2017年山东单招数学模拟试题及答案.doc

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2017年山东单招数学模拟试题及答案
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1．已知集合≤，，则集合A中所有元素之和为 ▲ ．
2．如果实数和非零向量与满足，则向量和 ▲ ．
（填“共线”或“不共线”）．
3．△中，若，，则 ▲ ．
4．设，为常数．若存在，使得，则实数a的
取值范围是 ▲ ．
5．若复数，，，且与均为实数，
则  ▲ ．
6． 右边的流程图最后输出的的值
是 ▲ ．

7．若实数、{，，，}，且，则曲线表示焦点在轴上的双曲线的概率是  ▲ ．
8． 已知下列结论：
① 、都是正数，
② 、、都是正数，

▲
则由①②猜想：

、、、都是正数

9．某同学五次考试的数学成绩分别是120， 129， 121，125，130，则这五次考试成绩
的方差是 ▲ ．
10．如图，在矩形中， ，，以
为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在圆弧
上任取一点，则直线与线段有公共点的概率
是 ▲ ．

第10题图

11．用一些棱长为1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图，则这个几何体的体积最大是 ▲ cm3．

图1（俯视图） 图2（主视图）
第11题图
12．下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，
月份
1
2
3
4
用水量
4.5
4
3
2.5
由其散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程
是 ▲ ．
13．已知平面内一区域，命题甲：点；命题乙：点
．如果甲是乙的充分条件，那么区域的面积的最小值是 ▲ ．
14．设是椭圆上任意一点，和分别是椭圆的左顶点和右焦点，
则的最小值为 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
A
B
C
C1
A1
B1
15．（本小题满分14分）
直三棱柱中，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积．

16．（本小题满分14分）
某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．
（1）求该企业使用该设备年的年平均污水处理费用（万元）；
（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？
17．（本小题满分14分）
如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点，另一圆与圆外切、且与轴及直线分别相切于、两点．
（1）求圆和圆的方程；
（2）过点B作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度．
18．（本小题满分14分）
已知函数，．
（1）求函数在内的单调递增区间；
（2）若函数在处取到最大值，求的值；
（3）若（），求证：方程在内没有实数解．
（参考数据：，）
19．（本小题满分16分）
已知函数（）的图象为曲线．
（1）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；
（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分18分）
已知数列的通项公式是，数列是等差数列，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．
（1）若，，求数列的通项公式；
（2）若，数列的前5项成等比数列，且，，求满足
的正整数的个数．
三、附加题部分（本大题共6小题,其中第21和第22题为必做题，第23～26题为选做题，请考生在第23～26题中任选2个小题作答，如果多做，则按所选做的前两题记分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
21．（本小题为必做题，满分12分）
已知直线被抛物线截得的弦长为20，为坐标原点．
（1）求实数的值；
（2）问点位于抛物线弧上何处时，△面积最大？

22．（本小题为必做题，满分12分）
甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．
（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；
（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为，求随机变量的期望．

23．（本小题为选做题，满分8分）
如图，在△中，是的中点，是的中点，的延长线交于.
（1）求的值；
（2）若△的面积为，四边形的面积为，求的值．

24．（本小题为选做题，满分8分）
已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：
．
（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）判断直线和圆的位置关系．

25．（本小题为选做题，满分8分）
试求曲线在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M =，N =．

