微分中值定理应用.doc

Liaoning Normal University
（2011届）

本科生毕业论文(设计)

题 目：微分中值定理的应用研究
学 院：数学学院
专 业：数学与应用数学
班级序号：09数学23号
学 号：20091122060020
学生姓名：李石
指导教师：李劲松

2011年5月

目 录

摘 要 1
Abstract（Key words） 1
前 言 2
1微分中值定理及其证明 3
1.1罗尔定理 3
1.2拉格朗日中值定理 3
1.3柯西中值定理 4
1.4泰勒公式 4
1.5常用微分中值定理及内在联系 5
2 微分中值定理的应用 5
2.1证明方程根的存在性 5
2.2证明不等式 6
2.3讨论函数的单调性,并利用函数的单调性求极值 7
2.4求极限 8
2.5泰勒公式 8
2.6求近似值 9
2.7用来证明函数恒为常数 9
2.8中值点存在性的应用 10
2.8.1一个中值点的情形 10
2.8.2 两个中值点的情形 14
2.8.3 含中值点的积分等式的证明 14
3小结 16
参考文献 17
致 谢 18

i

微分中值定理的应用研究

微分中值定理的应用研究

摘 要：微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理, 它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁. 本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用，论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及确定根的存在性等几个方面的应用,以加深对微分中值定理的理解。
关键词：微分中值定理；拉格朗日中值定理；泰勒公式
Abstract（Key words）：The mid-value theorems is very important in mathematics analysis, it is the basic theorem communication function of the relationship between its derivative bridge. This paper introduced the case form mid-value theorem in the mathematical analysis, this paper discusses the application of mid-value theorem in the limit, proof inequality; and determine the existence of root from several aspects such as the application to deepen the understanding of differential mid-value theorem.
Key Words: Differential mean value theorem in ；Lagrange；Taylor formula

前 言
微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中占有重要的地位，是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具。其中，拉格朗日定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。通过查阅大量资料文献和网上查阅，我找到了很多相关资料。
本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用，论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及泰勒公式和中值点存在性等几个方面的应用研究比较细致和深入。其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，也是在历年考研试题中经常出现的题型之一。利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证明思路。充分理解微分学的相关知识，掌握微分中值定理的内容，并会熟练的应用。
使用微分中值定理证题，方法多种多样，技巧性强。本文对这一部分的典型例题进行整理归纳总结，总结出一套符合初学者认知规律的解题方法是非常必要的，这也是进一步学习数学分析的基础。

1微分中值定理及其证明
为了应用导数的概念和运算来研究函数与实际问题，需要一个联系局部与整体的工具，这就是微分中值定理.微分学是数学分析的重要组成部分, 微分中值定理作为微分学的核心, 是沟通导数和函数值之间的桥梁.罗尔中值定理、 拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式是微分学的基本定理, 统称为微分学的中值定理, 这四个定理作为微分学的基本定理, 是研究函数形态的有力工具.
1.1罗尔定理
若函数满足如下条件：
（ⅰ）在闭区间上连续；
（ⅱ）在开区间内可导；
（ⅲ）,
则在内至少存在一点使得
罗尔定理的几何意义是说：在每一点可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条切线.
证明：因为在上连续，所以有最大值与表示，现分两种情况来讨论：
（1）若,则在上必为常数，从而结论显然成立.
（2）若,则因使得最大值与最小值至少有一个在内某点处取得，从而是的极值点，由条件在开区间内可导，在点处可导，故由费马定理推知
注：定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立.
先讲罗尔定理,并由此推出微分学的两个基本定理—拉格朗日中值定理和柯西中值定理.
1.2拉格朗日中值定理
若函数满足如下条件：
（ⅰ）在闭区间上连续；
（ⅱ）在开区间内可导；
则在内至少存在一点使得 （1）
显然，特别当时为罗尔定理。
这表明罗尔定理是拉格朗日的定理的一个特殊情形.
证明：做辅助函数
显然，(=0),且在上满足罗尔定理的另两个条件，故存在使，移项既得到所要证明的（1）式.
拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线,我们在证明中引入辅助函数，正是曲线与直线.
1.3柯西中值定理
设函数满足：
（ⅰ）在闭区间上连续；
（ⅱ）在开区间内可导；
（ⅲ）不同时为零；
（ⅳ）
则存在，使得
证明：作辅助函数
.
易见在上满足罗尔定理条件，故存在，使得

因为（否则由上式也为零），所以可把上式改成。
注:若有=0，则若则.
当函数在这表明在的附近可用一次多项式逼近，现在，我们希望用更高多项式逼近，因为多项式在运算上最方便，且具有很好的性质.泰勒（1685-1731,英国数学家）最早考虑了这个问题.随着定理的不断深入，应该说泰勒公式才达到了中值定理的最后阶段.
1.4泰勒公式
若在上有直到阶连续导数，在上阶导数存在，则
其中
注意:
当
令:

