浙教版七下数学第4章《因式分解》单元培优测试题.doc

浙教版七下数学第4章《因式分解》单元培优测试题
班级_________ 姓名_____________ 得分_____________
注意事项：本卷共有三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟.
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1﹒下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A﹒2x2+8x－1＝2x(x+4)－1 B﹒(x+5)(x－2)＝x2+3x－10
C﹒x2－8x+16＝(x－4)2 D﹒6ab＝2a·3b
2﹒将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A﹒a2－1 B﹒a2+a－2 C﹒a2+a D﹒(a－2)2－2(a+2)+1
3﹒多项式15m3n2+5m2n－20m2n3的公因式是（ ）
A﹒5mn B﹒5m2n2 C﹒5m2n D﹒5mn2
4﹒下列因式分解正确的是（ ）
A﹒－a2－b2＝(－a+b)(－a－b) B﹒x2+9＝(x+3)2
C﹒1－4x2＝(1+4x)(1－4x) D﹒a3－4a2＝a2(a－4)
5﹒下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ）
A﹒a2－2ab+4b2 B﹒4m2－m+ C﹒9－6y+y2 D﹒x2－2xy－y2
6﹒已知x，y为任意有理数，记M＝x2+y2，N＝2xy，则M与N的大小关系为（ ）
A﹒M＞N B﹒M≥N C﹒M≤N D﹒不能确定
7﹒把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x－3)，则a+b的值是（ ）
A﹒－5 B﹒5 C﹒1 D﹒－1
8﹒已知x2－x－1＝0，则代数式x3－2x+1的值为（ ）
A﹒－1 B﹒1 C﹒－2 D﹒2
9﹒如图，边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，
则多项式a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）
A﹒490 B﹒245
C﹒140 D﹒1960
10.已知:a＝2017x+2015，b＝2017x+2016，c＝2017x+2017，则代数式a2+b2+c2－ab－ac－bc的值为（ ）
A﹒0 B﹒1 C﹒2 D﹒3
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.请从4a2，(x+y)2，16，9b2四个式子中，任选两个式子做差得到一个多项式，然后对其进行因式分解是_________________________________﹒
12.用简便方法计算：20172－34×2017+289＝_________﹒
13.若m－n＝2，则多项式2m2－4mn+2n2－1的值为___________﹒
14.如果x2－2xy+2y2+4y+4＝0，那么yx＝___________﹒
15.把多项式a2017－4a2016+4a2015分解因式，结果是__________________﹒
16.如图是正方形或长方形三类卡片各若干张，若要用这些卡片拼成一个面积为2a2+3ab+b2的长方形（所拼长方形中每类卡片都要有，卡片之间不能重叠），则你所拼长方形的两边长分别是____________，____________（用含a、b字母的代数式表示）﹒

三、解答题（本题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.（8分）分解因式：
（1）－18a3b2－45a2b3+9a2b2﹒ （2）5a3b(a－b)3－10a4b2(b－a)2﹒

18.（10分）分解因式：
（1）(x2+16y2)2－64x2y2﹒ （2）9(x－y)2－12x+12y+4﹒

19.（10分）分解因式：
（1）ac－bc－a2+2ab－b2﹒ （2）1－a2－4b2+4ab﹒

20.（8分）已知m，n为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，且满足(m+4)2－(n+4)2＝16，求代数式m2+n2－的值﹒

21.（8分）如图所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，若图中①②都是剪成边为a的大正方形，③④都是剪成边长为b的小正方形，⑤⑥⑦⑧⑨都是剪成边长分别为a、b的小长方形﹒
（1）观察图形，可以发现多项式2a2+5ab+2b2可以因式分解为____________________；
（2）若每块小长方形的的面积为10cm2，四个正方形的面积之和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和﹒

22.（10分）设y＝kx，是否存在实数k，使得多项式(x－y)(2x－y)－3x(2x－y)能化简5x2？若能，请求所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由﹒

23.（12分）如果一个正整数能表示两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，……因此4，12，20……都是“神秘数”﹒
（1）28，2016这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？为什么？
浙教版七下数学第4章《因式分解》单元培优测试题
参考答案
Ⅰ﹒答案部分：
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
D
C
B
A
D
A
D
二、填空题
11﹒答案不唯一，如：4a2－16＝4(a+2)(a－2)﹒ 12﹒ 4000000﹒ 13﹒ 7﹒
14﹒ ﹒ 15﹒a2015(a－2)2﹒ 16﹒ 2a+b，a+b﹒
三、解答题
17.（1）解：－18a3b2－45a2b3+9a2b2＝－9a2b2(2a+5b－1)﹒
（2）解：5a3b(a－b)3－10a4b3(b－a)2
＝5a3b(a－b)3－10a4b2(a－b)2
＝5a3b(a－b)2(a－b－2ab)﹒

