北师版八年级教全套讲义.doc

初二数学
数学 八年级

e诺克教育 18829233056
79

目录

勾股定理 ---------------------------------------------------------------------- 2

勾股定理的综合 ------------------------------------------------------------ 6

平方根-------------------------------------------------------------------------- 10

二次根式的化简与计算 ---------------------------------------------------- 14

立方根 ------------------------------------------------------------------------ 18

位置与坐标 ------------------------------------------------------------------- 23

一次函数及其图象 ---------------------------------------------------------- 29

一次函数综合----------------------------------------------------------------- 37

一次函数综习题 ------------------------------------------------------------ 40

二元一次方程组 ----------------------------------------------------------------- 50

数据分析的基础认识 ------------------------------------ 60

数据分析检测题----------------------------------------- 65

平行线的证明------------------------------------------ 70

勾股定理
a
b
c
【知识要点】
1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
即。
2．一锐角为30°或45°的直角三角形的性质
a
b
c
45°
a
b
c
30°

3．解题技巧。
（1）利用勾股定理解题一定要找准斜边、直角边。
（2）作辅助线构造直角三角形解题。
（3）30°、45°锐角的直角三角形三边的比例关系。
（4）数形结合的实际问题，运用点到直线距离最短、两点间线段最短，空间图形展开成平面图形等知识点。
【典型例题】
A
81
C
225
B
a
c
b
例1 求下图中字母所代表的正方形的面积。
A
B
400
225
a
b
c
C

SA= SB=

a= ；b= ；c= 。 a= ；b= ；c= 。
从中发现：（1）三个正方形的面积之间有什么关系？
（2）三个正方形围成的直角三角形三边长度之间有什么关系？
例2 已知如图，∠ABD=∠C=90°，AC=BC，∠DAB=30°，AD=12，求BC的长。
C
D
B
A

C
B
D
A
例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，AB=1.6，求AD的长。

60°
D
C
B
A
例4 如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求BC和AD的长。

A
B
C
例5 如图，已知在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求S△ABC。

A
A1
B1
B
C
例6 如图，一架长2.5m的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7m，若梯子的顶端沿墙下滑0.4m。那么梯足将外移多少米？

M
C
D
N
A
·
·
B
例7 如图，一块砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是多少？

【课堂练习】
一、填空题
1．在△ABC中，∠C=90°，三内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若a=5，b=12，则c= ；若b=7，c=9，则a= .
2．三角形的三个内角之比为1：2：3，它的最大边长为a，那么它的最小边是 。
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，三内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若c=10，a：b=3：4，则a= ， b= 。
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，三内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若∠A=30°，a：b：c= ；∠A=45°，a：b：c= 。
5．如果直角三角形有一个锐角为30°，那么它的三条边长的比（由小到大）是 。
6．若一个等边三角形的高是cm，则它的一边长为 cm，周长为 cm，面积为 cm2。
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，较大直角边的长为，则AB= ，斜边上的高 。
8．在Rt△ABC中，一条直角边为6，斜边上的高是3，则两个锐角为 、 。
9．若三角形的三个内角之比是1:2:3，最短边长为10cm，则其他两边长为 、 。
二、选择题
1．若直角三角形三边长为三个连续偶数，则它的三边长为（ ）
A．2，4，6 B．4，6，8 C．6，8，10 D．8，10，12
2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=10，则BC边上中线AD的长为（ ）
A．12 B．13 C．15 D．17
3．以直角三角形ABC的斜边AB为斜边另作一个直角三角形ABD，如果BC=15，AC=20，AD=7，则BD=（ ）
A．13 B．15 C．24 D．25
4．直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
5．如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，AB=26，BD=10，DC=7，则AC=（ ） ）
A．12 B．16 C．24 D．25
6．直角三角形的两边为5和12，则第三边长为（ ）
A．10 B．13 C．15 D．以上答案都不对
三、解答题
1．由四个完全相同的直角三角形拼得一个大正方形，如图所示，已知直角三角形两条直角边分别是7厘米和5厘米，求大正方形的面积。（用两种方法解答）。