1.5常用微分中值定理及内在联系
中值定理
条 件
结 论
罗尔中值定理
在闭区间上连续，内可导
则，使得
柯西中值定理
则，使得
则，使得
拉格朗日中值定理
，在闭区间上连续，内可导，0，
则，使得
泰勒公式
在上有直到阶连续导数，在上阶导数

关系
柯西和泰勒都是拉格朗日的推广，拉格朗日是罗尔的推广

表1-1

2 微分中值定理的应用
2.1证明方程根的存在性
把要证明的方程转化为的形式.对方程用下述方法：
（1） 根的存在定理若函数在区间上连续，且，则至少存在一点，.
（2） 若函数的原函数在上满足罗尔定理的条件，则在内至少有一个零值点.
（3） 若函数的原函数在处导数也存在，由费马定理知即.
（4） 若在区间上连续且严格单调，则在内至多有一个零值点.若函数在两端点的函数（或极限）值同号，则无零值点，若函数在两端点的函数（或极限）值异号，则有一个零值点.
（5） 用泰勒公式证明根的存在性.
（6） 反证法.
（7） 在证明方程根的存在性的过程中，经常用到拉格朗日定理，积分中值定理，有时也用到柯西中值定理来证明满足方程的存在性所需的条件，然后利用上的方法来证明方程根的存在性.

例1 若在上连续，在内可导，证明：在内方程至少存在一个根.
证明：令
显然在上连续，在内可导，而且

根据罗尔定理，至少存在一个，使

至少存在一个根.
2.2证明不等式
不等式是数学中的重要内容和工具。在微分学中,微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用.
(1) 拉格朗日定理适用于已知函数导数的条件，证明涉及函数（值）的不等式
(2) 泰勒公式适用于已知函数的高阶导数的条件，证明涉及函数（值）或低阶导函数（值）的不等式.

例2 求证

分析：根据不等式两边的代数式选取不同的,应用拉格朗日中值定理得出一个等式后,对这个等式根据取值范围的不同进行讨论,得到不等式.

证明：当时，显然
设对在以1与为端点的闭区间上用拉格朗日中值定理，有介于1与之间的，使
,
即
当时，，，
但此时注意与均为负值，所以仍有，
即对不等式恒成立.
当时，，，所以有.
注：学会把隐藏的条件找出来，即，然后就可以利用定理，这个结果以后可以作为结论用.
例3 证明当时，
证法一 分析：要证成立，只要证
 成立，只要证
成立，只要证
成立，只要证
成立，
证明：设 
由在上连续，在内可导,且
，知在上严格递减，
由，即成立，知成立，
即
成立，所以成立.
证法二
证明：要证，只要证
成立 (1)
设 ，由在上连续，在内可导,
且于是
，
即
故原式成立.
注：证明某些不等式时，可转化为区间两端点函数值大小的比较或化为右边为0的不等式，转化为区间内任意一点函数值与端点函数值或与趋于端点极限值的比较，然后利用单调性证明.能用单调性定理证明的不等式，都可用拉格朗日中值定理证明，因为单调性定理就是拉格朗日中值定理证明的.相同的一道题可以有多种解法.
2.3讨论函数的单调性,并利用函数的单调性求极值
利用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性, 其方法是:若函数在上连续, 在内可导, 则有:如果在 内,则在上单调增加;如果在 内, 则 在上单调减少. 另外, 在内除有个别点外,仍有 (或) ,则在上仍然是单调增加(或减少) 的,即连续函数在个别点处无导数并不影响函数的单调性.再利用函数的单调性及函数图像上峰值点与各值点的性质, 便可以很方便地求出函数的极值。其方法为:确定函数的定义域,并求出 ,然后求出定义域内的所有驻点,并找出 连续但不存在的所有点,讨论所有驻点和不可导点左右两侧附近 的符号变化情况,从而确定函数的极值点,并求出相应的极大值或极小值.
例4 求证时,
证明：令
因为在上连续, 在内可导,且
=
当时,, 所以当时,是单调增加的.
故当 时,,
即
,从而
例5 求的极值.
解：函数的定义域为.而
,令,即,
解得驻点,且该函数在定义域内没有导数不存在的点.而
当时,;当时,.
所以,是函数的极小值点, 其极小值为.
利用函数的单调性可证明某些不等式
注：在求极值时，若极值的怀疑有导数不存在的点时，只能用列表法.