18.（1）解：(x2+16y2)2－64x2y2
＝(x2+16y2)2－(8xy)2
＝(x2+16y2+8xy)( x2+16y2－8xy)
＝(x+4y)2(x－4y)2﹒
（2）解：9(x－y)2－12x+12y+4
＝[3(x－y)]2－12(x－y)+22
＝[3(x－y)－2]2
＝(3x－3y－2)2﹒

19.（1）解：ac－bc－a2+2ab－b2
＝c(a－b)－(a2－2ab+b2)
＝c(a－b)－(a－b)2
＝(a－b)[c－(a－b)]
＝(a－b)(c－a+b)﹒
（2）解：1－a2－4b2+4ab
＝1－(a2－4ab+4b2)
＝1－(a－2b)2
＝[1+(a－2b)][1－(a－2b)]
＝(1+a－2b)(1－a+2b)﹒

20.解：∵m，n为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，
∴m，n互为相反数，即m+n＝0 ①，
又∵(m+4)2－(n+4)2＝16，
∴(m+n+8)(m－n)＝16，
8(m－n)＝16，
∴m－n＝2 ②，
联立①②得，解得，
∴m2+n2－＝1+1+1＝3﹒

21.解：（1）观察图形知：九块图形的面积之和等于这张长方形纸板的面积，
所以2a2+5ab+2b2可分解为(2a+b)(a+2b)，
故答案为：(2a+b)(a+2b)﹒
（2）由题意，知：2a2+2b2＝58，ab＝10，则a2+b2＝29，
∴(a+b)2＝a2+2ab+b2＝29+20＝49，
∵a+b＞0，
∴a+b＝7，
则6a+6b＝6(a+b)＝6×7＝42，
答：图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42﹒

22.解：能，假设存在实数k，
(x－y)(2x－y)－3x(2x－y)
＝(2x－y)(－2x－y)
＝－(2x－y)(2x+y)
＝－(4x2－y2)
＝－4x2+y2，
把y＝kx代入，原式＝－4x2+(kx)2＝－4x2+k2x2＝(k2－4)x2，
∵多项式(x－y)(2x－y)－3x(2x－y)能化简5x2，
∴(k2－4)x2＝5x2，
∴k2－4＝5，解得k＝±3，
故满足条件的k的值有3或－3﹒

23.解：（1）是，∵28＝2×14＝(8－6)(8+6)＝82－62，2016＝2×1008＝(505－503)(505+503)＝5052－5032，∴28，2016这两个数都是“神秘数”；
（2）是，∵(2k+2)2－(2k)2＝(2k+2+2k)(2k+2－2k)＝4(2k+1)，∴2k+2和2k这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数﹒
（3）不是，设两个连续奇数为2k+1和2k－1（k取正整数），
则(2k+1)2－(2k－1)2＝(2k+1+2k－1)(2k+1－2k+1)＝4k×2＝8k，
此数是8的倍数，由（2）知“神秘数”可表示为4的倍数，但不能表示为8的倍数，
所以两个连续奇数的平方差不是“神秘数”﹒

