；
当时，设切线的方程为.
由得.
设A,B两点的坐标分别为.
又由与圆相切，得，即.
所以
.
由于当时，，
，
当且当时，.所以|AB|的最大值为2.
【经典例题2】已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交 椭圆于A、B两点，求△PAB面积的最大值。
解、设椭圆方程为，由题意可得
，
故椭圆方程为
设AB的直线方程：.
由，得，
由，得
P到AB的距离为，
则
。[来源:Zxxk.Com]
当且仅当取等号， ∴三角形PAB面积的最大值为。

课后作业
1.F1，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=8，则M点的轨迹方程是( )
(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段

2. 已知的周长是16，，B, 则动点的轨迹方程是( )
(A) (B) (C) (D)

3. 若F(c，0)是椭圆的右焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为M，最小值为m，则椭圆上与F点的距离等于的点的坐标是( )
(A)(c，) (C)(0，±b) (D)不存在

4. 设F1(-c，0)、F2(c，0)是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)

5. 设A(－2, )，椭圆3x2＋4y2=48的右焦点是F，点P在椭圆上移动，当|AP|＋2|PF|取最小值时P点的坐标是( )。
(A)(0, 2) (B)(0, －2) (C)(2, ) (D)(－2, )
6. P点在椭圆上，F1、F2是两个焦点，若，则P点的坐标是 .

7.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; .
(2)焦点坐标为,,并且经过点(2，1); .
(3)椭圆的两个顶点坐标分别为,,且短轴是长轴的; ____
(4)离心率为，经过点(2，0); .

8. 是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是 ．
9. 椭圆中心是坐标原点O，焦点在x轴上，e=，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点，|PQ|=，且OP⊥OQ，求此椭圆的方程

10. 已知椭圆的离心率为, 且过点, 记椭圆的左顶点为.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设垂直于轴的直线交椭圆于两点, 试求面积的最大值；
(3) 过点作两条斜率分别为的直线交椭圆于两点, 且, 求证: 直线恒过一个定点.

11. 已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为、，一个顶点为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）对于轴上的点，椭圆上存在点，使得，求的取值范围.

12. 已知椭圆的一个焦点为F1(0,-2)，对应的准线方程为，且离心率e满足：
成等差数列。
（1）求椭圆方程；
（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。

课后作业答案：

1. A 2. B 3. C
4. B∵，∴.
5. C提示：椭圆3x2＋4y2=48中，a=4, c=2, e=, 设椭圆上的P点到右准线的距离为d，则=, ∴|AP|＋2|PF|=|AP|＋d, ∴当AP平行于x轴且P点在A点与右准线之间时，|AP|＋d为一直线段，距离最小，此时P点纵坐标等于，∴P点坐标是(2, )
6. (3,4) 或(-3, 4)
7. (1)或; (2) ;
(3)或; (4) 或.
8. ≤
9. 解:设椭圆方程为+=1,(a>b>0)
⑴PQ⊥x轴时，F(-c,0)，|FP|=，又|FQ|=|FP|且OP⊥OQ，∴|OF|=|FP|,即c=∴ac=a2-c2,∴e2+e-1=0,∴e=与题设e=不符,所以PQ不垂直x轴.
⑵PQ∶y=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),∵e=,∴a2=c2,b2=c2,
所以椭圆方程可化为:3x2+12y2-4c2=0,将PQ方程代入，
得(3+12k2)x2+24k2cx+12k2c2-4c2=0,∴x1+x2=,x1x2=
由|PQ|=得·=①
∵OP⊥OQ,∴·= -1即x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0②
把，代入，解②得k2=，把代入①解得c2=3
∴a2=4,b2=1，则所求椭圆方程为+y2=1.
10解:(1)由,解得,所以椭圆的方程为
(2)设,,则
又, 所以,
当且仅当时取等号从而, 即面积的最大值为
(3)因为A(－1,0),所以,
由,消去y,得,解得x=－1或,
∴点 同理,有,而,
∴ ∴直线BC的方程为,
即,即
所以,则由,得直线BC恒过定点
11. 解：（1）由题意可得，，，∴．
∴所求的椭圆的标准方程为：．
（2）设，则 ． ①
且，，
由可得，即
∴． ②
由①、②消去整理得
． ∵
∴．
∵， ∴ ．

∴的取值范围为.
12. 解：（1）依题意e ， ∴a＝3，c＝2，b＝1，
又F1(0，－2)，对应的准线方程为∴椭圆中心在原点，所求方程为
(2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被平分
∴直线l的斜率存在。 设直线l：y＝kx＋m
由消去y，整理得 (k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0
∵l与椭圆交于不同的两点M、N，
∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)＞0 即m2－k2－9＜0 ①
设 M(x1,y1),N(x2,y2) ②
把②代入①式中得，
∴k＞或k＜－∴直线l倾斜角