26．（本小题为选做题，满分8分）
用数学归纳法证明不等式：．

参考答案
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1． 2．共线 3．4 4． 5．
6．5 7． 8． 9．16.4
10． 11．7 12． 13．2 14．
二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）
15． （本小题满分14分）
解：（1）直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，
则BB1⊥AB，BB1⊥BC，------------------------------------------------------------3分
又由于AC=BC=BB1=1，AB1=，则AB=，
则由AC2+BC2=AB2可知，AC⊥BC，--------------------------------------------6分
又由上BB1⊥底面ABC可知BB1⊥AC，则AC⊥平面B1CB，
所以有平面AB1C⊥平面B1CB；--------------------------------------------------9分
（2）三棱锥A1—AB1C的体积．----------14分
（注：还有其它转换方法）
16．（本小题满分14分）
解：（1）
即（）；------------------------------------------------7分
（不注明定义域不扣分，或将定义域写成也行）
（2）由均值不等式得：
（万元）-----------------------11分
当且仅当，即时取到等号．----------------------------------------13分
答：该企业10年后需要重新更换新设备．------------------------------------------14分
17．（本小题满分14分）
解：（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半
径，则M在∠BOA的平分线上，
同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA
的平分线，
∵M的坐标为，∴M到轴的距离为1，即⊙M的半径为1，
则⊙M的方程为，------------------------------------4分
设⊙N的半径为，其与轴的的切点为C，连接MA、MC，
由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，
即，
则OC=，则⊙N的方程为；----------------8分
（2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙截得的弦
的长度，此弦的方程是，即：，
圆心N到该直线的距离d=，--------------------- -------------------------11分
则弦长=．----------------------------------------------------14分
另解：求得B（），再得过B与MN平行的直线方程，
圆心N到该直线的距离=，则弦长=．
（也可以直接求A点或B点到直线MN的距离，进而求得弦长）
18．（本小题满分14分）
解：（1），
令（）
则，------------------------------------------------2分
由于，则在内的单调递增区间为和；
---------------4分
（注：将单调递增区间写成的形式扣1分）
（2）依题意，（），------------------------------------------6分
由周期性，
；-----------------8分
（3）函数（）为单调增函数，
且当时，，，此时有；-------------10分
当时，由于，而，
则有，即，
又为增函数，当时， ------12分
而函数的最大值为，即，
则当时，恒有，
综上，在恒有，即方程在内没有实数
解．--------------------------------------------------------------------------------------------14分
19． （本小题满分16分）
解：（1），则，
即曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围是；------------4分
（2）由（1）可知，---------------------------------------------------------6分
解得或，由或
得：；-------------------------------9分
（3）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B，
，
则切线方程是：，
化简得：，--------------------------11分
而过B的切线方程是，
由于两切线是同一直线，
则有：，得，----------------------13分
又由，
即
，即
即，
得，但当时，由得，这与矛盾。
所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点。----------------------------------16分
20．（本小题满分18分）
解：（1）若，因为5，6，7 ，则5，6，7，
由此可见，等差数列的公差为1，而3是数列中的项，
所以3只可能是数列中的第1，2，3项，
若，则， 若，则，
若，则；-----------------------------------------------------------4分
（注：写出一个或两个通项公式得2分，全部写出得4分）
（2）首先对元素2进行分类讨论：
①若2是数列的第2项，由的前5项成等比数列，得
，这显然不可能；
②若2是数列的第3项，由的前5项成等比数列，得，
因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的，
所以，则，因此数列的前5项分别为1，，2，，4，
这样，
则数列的前9项分别为1，，2，，4，，，，8，
上述数列符合要求；---------------------------------------------------------10分
③若2是数列的第项（），则，
即数列的公差，
所以，1，2，4<，所以1，2，4在数列的
前8项中，由于，这样，，，…，以及1，2，4共9项，
它们均小于8，
即数列的前9项均小于8，这与矛盾。
综上所述，，---------------------------------------------------------12分
其次，当时， ，
，，-------------------------------------------14分
当时， ，因为是公差为的等差数列，
所以，----------------------------------------------------------16分
所以，
此时的不符合要求。所以符合要求的一共有5个。-------------------18分

三、附加题部分：
21．（必做题）（本小题满分12分）
解：（1）将代入得，----------------------2分
由△可知，
另一方面，弦长AB，解得；-------------6分
（2）当时，直线为，要使得内接△ABC面积最大，
则只须使得，-----------------------------------------------10分
即，即位于（4，4）点处．----------------------------------------12分

22．（必做题）（本小题满分12分）
解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件、、；
表示事件“恰有一人通过笔试”
则

---------------------------------------------------------------------6分
（2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为，
---------------------------------------------------------------------9分
所以，故．-------------12分
解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件，
则
所以，
，．
于是，．

23．（选做题）（本小题满分8分）
证明：（1）过D点作DG∥BC，并交AF于G点， -------------------------2分
∵E是BD的中点，∴BE=DE，
又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，
∴△BEF≌△DEG，则BF=DG，
∴BF：FC=DG：FC，
又∵D是AC的中点，则DG：FC=1：2，
则BF：FC=1：2；----------------------------------------------4分
（2）若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，
则由（1）知BF：BC=1：3，
又由BE：BD=1：2可知：=1：2，其中、分别为△BEF和△BDC的高，
则，则=1：5． -----------------------8分

24．（选做题）（本小题满分8分）
解：（1）消去参数，得直线的普通方程为；-----------------------2分
即，
两边同乘以得，
消去参数，得⊙的直角坐标方程为：
--------------------------------------------------------------4分
（2）圆心到直线的距离，
所以直线和⊙相交．---------------------------------------8分

25．（选做题）（本小题满分8分）
解：MN = =，---------------------------------------------------4分
即在矩阵MN变换下，-------------------------------------6分
则，
即曲线在矩阵MN变换下的函数解析式为．----------8分

26．（选做题）（本小题满分8分）
证明：（1）当时，左边＝，时成立 ----------2分
（2）假设当时成立，即
那么当时，左边

时也成立 --------------------------------------------------7分
根据（1）（2）可得不等式对所有的都成立 ----------------------------------8分

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