Ⅱ﹒解答部分：
一、选择题
1﹒下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A﹒2x2+8x－1＝2x(x+4)－1 B﹒(x+5)(x－2)＝x2+3x－10
C﹒x2－8x+16＝(x－4)2 D﹒6ab＝2a·3b
解答：A﹒右边2x(x+4)－1不是积的形式，故A项错误；
B﹒(x+5)(x－2)＝x2+3x－10，是多项式乘法，不是因式分解，故B项错误；
C﹒x2－8x+16＝(x－4)2，运用了完全平方公式，符合因式分解的定义，故C正确；
D﹒6ab＝2a·3b，左边不是多项式，故D错误﹒
故选：C﹒
2﹒将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A﹒a2－1 B﹒a2+a－2 C﹒a2+a D﹒(a－2)2－2(a+2)+1
解答：因为A﹒a2－1＝(a+1)(a－1)；B﹒a2+a－2＝(a+2)(a－1)； C﹒a2+a＝a(a+1)；
D﹒(a－2)2－2(a+2)+1＝(a+2－1)2＝(a+1)2，
所以结果中不含有因式a+1的选项是B﹒
故选：B﹒
3﹒多项式15m3n2+5m2n－20m2n3的公因式是（ ）
A﹒5mn B﹒5m2n2 C﹒5m2n D﹒5mn2
解答：多项式15m3n2+5m2n－20m2n3中，各项系数的最大公约数是5，各项都含有相同字母m，n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1，所以多项式的公因式是5m2n﹒
故选：C﹒
4﹒下列因式分解正确的是（ ）
A﹒－a2－b2＝(－a+b)(－a－b) B﹒x2+9＝(x+3)2
C﹒1－4x2＝(1+4x)(1－4x) D﹒a3－4a2＝a2(a－4)
解答：A﹒－a2－b2＝－(a2+b2)，不能进行因式分解，故A项错误；B﹒多项式x2+9不能进行因式分解，故B项错误；C﹒1－4x2＝(1+2x)(1－2x)，故C项错误；D﹒a3－4a2＝a2(a－4)，故D项正确﹒
故选：D﹒
5﹒下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ）
A﹒a2－2ab+4b2 B﹒4m2－m+ C﹒9－6y+y2 D﹒x2－2xy－y2
解答：A﹒a2－2ab+4b2中间乘积项不是这两数的2倍，故A项错误；B﹒4m2－m+中间乘积项不是这两数的2倍，故B项错误；C﹒9－6y+y2＝(3－y)2，故C项正确；D﹒x2－2xy－y2不是两数的平方和，不能用完全平方公式，故D项错误﹒
故选：C.
6﹒已知x，y为任意有理数，记M＝x2+y2，N＝2xy，则M与N的大小关系为（ ）
A﹒M＞N B﹒M≥N C﹒M≤N D﹒不能确定
解答：∵M＝x2+y2，N＝2xy，
∴M－N＝x2+y2－2xy＝(x+y)2≥0，则M≥N.
故选：B.
7﹒把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x－3)，则a+b的值是（ ）
A﹒－5 B﹒5 C﹒1 D﹒－1
解答：∵(x+1)(x－3)＝x2－3x+x－3＝x2－2x－3，
∴x2+ax+b＝x2－2x－3，
∴a＝－2，b＝－3，
∴a+b＝－5，
故选：A﹒
8﹒已知x2－x－1＝0，则代数式x3－2x+1的值为（ ）
A﹒－1 B﹒1 C﹒－2 D﹒2
解答：∵x2－x－1＝0，∴x2－x＝1，
∴x3－2x+1＝x3－x2+ x2－2x+1＝x(x2－x) + x2－2x+1＝x+ x2－2x+1＝x2－x+1＝1+1＝2﹒
故选：D﹒
9﹒如图，边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，
则多项式a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）
A﹒490 B﹒245
C﹒140 D﹒1960
解答：由题意，知：a+b＝7，ab＝10，
则a3b+2a2b2+ab3＝ab(a2+2ab+b2)
＝ab(a+b)2＝10×49＝490﹒
故选：A.
10.已知:a＝2017x+2015，b＝2017x+2016，c＝2017x+2017，则代数式a2+b2+c2－ab－ac－bc的值为（ ）
A﹒0 B﹒1 C﹒2 D﹒3
解答：∵a＝2017x+2015，b＝2017x+2016，c＝2017x+2017，
∴a－b＝－1，b－c＝－1，a－c＝－2，
∴a2+b2+c2－ab－ac－bc＝[( a－b)2+( b－c)2+( a－c)2]＝×(1+1+4)＝3﹒
故选：D.
二、填空题
11.请从4a2，(x+y)2，16，9b2四个式子中，任选两个式子做差得到一个多项式，然后对其进行因式分解是_________________________________﹒
解答：答案不唯一，如：4a2－16＝4(a+2)(a－2)，
故答案为：4a2－16＝4(a+2)(a－2)﹒
12.用简便方法计算：20172－34×2017+289＝_________﹒
解答：20172－34×2017+289
＝20172－2×17×2017+172－172+289
＝(2017－17)2
＝20002
＝4000000，
故答案为：4000000﹒
13.若m－n＝2，则多项式2m2－4mn+2n2－1的值为___________﹒
解答：∵m－n＝2，
∴2m2－4mn+2n2－1
＝2(m2－2mn+n2)－1
＝2(m－n)2－1
＝2×4－1
＝7﹒
故答案为：7﹒
14.如果x2－2xy+2y2+4y+4＝0，那么yx＝_______﹒
解答：∵x2－2xy+2y2+4y+4＝x2－2xy+ y2+y2+4y+4＝(x－y)2+(y+2)2＝0，
∴，解得：，
∴yx＝(－2)－2＝，
故答案为：﹒
15.把多项式a2017－4a2016+4a2015分解因式，结果是__________________﹒
解答：a2017－4a2016+4a2015＝a2015·a2－a2015·4a+4a2015＝a2015(a2－4a+4)＝a2015(a－2)2，
故答案为：a2015(a－2)2﹒
16.如图是正方形或长方形三类卡片各若干张，若要用这些卡片拼成一个面积为2a2+3ab+b2的长方形（所拼长方形中每类卡片都要有，卡片之间不能重叠），则你所拼长方形的两边长分别是____________，____________（用含a、b字母的代数式表示）﹒

