导数压轴题之隐零点问题专辑含答案解析纯版.doc

.导数压轴题之隐零点问题导数压轴题之隐零点问题(共13题)1已知函数f（x）=（aexax）ex（a0，e=2.718，e为自然对数的底数），若f（x）0对于xR恒成立（1）求实数a的值；（2）证明：f（x）存在唯一极大值点x0，且【解答】（1）解：f（x）=ex（aexax）0，因为ex0，所以aexax0恒成立，即a（ex1）x恒成立，x=0时，显然成立，x0时，ex10，故只需a在（0，+）恒成立，令h（x）=，（x0），h（x）=0，故h（x）在（0，+）递减，而=1，故a1，x0时，ex10，故只需a在（，0）恒成立，令g（x）=，（x0），g（x）=0，故h（x）在（，0）递增，而=1，故a1，综上：a=1；（2）证明：由（1）f（x）=ex（exx1），故f（x）=ex（2exx2），令h（x）=2exx2，h（x）=2ex1，所以h（x）在（，ln）单调递减，在（ln，+）单调递增，h（0）=0，h（ln）=2elnln2=ln210，h（2）=2e2（2）2=0，h（2）h（ln）0由零点存在定理及h（x）的单调性知，方程h（x）=0在（2，ln）有唯一根，设为x0且2ex0x02=0，从而h（x）有两个零点x0和0，所以f（x）在（，x0）单调递增，在（x0，0）单调递减，在（0，+）单调递增，从而f（x）存在唯一的极大值点x0即证，由2ex0x02=0得ex0=，x01，f（x0）=ex0（ex0x01）=（x01）=（x0）（2+x0）（）2=，取等不成立，所以f（x0）得证，又2x0ln，f（x）在（，x0）单调递增所以f（x0）f（2）=e2e2（2）1=e4+e2e20得证，从而0f（x0）成立2已知函数f（x）=ax+xlnx（aR）（1）若函数f（x）在区间e，+）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且kZ时，不等式k（x1）f（x）在x（1，+）上恒成立，求k的最大值【解答】解：（1）函数f（x）在区间e，+）上为增函数，f（x）=a+lnx+10在区间e，+）上恒成立，a（lnx1）max=2a2a的取值范围是2，+）（2）a=1时，f（x）=x+lnx，kZ时，不等式k（x1）f（x）在x（1，+）上恒成立，k，令 g（x）=，则g（x）=，令h（x）=xlnx2（x1） 则h（x）=1=0，h（x） 在 （1，+）上单增，h（3）=1ln30，h（4）=22ln20，存在x0（3，4），使 h（x0）=0即当 1xx0时h（x）0 即 g（x）0xx0时 h（x）0 即 g（x）0g（x）在 （1，x0）上单减，在 （x0+）上单增令h（x0）=x0lnx02=0，即lnx0=x02，g（x）min=g（x0）=x0（3，4）kg（x）min=x0（3，4），且kZ，kmax=33函数f（x）=alnxx2+x，g（x）=（x2）exx2+m（其中e=2.71828）（1）当a0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=1，x（0，1时，f（x）g（x）恒成立，求正整数m的最大值【解答】解：（1）函数f（x）定义域是（0，+），（i）当时，1+8a0，当x（0，+）时f（x）0，函数f（x）的单调递减区间是（0，+）；（）当，2x2+x+a=0的两根分别是：，当x（0，x1）时f（x）0函数f（x）的单调递减当x（x1，x2）时f（x）0，函数f（x）的单调速递增，当x（x2，+）时f（x）0，函数f（x）的单调递减；综上所述，（i）当时f（x）的单调递减区间是（0，+），（）当时，f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是和（2）当a=1，x（0，1时，f（x）g（x），即m（x+2）exlnx+x，设h（x）=（x+2）exlnx+x，x（0，1，当0x1时，1x0，设，则，u（x）在（0，1）递增，又u（x）在区间（0，1上的图象是一条不间断的曲线，且，使得u（x0）=0，即，当x（0，x0）时，u（x）0，h（x）0；当x（x0，1）时，u（x）0，h（x）0；函数h（x）在（0，x0单调递减，在x0，1）单调递增，=，在x（0，1）递减，当m3时，不等式m（x+2）exlnx+x对任意x（0，1恒成立，正整数m的最大值是34已知函数f（x）=ex+alnx（其中e=2.71828，是自然对数的底数）（）当a=0时，求函数a=0的图象在（1，f（1）处的切线方程；（）求证：当时，f（x）e+1【解答】（）解：a=0时，f（1）=e，f（1）=e1，函数f（x）的图象在（1，f（1）处的切线方程：ye=（e1）（x1），即（e1）xy+1=0；（）证明：，设g（x）=f（x），则，g（x）是增函数，ex+aea，由，当xea时，f（x）0；若0x1ex+aea+1，由，当0xmin1，ea1时，f（x）0，故f（x）=0仅有一解，记为x0，则当0xx0时，f（x）0，f（x）递减；当xx0时，f（x）0，f（x）递增；，而，记h（x）=lnx+x，则，ah（x0）h（），而h（x）显然是增函数，综上，当时，f（x）e+1本资料分享自千人教师QQ群323031380 