2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DBC=90°，AD=3，AB=4，BC=12，求CD的长。

3．一艘轮船以16海里/小时的速度离开港口向东南航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/小时的速度向西南方向航行，它们离开港口一个半小时后相距多远？

4．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC，CD=6，求BD，AC的长。

5．如图，在垂直于地面的墙上2m处的A点斜放一个长2.5m的梯子，由于不小心，梯子在墙上下滑0.8m，求梯子在地面上滑出的距离BB′的长度。（精确到0.1m）

6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=5cm，AC=12cm，CD⊥AB，D为垂足，求CD的长。

A
D
C
B
E
F
7．如图，将正方形ABCD折叠两次，第一次折痕为AC，第二次折痕为AE，且点D落在AC上的F处，设正方形的边长为1，求DE的长。

8．在△ABC中，AB=10，BC=8，AC=6，点O是△ABC的内角平分线的交点，求O点到各边的距离及∠AOB的度数。

勾股定理的综合
【知识要点】
1．熟悉常见的勾股数。
（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（8，15，17）……
2．勾股定理的逆定理：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的应分别为a、b、c，若，则△ABC为直角三角形，∠C=90°
3．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。
4．解题技巧。
（1）任意两个正整数m和n（m>n），若，，则就是满足的一组勾股数。
（2）判断一个三角形是否是直角三角形，首先确定最大边，然后验证与是否相等。
（3）三角形三边满足一定的代数关系，通过化简代数式、方程解题。
（4）图形折叠问题，注意被折叠部分的全等关系。
（5）运用勾股定理和勾股定理的逆定理证明三角形边的关系的代数式。
【典型例题】
例1 如图所示，已知正方形ABCD中，E是BC边的中点，F在CD上，且DF=3CF，A
B
C
D
E
F
求证：AE⊥EF

例2 判断以下各组线段为边能否组成直角三角形。
（1）9、41、40； （2）5、5、5 （3）、、；
（4）、、 （5）、、 （6）

例3 若a、b、c是△ABC的三边，且满足，试判定三角形的形状。

例4 如图所示，已知△DEF中，DE=17cm，EF=30cm，EF边上中线DG=8cm。求证：△DEF是等腰三角形。
D
E
F
G

A
B
C
D
例5 如图所示，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。求△ABC的面积。

例6 在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BE平分∠ABC，交AC于D点，CE⊥BE于点E。求证：。

例7、若△ABC的三边长a、b、c满足条件，，判断△ABC的形状。

【课堂练习】
一、填空题
1、 在Rt△ABC中，∠C=90°（1）若a=3，b=4，则c=＿＿＿＿；（2）若b=8，c=17，则a=_______;
2．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成
的长方形的面积是＿＿＿＿。
3、△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，则AD=＿＿＿。
4、有一长70㎝，宽50㎝，高50㎝的长方体盒子，A点处有一只蚂蚁，想吃到B点
D
B
C
A

处的食物，它爬行的最近距离是 厘米。
5．一直角三角形两条边长分别是12和5，则第三边长为
6．已知甲乙同时从A出发，甲往东走了8km，乙往南走了6km，则两人相距 。
7．如图4：在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的
池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴
子所经过的距离相等，则这棵树高_____________米。
8．一根旗杆在离地面9 m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m的地面上，旗杆在折断之前高度
为 。
二.选择题
1、一个直角三角形,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是( )
A. 斜边长为25; B. 三角形的周长为25; C. 斜边长为5; D. 三角形面积为20.
2、圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是 （ ）
A． B． C． D．
3、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1.5,2,3; B. 7,24,25; C. 6,8,10; D. 9,12,15.
4、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
A. 钝角三角形; B. 锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形.
5、如图5,一个无盖的圆柱纸盒：高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃,要爬行的最短路程(取3)是( )
A.20cm; B.10cm; C.14cm; D.无法确定.
6、适合下列条件的△ABC中, 直角三角形的个数为( )
①②∠A=450;③∠A=320, ∠B=580;
④⑤
A. 2个; B. 3个; C. 4个; D. 5个.
7．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm，BC =8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于 （ ）
（A） 2cm （B） 3 cm （C） 4 cm （D） 5 cm
A
B
E
F
D
C