解答：所画示意图如下，
∵ 2a2+3ab+b2＝a2+2ab+b2+a2+ab＝(a+b)2+a(a+b)＝(a+b)(a+b+a)＝(a+b)(2a+b)，
∴所画长方形的长为2a+b，宽为a+b；

故答案为：2a+b，a+b﹒
三、解答题
17.分解因式：
（1）－18a3b2－45a2b3+9a2b2 （2）5a3b(a－b)3－10a4b2(b－a)2
解答：（1）－18a3b2－45a2b3+9a2b2＝－9a2b2(2a+5b－1)﹒
（2）5a3b(a－b)3－10a4b3(b－a)2
＝5a3b(a－b)3－10a4b2(a－b)2
＝5a3b(a－b)2(a－b－2ab)﹒
18.分解因式：
（1）(x2+16y2)2－64x2y2 （2）9(x－y)2－12x+12y+4
解答：（1）(x2+16y2)2－64x2y2
＝(x2+16y2)2－(8xy)2
＝(x2+16y2+8xy)( x2+16y2－8xy)
＝(x+4y)2(x－4y)2﹒
（2）9(x－y)2－12x+12y+4
＝[3(x－y)]2－12(x－y)+22
＝[3(x－y)－2]2
＝(3x－3y－2)2﹒
19.分解因式：
（1）ac－bc－a2+2ab－b2 （2）1－a2－4b2+4ab
解答：（1）ac－bc－a2+2ab－b2
＝c(a－b)－(a2－2ab+b2)
＝c(a－b)－(a－b)2
＝(a－b)[c－(a－b)]
＝(a－b)(c－a+b)﹒
（2）1－a2－4b2+4ab
＝1－(a2－4ab+4b2)
＝1－(a－2b)2
＝[1+(a－2b)][1－(a－2b)]
＝(1+a－2b)(1－a+2b)﹒
20.已知m，n为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，且满足(m+4)2－(n+4)2＝16，求代数式m2+n2－的值﹒
解答：∵m，n为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，
∴m，n互为相反数，即m+n＝0 ①，
又∵(m+4)2－(n+4)2＝16，
∴(m+n+8)(m－n)＝16，
8(m－n)＝16，
∴m－n＝2 ②，
联立①②得，解得，
∴m2+n2－＝1+1+1＝3﹒
21.如图所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，若图中①②都是剪成边为a的大正方形，③④都是剪成边长为b的小正方形，⑤⑥⑦⑧⑨都是剪成边长分别为a、b的小长方形﹒
（1）观察图形，可以发现多项式2a2+5ab+2b2可以因式分解为____________________；
（2）若每块小长方形的的面积为10cm2，四个正方形的面积之和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和﹒
解答：（1）观察图形知：九块图形的面积之和等于这张长方形纸板的面积，
所以2a2+5ab+2b2可分解为(2a+b)(a+2b)，
故答案为：(2a+b)(a+2b)﹒
（2）由题意，知：2a2+2b2＝58，ab＝10，则a2+b2＝29，
∴(a+b)2＝a2+2ab+b2＝29+20＝49，
∵a+b＞0，
∴a+b＝7，
则6a+6b＝6(a+b)＝6×7＝42，
答：图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42﹒
22.设y＝kx，是否存在实数k，使得多项式(x－y)(2x－y)－3x(2x－y)能化简5x2？若能，请求所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由﹒
解答：能，假设存在实数k，
(x－y)(2x－y)－3x(2x－y)
＝(2x－y)(－2x－y)
＝－(2x－y)(2x+y)
＝－(4x2－y2)
＝－4x2+y2，
把y＝kx代入，原式＝－4x2+(kx)2＝－4x2+k2x2＝(k2－4)x2，
∵多项式(x－y)(2x－y)－3x(2x－y)能化简5x2，
∴(k2－4)x2＝5x2，
∴k2－4＝5，解得k＝±3，
故满足条件的k的值有3或－3﹒
23.如果一个正整数能表示两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，……因此4，12，20……都是“神秘数”﹒
（1）28，2016这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？为什么？
解答：（1）是，∵28＝2×14＝(8－6)(8+6)＝82－62，2016＝2×1008＝(505－503)(505+503)＝5052－5032，∴28，2016这两个数都是“神秘数”；
（2）是，∵(2k+2)2－(2k)2＝(2k+2+2k)(2k+2－2k)＝4(2k+1)，∴2k+2和2k这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数﹒
（3）不是，设两个连续奇数为2k+1和2k－1（k取正整数），
则(2k+1)2－(2k－1)2＝(2k+1+2k－1)(2k+1－2k+1)＝4k×2＝8k，
此数是8的倍数，由（2）知“神秘数”可表示为4的倍数，但不能表示为8的倍数，
所以两个连续奇数的平方差不是“神秘数”﹒