2.4求极限
对于有些求极限的题， 如果使用洛必达法则,则求导数的计算量很大.微分中值定理为求这样一些较难的极限提供了一种简单而有效的方法.其方法是对极限题中的某些部分构造辅助函数,使用微分中值定理,然后求出极.
例6 求,其中.
解：对应用拉格朗日中值定理,有

=
=
=
其中

2.5泰勒公式
泰勒公式事实上就是含有高阶导数的微分中值定理. 它不仅在理论分析中具有很重要的作用,下面的例子说明它的应用.

例7 求在处的泰勒公式.
解 由于==，
因此

+
2.6求近似值
微分中值定理为我们提供了一种计算近似值的方法,只要构造出一个适当的函数,应用微分中值定理就可以得出其近似值.

例8 求的近似值.

解：是函数在处的值.
令,即.由微分中值定理得

=.
2.7用来证明函数恒为常数
导数是研究函数性态的重要工具, 但用导数研究函数性态的着眼点在局部范围. 而在整体上或比较大的范围运用导数这一工具来研究函数性态, 主要工具还是微分中值定理,它是应用导数研究整体性问题的重要工具. 证明函数恒为常数这是函数的整体性质,在这个应用中微分中值定理很实用.
例9 设在上连续, ,且在内恒有.
其中为小于1 的常数,试证:为常数函数.
证明：,不妨设,则,而,
所以有

=
, 其中.
同理
, , 其中
所以
,
其中.又在上连续, 从而有界.
故

.
即(当时同样成立) , 从而, ， .
故在上为常数函数.
2.8中值点存在性的应用
2.8.1一个中值点的情形
2.8.1.1原函数法
在利用微分中值定理证明中值点的存在性问题时，关键是根据所证明的结论构造辅助函数，构造辅助函数最基本最重要的思想就是寻求原函数，而寻求原函数的方法又因所证结论不同而不同.
（1）直接法
这种方法的解题思路主要是根据题目所证结论中常数项的特点直接得到辅助函数.

例10 函数在上连续，在内可导，证明:在内至少存在一点，使得.
分析：结论等号左侧显然是函数在区间两端点函数值的差与区间长度之商,于是联想到对函数使用拉格朗日中值定理.
证明：令，显然在上满足拉格朗日中值定理条件.
于是知：在内至少存在一点，使 得，而，
即得结论
.
例11 函数在上连续，在内可导，试证：存在，使得.
分析：将结论变形为，等式左端的形式很容易联想到柯西中值定理，辅助函数显然可取为.
证明：令，易知，在上满足柯西中值定理的条件，
于是可得存在，使
，
即
，
亦即
.
（2） 积分法
这种方法的基本思想是利用不定积分寻求辅助函数，具体做法如下：将结论中的换成，通过恒等变形将结论化成的形式，然后用观察或直接积分（如果不易通过观察得到）求得原函数，积分常数取为0.
例12 设函数在上连续，在内可导，且.证明：至少存在一点，使.
分析：结论即要证明函数在内有根，而
，即证明函数在内有零点.因结论中含有函数导数，故可考虑利用罗尔定理.通过观察易发现，于是辅助函数可取为.
证明：令，显然在上连续，在内可导，且，于是由罗尔定理知至少存在一点，使
，而，
故
，即.
注：例10，例11也可使用这种方法证明.

例13设函数，在上连续，在内可导，且，
证明：至少存在一点，使.

分析：结论即要证明函数在内有零点，因结论中含有函数导数，故考虑利用罗尔定理，而此函数的原函数通过观察可能感到有点困难.将变形为 ，即要证明函数在内有零点.而，显然与的导数有相同的零点，于是可取原函数为.

证明：令,显然在上连续，在内可导，且，于是由罗尔定理知至少存在一点，使
，而，
故
，又，
于是.
当所证明的结论中出现二阶导数时通常可考虑两次使用中值定理证明.

例14 设函数在上有二阶导数，且,，证明:在内至少存在一点，使得.

分析：结论即要证明函数在内有零点，可考虑对函数使用罗尔定理,关键是要找到使得函数值相等的两个点.而，易知，而由题设知显然在上满足罗尔定理条件，故必存在点,使得，在上对函数使用罗尔定理即得结论.

证明：显然在上满足罗尔定理的条件，故存在点,使得
.因为，
由条件易知在上连续，在内可导，且，于是由罗尔定理知在内至少存在一点，使.

例15 设函数在上二阶可导，且，.
试证：（1）在内；（2）至少存在一点，使.
分析:（1）类似，或多用反证法证明.
（2）仍可考虑使用罗尔定理，关键是寻找辅助函数，结论可变形为，即证函数在内有零点.由

.
故可取为原函数.

证明：（1）假设存在一点使，
显然在上满足罗尔定理条件.
于是存在，使得
，.
而在上又满足罗尔定理条件，于是存在，
使得，与题设条件矛盾.故在内.
（2）令，显然在上连续，在内可导，且，由罗尔定理知至少存在一点，使得
，又，
故
.由(1)知，
即得 .
2.8.1.2泰勒公式法
当题设中出现高阶导数（三阶或三阶以上的导数）时，通常可考虑使用泰勒公式证明中值点的存在性.