8. 如图：长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　）
A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm2
三，解答题

A
B
D
C
1、在四边形ABCD中，∠A=600，∠B=∠D=900，BC=2，CD=3，求AB

2．已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB = 8cm，BC = 10 cm，求EC的长

A
B
C
D
3 、已知△ABC中，AD是高，AB+DC=AC+BD，求证：AB=AC。

4、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P为BC上任意一点。求证：BP2+CP2=2AP2
A
B
C
P

5．已知直角三角形周长为24，面积为24，求各边之长。

6．如图所示，在△ABC中，AB=9，AC=6，AD⊥BC于点D，M为AD上任一点，求MB2－MC2的值。

数的开方——平方根

【知识要点】
1．平方根的概念
如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根，也叫二次方根。即若，则就称为的平方根。
2．平方根的性质
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
②零有一个平方根，它是零本身；
③负数没有平方根。
3．平方根的表示方法：
一个正数的正的平方根，用符号“”表示，叫做被开方数，2叫做根指数；正数的负平方根用符号“”表示，根指数是2时，通常略去不写，所以这两个平方根记作。
4．算术平方根：正数的正的平方根，也叫做的算术平方根，记作（），0的平方根叫做0的算术平方根。因此，0的算术平方根为0，即。
5．平方根的求法：①利用定义；②利用计算器；③利用估算法。
6．开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。
7．开平方的小数点移动规律：如果被开方数的小数点，向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
【典型例题】
例1 ∵ ∴（ ）
A．； B．；
C．； D．。
例2 求下列各数的平方根：，，，。
例3 （1）的平方根是 ，算术平方根是 ；
（2）的平方根是 ，算术平方根是 ；
（3）（-2．345）2的平方根是 ，算术平方根是 。
例4（1）的平方根为（ ）
A．没有平方根 B． C．0 D．1
（2）的平方根为（ ）
A． B．没有平方根 C．0或没有平方根 D．0
（3）一个自然数的一个平方根是，那么紧跟它后面的一个自然数的平方根是（ ）
A． B． C． D．
例5 已知，
① 求和的值；
② 若=0．4858，求的值；
③ 若，求的值。
例6 解下列方程
（1） 144=25 （2） -100

例7 求中的值

【课堂练习】
1．（1）求下列各数的平方根和算术平方根
① ； ② 0．0001； ③ ； ④ 0

（2）求下列各式的值
① ； ② ； ③

2．求下列各数的平方根
（1）； （2）； （3）；

（4）； （5）

3．填空
（1）9的平方根是 ，9的算术平方根是 （2）81的负的平方根是 ；
（3） ， ； （4）平方根是的数是 ；
（5）的平方根是 ； （6）的平方根是 ；
（7）平方根是它本身的数是 ； （8）若，则 。
4．选择题
（1）下列结果错误的有（ ）
① ； ② 的算术平方根是4；
③ 的算术平方根是； ④ 的平方根是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）下列语句写成式子正确的是（ ）
A．7是49的算术平方根，即； B．7是的算术平方根，即；
C．是49的平方根，即； D．是7的算术平方根，即
5．下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。
（1）； （2）0； （3）； （4）； （5）-52； （6）。

6．设为有理数，判断下列说法是否正确
（1）如果存在平方根，则；（ ） （2）如果有两个平方根，则；（ ）
（3）如果没有平方根，则；（ ） （4）如果，则的平方根也大于0。（ ）

7．已知，则= ，= ，= 。

8．求下列各式中的值：
（1） （2） （3）

9．分别求的值。
（1）a=3，b=2； （2），；
（3）a=1，b=－1； （4），

10．已知a、b、c是△ABC的三边，并且有，根据下列已知条件，求未知边。
（1）已知，，求a； （2）已知a=3，b=4，求c；
（3）已知a=8，c=17，求b。