高中数学资源大全5已知函数f（x）=axex（a+1）（2x1）（1）若a=1，求函数f（x）的图象在点（0，f（0）处的切线方程；（2）当x0时，函数f（x）0恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（1）若a=1，则f（x）=xex2（2x1），当x=0时，f（0）=2，f（x）=xex+ex4，当x=0时，f（0）=3，所以所求切线方程为y=3x+2（3分）（2）由条件可得，首先f（1）0，得，而f（x）=a（x+1）ex2（a+1），令其为h（x），h（x）=a（x+2）ex恒为正数，所以h（x）即f（x）单调递增，而f（0）=2a0，f（1）=2ea2a20，所以f（x）存在唯一根x0（0，1，且函数f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0+）上单调递增，所以函数f（x）的最小值为，只需f（x0）0即可，又x0满足，代入上式可得，x0（0，1，即：f（x0）0恒成立，所以（13分）6函数f（x）=xexax+b的图象在x=0处的切线方程为：y=x+1（1）求a和b的值；（2）若f（x）满足：当x0时，f（x）lnxx+m，求实数m的取值范围【解答】解：（1）f（x）=xexax+b，f（x）=（x+1）exa，由函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为：y=x+1，知：，解得a=2，b=1（2）f（x）满足：当x0时，f（x）lnxx+m，mxexxlnx+1，令g（x）=xexxlnx+1，x0，则=，设g（x0）=0，x00，则=，从而lnx0=x0，g（）=3（）0，g（1）=2（e1）0，由g（）g（1）0，知：，当x（0，x0）时，g（x）0；当x（x0，+）时，g（x）0，函数g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增g（x）min=g（x0）=x0lnx0=x0lnx0=x0x0+x0=1mxexxlnx+1恒成立mg（x）min，实数m的取值范围是：（，1本资料分享自千人教师QQ群323031380 高中数学资源大全7已知函数f（x）=3ex+x2，g（x）=9x1（1）求函数（x）=xex+4xf（x）的单调区间；（2）比较f（x）与g（x）的大小，并加以证明【解答】解：（1）（x）=（x2）（ex2），令（x）=0，得x1=ln2，x2=2；令（x）0，得xln2或x2；令（x）0，得ln2x2故（x）在（，ln2）上单调递增，在（ln2，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增（2）f（x）g（x）证明如下：设h（x）=f（x）g（x）=3ex+x29x+1，h（x）=3ex+2x9为增函数，可设h（x0）=0，h（0）=60，h（1）=3e70，x0（0，1）当xx0时，h（x）0；当xx0时，h（x）0h（x）min=h（x0）=，又，=（x01）（x010），x0（0，1），（x01）（x010）0，h（x）min0，f（x）g（x）8已知函数f（x）=lnx+a（x1）2（a0）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：【解答】解：（1），当0a2时，f（x）0，y=f（x）在（0，+）上单调递增，当a2时，设2ax22ax+1=0的两个根为，且，y=f（x）在（0，x1），（x2，+）单调递増，在（x1，x2）单调递减（2）证明：依题可知f（1）=0，若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，由（1）可知a2，且于是：由得，设，则，因此g（x）在上单调递减，又，根据零点存在定理，故9已知函数f（x）=，其中a为常数（1）若a=0，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在（0，a）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若a=1，设函数f（x）在（0，1）上的极值点为x0，求证：f（x0）2【解答】解：（1）f（x）=的定义域是（0，+），f（x）=，令f（x）0，解得0x，令f（x）0，解得：x，则f（x）在（0，）递增，在（，+）递减，故f（x）极大值=f（）=，无极小值；（2）函数f（x）的定义域为x|x0且xa=，要使函数f（x）在（0，a）上单调递增，则a0，又x（0，a）时，ax+a0，只需1+2lnx0在（0，a）上恒成立，即a2xlnxx在（0，a）上恒成立，由y