全国高中数学联赛模拟试题.docx

一试
一、 填空题（每小题8分，共64分）
1.已知函数，若实数满足，则的取值范围是__________．
满足，则的最大值为．
，，，
（），则当取到最小值时，________________
4.有一个顶点在下且底面呈水平状的圆锥形容器，轴截面是边长为6的正三角形，容器里装满了水，现有一个正四棱柱，底面边长为，高为，
竖直地浸在容器里，为了使容器溢出的水最多，a的值应取为．
中，，是所在平面上任意一点，
则的最小值是______________
6. 正数列满足:(为前项之和),则=_____________________．
的直线与抛物线交于点，与圆交于点，
若且，则这样的直线的条数是
8. 6名男生和名男生站在一起的概率为，若，则的最小值为．
二、 简答题（本大题共3小题，共56分）
满足：（），
且，求的通项公式．
的图像开口向上，与轴正向交于两点，与轴交于点，以为顶点，若三角形的外接圆与轴相切，且，则时，求的最小值．
11、已知圆（）与椭圆有公共点，求圆的半径的最小值．
2017全国高中数学联赛模拟试题03
加试
一（本题满分40分）

如图，圆、圆与圆相交于点，圆和圆的另一个交点为，经过点的一条直线分别交圆、圆于点、，的延长线交圆于点，作交圆于点，再作、分别切圆、圆于、．
求证：．
二、（本题满分40分）
若数列是项为非负整数的不减数列，且满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列，如此可定义数列等．
求证：．
三、（本题满分50分）
证明：存在无穷多个素数，使得对于这些素数中的每一个，至少存在一个，
满足：．
四、（本题满分50分）
平面上有（）个半径相同的圆，其中任意两个圆都不相切，任意一个圆至少与另外三个圆相交．设这些圆的交点个数为，求的最小值．
2017全国高中数学联赛模拟试题03
一、 填空题（每小题8分，共64分）
1.已知函数，若实数满足，则的取值范围是__________．
解：由已知，作图可知∴且，令，则在上是减函数.∴，从而取值范围为．
2.函数满足，则的最大值为．
解：设．显然非空，取，即，故
，从而．当时，显然有．以下设，此时
，．
易知当且仅当对任意，有，即，故整数的最大值为3．
3.设复数，，，
（），则当取到最小值时，________________
解：≥，当且仅当，即时，取到最小值，此时，．
4.有一个顶点在下且底面呈水平状的圆锥形容器，轴截面是边长为6的正三角形，容器里装满了水，现有一个正四棱柱，底面边长为，高为，竖直地浸在容器里，为了使容器溢出的水最多，a的值应取为．
解：取过四棱柱底面正方形相对顶点的轴截面，得一正三角形与其内接矩形，其底边长为a，
设其高为h，则得∴＝，Þh＝3－，∴V四棱柱＝a2(3－)＝a2(3－a)
＝2·a·a(3－a)≤2()3＝2()3＝8．等号当且仅当a＝2时等号成立．
5.在中，，是所在平面上任意一点，
则的最小值是______________
解：

则．
6. 正数列满足:(为前项之和),则=_____________________．
解：由已知可得：，令，则，且，，
所以，令，则，且，设，则
，从而，即，所以，故，
从而，即．
的直线与抛物线交于点，与圆交于点，
若且，则这样的直线的条数是

8. 6名男生和名女生随机站成一排，每名男生都至少与另一男生相邻.
至少有名男生站在一起的概率为，若，则的最小值为．
解：若每名男生都至少与另一男生相邻，则必有如下站法之一：,
.考虑站法.在每两名男生组成的空档之间安排一名女生，进而，在个位置安排余下的名女生.因此，这样的排法有种.
考虑站法,,.这样将男生分成两个小组，空档之间安排一名女生，进而，在个位置安排余下的名女生.因此，这样的排法有种.
考虑站法.将名男生视为一个整体，与名女生排列站队，有种排法.
综上所述，.故.注意到，，故所求的最小值应满足易知，，.从而.
三、 简答题（本大题共3小题，共56分）
9.已知正数数列满足：（），
且，求的通项公式．
解：由可得：，
设，，且．
则，
所以：当≥2时，，综上：．
10.二次函数的图像开口向上，与轴正向交于两点，与轴交于点，以为顶点，若三角形的外接圆与轴相切，且，则时，求的最小值．
解：设，
，则的外接圆圆心．
由
，则为等边三角形．
则，
≥．
此时，二次函数为，．
11、已知圆（）与椭圆有公共点，求圆的半径的最小值．
解：设切点为，
则

求，的最小值．又
≤≤当且仅当
即时，取到等号．
（另解：求导）此时，，．
2015全国高中数学联赛模拟试题03

加试
一证明：连交圆、圆与分别为、、，
由相交弦定理及切割线定理得：

两式相加得：
又，
所以：，
．
二、证明：对，表示中，比小的项的个数，设，再由的定义知，对，中比小的项的个数中比小的项的个数，故是项为非负整数的不减数列．所以：，即
又是项为非负整数的不减数列，所以：，．综上：．
三、证明：假设结论不成立，设为能整除形如这样的数中至少其中之一的全部素数．考虑个数，（），由于这些数是有限数，故存在一个，使得这个数中的任何一个都不能被（）整除．又可以足够大，知存在一个，使，其中，对于这个足够大的，将其质因数分解后，知必存在某个的指数大于．考虑这个足够大的及这个数，由于它们每一个均能被某个整除，
但是仅有个，由抽屉原理知，这个数中必存在两个数被同一个整除（），
即，，其中0≤≤，
所以：与的选择矛盾．
综上：原结论成立．
四、解：记为这个圆的集合，为这个圆的交点的集合．
设圆和交点，若点不在圆上，定义；若点在圆上，定义，其中是过点的圆的个数．则对于中的任意点，有．对于中的任意圆，选取且，使得是最小的，记是通过点的其它个圆，其中圆（）与圆的另外一个交点为，又这些圆的半径相同，则个点两两不同．

∴≥≥
∴≥
下面说明是可以取到的，
如图：每四个圆有4个交点，（本质上所有圆的半径为，正的边长为，
这四个圆是的外接圆）∴．