例16若函数在上有三阶导数，且，设，
试证：在内至少存在一个点，使.

分析：由题设显然函数在上有三阶导数，故考虑利用的泰勒展开式.

证明：在处的二阶泰勒展开式为：至少存在一个点，使得.
因为 ，，
所以
，
于是得
.而，
故
.
注：此题也可使用三次罗尔定理证明.

例17设函数在闭区间上具有三阶连续导数，且，，.试证：在开区间内至少存在一点，使.
证明：由，得在处的二阶泰勒公式为
（介于0与之间，）.
由题设知
，
，
两式相减，可得.
又在区间连续，从而在上也连续，
故在区间上有最大值和最小值.
从而有
，
由介值定理知，至少存在一点，使得.
2.8.2 两个中值点的情形
在证明两个中值点存在性的命题时，通常可考虑使用两次中值定理.

例18函数在上连续，在可导，，试证:存在，使得.
分析：结论中两点只要存在即可，不要求一定不同，故可在同一区间上使用两次中值定理.同时结论中的部分可看作函数与在点处的导数之商，故联想到柯西中值定理.再对使用拉格朗日中值定理，然后寻求两个结论之间的关系.

证明：令，易知与在上连续，在可导，且.
由柯西中值定理知,存在，使得

即
，
.
而由拉格朗日中值定理知，存在，使得
.
由以上两式得:存在，使

即
.
2.8.3 含中值点的积分等式的证明
这种命题的基本思路是：将题设中的定积分转化为变限积分的函数，这一函数通常即可作为辅助函数，再结合微分中值定理得到证明.

例19 设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使.

分析：直接证明函数在内至少存在两个不同的零点比较困难，若令
，而，故可证在内至少存在两个不同的零点.
证明：设，则，.又
，
由积分中值定理知存在，使得.而时，，故.在区间上分别使用罗尔定理知存在，使得
，.
即
.

例20 设函数在上连续，且，试证：至少存在一点，使.
分析：将结论变形为,容易看出对函数，在上使用柯西中值定理即可.
证明：设，，显然，在上满足柯西中值定理的条件，于是知至少存在一点，
使得
，
即
.
注：将题设中的定积分转化为变限积分的函数是定积分证明题中的常用方法.

微分中值定理应用非常广泛(在使用时应特别注意验证定理的条件) ,以上只介绍了几种常见的应用. 通过对微分中值定理的研究,加深了对微分中值定理的理解,有助于更好掌握该定理的解题应用.

3小结：
微分中值定理是微分学的基本定理，而且它也是微分学的理论核心，有着广泛的应用。本课题是对微分中值定理在证明方程根的存在性、证明不等式、求极限、泰勒公式、中值点存在性的应用等几个方面的论述,其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证明思路。
我们知道，运用微分中值定理证明有关命题的关键是构造辅助函数，构造满足某个中值定理条件的而得到要证明的结论。而构造辅助函数技巧性较强，构造合适的辅助函数往往是困难的。由于本人能力有限，查找的资料也有局限性，本文对辅助函数的构造还未进行深入的研究， 这将是我以后研究的方向。

参考文献：
[1]主编：纪乐刚.《数学分析》.新世纪高等师范院校教材. 华东师范大学出版社:2003年10月.第一版 .2005年6月第7次印刷
[2]欧阳光中编著.《大学应用数学丛书》.简明《数学分析》. 复旦大学出版社:2005年1月
[3]《数学分析》,徐森林.亚东.薛春华.第三册.清华大学出版社:2001年10月
[4]陈传璋,金福临,朱学炎,欧阳光中主编.《数学分析》．第二版高等教育出版社:1999年版
[5]陈平尚,薛宗慈,曾昭著主编.《数学分析习作讲义》.北京师范大学出版:2005年1月
[6]《数学分析》，华东师大数学系主编，高等教育出版:2001年6月第3版

致 谢
本论文是李劲松老师精心指导和大力支持下完成的。李劲松老师以其严谨求实的治学态度、高度的敬业精神、兢兢业业、孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生重要影响。她渊博的知识、开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪。同时，在此次毕业设计过程中我也学到了许多《数学分析》方面的知识，逻辑思维有了很大提高。在此感谢李劲松老师！
在二年的学习期间，学校领导的关怀和帮助使我逐渐成长起来，非常感谢他们！我数学学业方面得到各科老师的精心教导，非常感谢他们对我的帮助和支持，使我顺利完成大学期间的课程和学业。在论文的写作过程中，同时得到室友等许多同学的宝贵建议，在此一并致以诚挚的谢意。

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