=2xlnxx的导数为y=2（1+lnx）1=1+2lnx，当x时，函数y递增，0x时，函数y递减，当a即a0时，函数递减，可得a0，矛盾不成立；当a即a时，函数y在（0，）递减，在（，a）递增，可得y2aln（a）+a，可得a2aln（a）+a，解得1a0，则a的范围是1，0）；（3）证明：a=1，则f（x）=导数为f（x）=，设函数f（x）在（0，1）上的极值点为x0，可得12lnx0=0，即有2lnx0=1，要证f（x0）2，即+20，由于+2=+2=，由于x0（0，1），且x0=，2lnx0=1不成立，则+20，故f（x0）2成立10已知函数f（x）=lnxx+1，函数g（x）=axex4x，其中a为大于零的常数（）求函数f（x）的单调区间；（）求证：g（x）2f（x）2（lnaln2）【解答】解：（）（2分）x（0，1）时，f（x）0，y=f（x）单增；x（1，+）时，f（x）0，y=f（x）单减 （4分）（）证明：令h（x）=axex4x2lnx+2x2=axex2x2lnx2（a0，x0）（5分）故 （7分）令h（x）=0即 ，两边求对数得：lna+x0=ln2lnx0即 lnx0+x0=ln2lna（9分），h（x）2lna2ln2（12分）11已知函数f（x）=x2（a2）xalnx（aR）（）求函数y=f（x）的单调区间；（）当a=1时，证明：对任意的x0，f（x）+exx2+x+2【解答】解：（）函数f（x）的定义域是（0，+），f（x）=2x（a2）= （2分）当a0时，f（x）0对任意x（0，+）恒成立，所以，函数f（x）在区间（0，+）单调递增；（4分）当a0时，由f（x）0得x，由f（x）0，得0x，所以，函数在区间（，+）上单调递增，在区间（0，）上单调递减；（）当a=1时，f（x）=x2+xlnx，要证明f（x）+exx2+x+2，只需证明exlnx20，设g（x）=exlnx2，则问题转化为证明对任意的x0，g（x）0，令g（x）=ex=0，得ex=，容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0，则x0满足ex0=，当x变化时，g（x）和g（x）变化情况如下表x（0，x0）x0（x0，）g（x）0+g（x）递减递增g（x）min=g（x0）=ex0lnx02=+x02，因为x00，且x01，所以g（x）min22=0，因此不等式得证本资料分享自千人教师QQ群323031380 高中数学资源大全12已知函数（）当a=2时，（i）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（ii）求函数f（x）的单调区间；（）若1a2，求证：f（x）1【解答】解：（）当a=2时，定义域为（0，+），f（1）=12=3，f（1）=22=0；所以切点坐标为（1，3），切线斜率为0所以切线方程为y=3；（ii）令g（x）=2lnx2x2，所以g（x）在（0，+）上单调递减，且g（1）=0所以当x（0，1）时，g（x）0即f（x）0所以当x（1，+）时，g（x）0即f（x）0综上所述，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+）（）证明：f（x）1，即设，设（x）=ax2lnx+2所以（x）在（0，+）小于零恒成立即h（x）在（0，+）上单调递减因为1a2，所以h（1）=2a0，h（e2）=a0，所以在（1，e2）上必存在一个x0使得，即，所以当x（0，x0）时，h（x）0，h（x）单调递增，当x（x0，+）时，h（x）0，h（x）单调递减，所以，因为，所以，令h（x0）=0得，因为1a2，所以，因为，所以h（x0）0恒成立，即h（x）0恒成立，综上所述，当1a2时，f（x）113已知函数f（x）=（xa）lnx+x，（其中aR）（1）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0）处的切线方程为y=x，求a的值；（2）若为自然对数的底数），求证：f（x）0【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+），由题意知，则，解得x0=1，a=1或x0=a，a=1，所以a=1（2）令，则，因为，所以，即g（x）在（0，+）上递增，以下证明在g（x）区间上有唯一的零点x0，事实上，因为，所以，由零点的存在定理可知，g（x）在上有唯一的零点x0，所以在区间（0，x0）上，g（x）=f（x）0，f（x）单调递减；在区间（x0，+）上，g（x）=f（x）0，f（x）单调递增，故当x=x0时，f（x）取得最小值，因为，即，所以，即0f（x）0山水是一部书，枝枝叶叶的文字间，声声鸟鸣是抑扬顿挫的标点，在茂密纵深间，一条曲径，是整部书最芬芳的禅意。春风翻一页，桃花面，杏花眼，柳腰春细；夏阳读一页，蔷花满架，木槿锦绣、合欢幽香、蜀葵闲澹，一派峥嵘；秋风传一页，海棠妆欢，野菊淡姿，高远深邃；冬雪润一页，水仙临水一舞，腊梅素心磬口，向爱唱晚。.