11．已知=0，求a、b的值。

12．已知，求x与y的值。

13．已知：，
（1）求x与y的值； （2）求x+y的平方根。

14．若，求的值。

15．若，求的值。

16．计划用100块地板砖来铺设面积为16m2的客厅，求所需要的正方形地板砖的边长。

17．已知，求的算术平方根。

二次根式的化简与计算
【重难点提示】
1．最简二次根式
（1）最简二次根式要满足以下两个条件
①被开方数的因数是整数，因式是整式。即被开方数不含有分母。
②被开方数中不含有能开尽方的因数或因式。即被开方数中每个因数或因式的指数都小于根指数2。
（2）化简二次根式的方法
“一分解”：把被开方数的分子、分母尽量分解出一些平方数或平方式。
“二移出”：把这些平方数或平方式，用它的算术平方根代替移到根号外。
“三化去”：化去被开方数中的分母。
2．二次根式的加减法
（1）同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式。
判断几个二次根式是否是同类二次根式：一化简，二判断。
（2）二次根式的加减法
先把各根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式（类似合并同类项）。
3．分母有理化
前面学过分母是单项二次根式时，与互为有理化因式。
那么两项式的二次根式的有理化因式是与。
与互为有理化因式。
4．二次根式的混合运算
（1）运算顺序：二次根式的加、减、乘（乘方）、除的运算顺序与实数的运算顺序类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的。
（2）在二次根式的混合运算中，整式和分式中的运算法则、定律、公式等仍然适用。
【典型例题】
例1 计算：（1） （2）

（3）（a＞0，b＞0）

例2 计算：
（1） （2）

（3） （4）

例3 如果最简根式和是同类根式，求m、n的值。

例4 计算：（1） （2）

例5 计算：
（1） （2）（x＞0，y＞0）

例6 计算：①

②

【课堂练习】
一、填空题
1．下列二次根式中中的最简二次根式有 。
2．化简：（1），（2）
（3），（4）
3．若最简二次根式与是同类二次根式，则m= .
4．若最简二次根式与是同类二次根式，求a、b的值 。
5．a的倒数是，则a= 。
6．已知-2＜m＜-1，化简。
7．。
8．。
9．把的整数部分记为a，小数部分记做b，则。
10．若，则。
二、选择题
1．化简（a≤3）得（ ）
A．3－a B．a－3 C． D．
2．在中，最简二次根式的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个。
3．若x＞a，则化成最简根式得（ ）
A． B． C． D．
4．下面化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下面说法正确的是（ ）
A．被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式； B．与是同类二次根式
C．同类二次根式是根指数为2的根式 D．和不是同类二次根式
6．与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．的值（ ）
A．4 B． C． D．
8．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．

9．下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若x＞0，y＜0，则等于（ ）
A． B． C． D．
三、化简
1．（a≥0，b≥0） 2．（a＞0） 3．（a≥0，b≥0）

4．（b＞a＞0） 5．（b＞1）

6．（m＞n＞0） 7．（x＞y）

四、计算
1． 2．

3． 4．

5． 6．

立方根
【知识要点】
1．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根（也称作a的三次方根）。即：若，则x称为a的立方根，记作，其中a是被开方数，3是根指数。
2．立方根的性质：（1）任何数都有立方根，且只有一个立方根（这与平方根的性质不同）。
（2）正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0。
（3）求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。
3．开立方的小数点移动规律：被开方数的小数点向右或向左每移动三位，则立方根的小数点就向右或向左移动一位。
4．n次方根的定义：如果一个数的n次方等于a，这个数叫做a的n次方根。
5．n次方根的性质：（1）正数的偶次方根有两个，它们是互为相反数；负数没有偶次方根；
（2）任何数a的奇次方根只有一个，且与a同正负；
（3）0的任何次方根为0。
【典型例题】
例1 （1）求下列各数的平方根及立方根：
① ②729 ③

