导数在函数中的应用-恒成立存在性等问题的探究.doc

导数在函数中的应用-恒成立存在性等问题的探究
不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）
1、恒成立问题的转化：恒成立；
2、能成立问题的转化：能成立；
3、恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M
另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值.
4、设函数、，对任意的，存在，使得，则
5、设函数、，对任意的，存在，使得，则
6、设函数、，存在，存在，使得，则
7、设函数、，存在，存在，使得，则
8、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方；
9、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方。

导数题是高考题中的常客，而且大都以压轴题的面目出现，所以拿下导数题是迈入高分段的标志。导数题虽年年有，但却悄然之中发生着些改变。这其中，尤以关于“任意”、“存在”的内容最为明显。“任意”、“存在”可以说是导数题最为明显的特色，从早期单一型，发展到现今的混合型。下面对此作一归纳。
（一）．单一函数单一“任意”型
例1．已知函数的最小值为,其中。
(1)求的值；
(2)若对任意的,有成立,求实数的最小值。

练习1：设函数.当时，不等式的解集为，求实数的取值范围为 .

练习2：已知为坐标原点，为函数图像上一点，记直线的斜率.
(Ⅰ) 若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围;
(Ⅱ) 当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

（二）．单一函数单一“存在”型
例2. 已知函数()，若存在，使得成立，求实数的取值范围。

（三）．单一函数双“任意”型
例3. 设函数。
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围。

练习1：设函数．
(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；
（Ⅱ）若对于任意，都有，求的取值范围．

练习2：已知函数．[来源:学_科_网]
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）时，讨论的单调性；
（Ⅲ）若对任意的恒有成立，
求实数的取值范围．

例4.已知函数。
（1）讨论函数的单调性；
（2）设.如果对任意，，求的取值范围。

（四）．单一函数双“存在”型
例5．设是函数的一个极值点。
（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
（2）设，。若存在使得成立，求的取值范围。

（五）．双函数“任意”+“存在”型：
例5．已知函数，，若存在，对任意，总有成立，求实数m的取值范围。

练习1：已知两函数，，对任意，存在，使得，则实数m的取值范围为

练习2：已知，，若对任意的x1∈[﹣1，2]，总存在
x2∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x2），则m的取值范围是________．

练习3：f（x）=sinx+cosx,x∈[0,π],存在常数m∈R满足：
任意的x1∈[0，π]，总存在x2∈[0，π]，使得f（x1+x2）2=m，则m= ________．

练习4：已知函数，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R。
设函数h（x）=x2-mx+4，当a=2时，若∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．

例6．设函数．
（1）求的单调区间．
（2）设，函数．若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围．

练习1
已知函数满足，且当时，，当时，的最大值为．
（1）求实数a的值；
（2）设，函数，．若对任意，总存在，使，求实数b的取值范围．

（六）．双函数“任意”+“任意”型
例7．设，．
（1）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；
（2）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围。

练习1： 设，函数，若对任意的，都有成立，则的取值范围为 ．

练习2： 已知函数 ，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 .

（七）．双函数“存在”+“存在”型
例8．已知函数，。若存在，，使，求实数取值范围。

练习1：已知函数，f（x）=g（x）-ax．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；
（3）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a，求实数a的取值范围．

练习2：已知函数（e为自然对数的底数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，存在实数，使得成立，求实数的取值范围.
.

例9．已知函数，。是否存在实数，存在，，使得成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

22