专升本数学复习难.docx

一．广东05年考题
在区间[0,3]上满足罗尔定理条件,由罗尔定理确定的=( ).

6.曲线的水平渐近线方程为.
在处可导,则.
,则.
,求一阶导数.
是由方程所确定的隐函数,求.

,

(1) 求的单调区间和极值;

(2) 求在闭区间[0,2]上的最大值和最小值.
二．有关微分中值定理

罗尔定理

在连续，在可导，且
。则存在，
使

拉格朗日微分中值定理

在连续，在可导。

则存在，

使
柯西定理
与在连续，在可导，且在内任意点处。
则存在，使
三．复习题
处是否存在极限？是否连续？是否可导？

2．求下列导数、微分。
（1）已知，求、、、、、。
（2）已知，求。
（3），求。
3．（1）证明：可导的偶函数的导数为奇函数；可导的奇函数的导数为偶函数。
（2）设是可导的偶函数，且存在，求证。
4已知，且，证明。
5．求椭圆在点的切线方程。
6．求曲线在点处的切线与法线方程。
7．二船同时从一码头出发，甲船以30公里/时的速度向北行驶，乙船以40公里
/时的速度向东行驶，求二船间距离变化的速度。
8．长方形的二边长分别用与表示，若边以0。01米/秒的速度减少，边 以0。01米/秒的速度增加，求在20米、15米时长方形面积与对角线长的变化速度。
9．验证函数在给定的区间满足罗尔定理的条件，且求出定理中的值。
10．验证函数在给定的区间满足拉格朗日定理的条件，且求出定理中的值。
11．用拉格朗日定理证明：若，且当时，则
当时，。
12．证明不等式 。
13．证明：若函数在上连续，在内可导，且（为常数），则在处的右导数存在且等于。
14．讨论函数的单调性与极值。
15．求曲线的渐近线。
16．求底面半径为R，高为H的圆锥的内接圆柱与内接长方体的最大体积。
17．某产品生产单位的总成本函数，
需求函数。求
（1） 平均成本的最小值；（2）利润的最大值。
18．某商品的需求函数为。
（1）求价格时的边际需求，并说明其经济意义；
（2）求价格时的需求弹性，并说明其经济意义；
（3）当时，价格上涨1%，总收益将变化百分之几？是增加还是减少？
（4）当时，价格上涨1%，总收益将变化百分之几？是增加还是减少？
（5）为多少时，总收益最大？
例题
在区间[0,3]上满足罗尔定理条件,由罗尔定理确定的=( ).
解 因为 在[0，3]连续，在（0，3）可导，且

所以函数在区间[0,3]上满足罗尔定理条件,，使
。
事实上，
当时，。
故选。
6.曲线的水平渐近线方程为.
解 因为
所以曲线的水平渐近线方程为
注意：对于曲线
（1） 若，则有水平渐近线；
（2） 若，则有铅垂渐近线；
（3） 若，且，则有斜渐近线
在处可导,则.
解 因为
令 ，则
,则.
解

,求一阶导数.
解 两边取对数
两边求导
故
是由方程所确定的隐函数,求.
解1两边对求导

故
解2 设
则偏导数

,求,.
解

,
（1） 的单调区间和极值;
（2） 在闭区间[0,2]上的最大值和最小值.
解 （1） 定义域，

驻点

1

-
0
+
0
-

极小值

极大值

在区间或单调减少；在区间单调增加。
有极小值，极大值。
（2） 又，
故在闭区间[0,2]上的最大值为，最小值为。
处是否存在极限？是否连续？是否可导？

解 不存在，在不连续，不可导；

不存在，
故在处存在极限且连续但不可导；

故在处可导，所以在处存在极限且连续。

3．（1）证明：可导的偶函数的导数为奇函数；可导的奇函数的导数为偶函数。
（2）设是可导的偶函数，且存在，求证。
证明 （1） 设为可导的偶函数，则，且

所以可导的偶函数的导数为奇函数。
设为可导的奇函数，则，且

所以可导的奇函数的导数为偶函数。
（2）是可导的偶函数，则为奇函数，

即
4．已知，且，证明。
证明
11．用拉格朗日定理证明：若，且当时，则
当时，。
解 由于，故在右连续，当时，在连续，在可导，由拉格朗日定理，

即
由于，，。
12．证明不等式 。
证明 由于在（不妨设）连续，在可导，由拉格朗日定理，

式中在与之间，

13．证明：若函数在上连续，在内可导，且（为常数），则在处的右导数存在且等于。
证明 由右导数的定义和拉格朗日定理，

16．求底面半径为R，高为H的圆锥的内接圆柱与内接长方体的最大体积。

解 如图已知
设

即

令
得惟一驻点 且
故 时，圆锥的内接圆柱有最大体积
设 ，
则 （1）
又
构造拉格朗日函数
（2）
（3）
（4）
由（3）（4）得
代入（1）得
代入（2）得
内接长方体的最大体积
18．某商品的需求函数为。
（1）求价格时的边际需求，并说明其经济意义；
（2）求价格时的需求弹性，并说明其经济意义；
（3）当时，价格上涨1%，总收益将变化百分之几？是增加还是减少？
（4）当时，价格上涨1%，总收益将变化百分之几？是增加还是减少？
（5）为多少时，总收益最大？
解 （1） 由 ，
即价格时的边际需求为，经济意义：在价格时，价格变化1个单位时，需求将反方向变化8个单位；
（2）由

即价格时的需求弹性为，经济意义：在价格时，价格变化1%时，需求将反方向变化%；
（3）由
即价格时，价格上涨1%时，总收益将增加%；
（4）由

即价格时，价格上涨1%时，总收益将减少%；
（5）当 即 时总收益最大。
或 当 即 时总收益最大。