（2）求下列各式的值：
① ② ③

例2 = ；= ；= 。
例3 下列各式中值为正数的是（ ）
A． B． C． D．
例4 计算：（1） （2）

（3） （4） （5）

（6） （7）

例5 已知=，，
求（1）、、的值

（2）若，，，求x、y、z的值

例6 求下列各式中x的值。
（1） （2） （3）

（4） （5）

例7 （1）的六次方根为 。 （2）的999次方根为 。
（3）－32的五次方根为 。 （4）64的六次方根为 。
（5）的六次方根为 。 （6）的9次方根为 。
（7）的平方根为 ，立方根为 ，六次方根为 。

立方根练习
1．填空题：
（1）125的立方根等于 ，－125的立方根等于 。
（2）0.216的立方根等于 ，的立方根等于 。
（3）0.16的平方根等于 ，49的算术平方根等于 。
（4）平方根等于本身的数是 ，立方根等于本身的数是 。
（5）64的平方根的立方根等于 ，9的立方根可表示成 。
（6）的立方根是 ； 的立方根是 。
（7）的立方根是 ； 的立方根是 。
（8）的立方根是 的立方根是 。
（9）的立方根是 的立方根是 。
（10）= = 。
（11）= 。
2．求下列各式的值：
（1） （2） （3）

3．求下列各式中的x的值：
（1）； （2） （3）

4．（1）求625的4次方根；（2）求－128的7次方根；（3）求的6次方根；（4）求0.00001的5次方根。

5．的立方根是（ ） A．±4 B．±2 C．2 D．－2
6．若，，则的值为（ ）
A．－10 B．0 C．0或－10 D．0，－10或10
7．若，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
8．若，那么的值是（ ）
A．64 B．－27 C．－343 D．343
9．的平方根是（ ） A．－2 B．2 C． D．
10．计算下列各题
（1）； （2） （3）

（4） （5）

11．如果的立方根是4，求的算术平方根。

12．已知是m的立方根，而是x的相反数，且，求 的立方根。

13．若，，求的值。

14．已知，且，求的值。

15．已知是m的立方根，而是x的相反数，且，求 的立方根。

第三章位置与坐标
【确定位置】
（1）行列定位法：在这种方法中常把平面分成若干行、列，然后利用行号和列号表示平面上点的位置，在此方法中，要牢记某点的位置需要两个互相独立的数据，两者缺一不可。
（2） “极坐标”定位法：运用此法需要两个数据：方位角和距离，两者缺一不可。
（3） 经纬定位法：它也需要两个数据：经度和纬度。
（4） 区域定位法：只描述某点所在的大致位置。如“小明住在7号楼3层302号”
（5） 在方格纸上确定物体的位置：在方格纸上，一点的位置由横向格数与纵向格数确定，记作（横向格数，纵向格数）或记作（水平距离，纵向距离），要注意横格数排在前面，纵向格数排在后面。此种确定位置的方法可看作“平面直角坐标系”中坐标定位法的特例。

【同步练习】
1、下列数据不能确定物体位置的是（ ）
A. 4楼8号 B. 北偏东30度
C. 希望路25号 D. 东经118度、 北纬40度

2、如左下图是某学校的平面示意图，如果用（2，5）表示校门的位置，那么图书馆的位置如何表示？图中（10，5）处表示哪个地点的位置？

3、如右上图，雷达探测器测得六个目标A、B、C、D、E、F，目标C、F的位置表示为C（6，120°）、F（5，210°），按照此方法在表示目标A、B、D、E的位置时，其中表示不正确的是 （ ）
A．A（5，30°） B．B（2，90°）
C．D（4，240°） D．E（3，60°）

4、小明家在学校的北偏东方向，距学校1000 处，则学校在小明家的_______.

【直角坐标系】
1．平面直角坐标系：
（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点．这个平面叫做坐标平面．
（2）两条坐标轴把平面分成四个部分：右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限(如图1－5－1所示）．
2．点的坐标：
（1）对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y 轴作垂线，垂足在x轴y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标．有序数对（a、b）叫做点P的坐标．
（2）坐标平面内的点可以用有序实数对来表示反过来每一个