人教本数学八下二次根式全章导学案.docx

学习内容： 二次根式的概念及其运用
学习目标：1、理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．
2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．
学习过程
一、自主学习
（一）、复习引入P2思考
（二）学生学习课本知识2页思考
1、面积为3的正方形的边长为，面积为S的正方形的边长为_____。
2、一长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130，则它的宽为m
3、3.h=5t2,则t=_______
（三）、探索新知
1、知识： 如 、 、 、 都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为 二次根号．
例如：形如、、是二次根式。
形如、、不是二次根式。
2、应用举例
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
解：二次根式有：；不是二次根式的有： 。
例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？
解：由得： 。
当时，在实数范围内有意义．
（3）注意：1、形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
2、利用“（a≥0）”解决具体问题
3、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。
二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？
例4(1)已知y=++5，求的值．(答案:2)
(2)若+=0，求a2004+b2004的值．(答案:)
三、巩固练习
教材P3练习1、2． 课本5页第1题
四、课堂检测 学习指要P1-2达标训练
五、教学反思：
16.1 二次根式(2)
学习内容：
1．（a≥0）是一个非负数； 2．（）2=a（a≥0）．
学习目标：
1、理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它进行计算和化简．
2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．
教学过程
一、自主学习
（一）复习引入
1．什么叫二次根式？
2．当a≥0时，叫什么？当a<0时，有意义吗？
（二）学生学习课本知识3、4页
（三）、探究新知
1、（a≥0）是一个 数。（正数、负数、零）
因为。
2、重点：（a≥0）是一个非负数．
3、根据算术平方根的意义填空：
（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；
同理可得：（）2=2， （）2=9， （）2=3， （）2=， （）2=0，所以 （）2=a（a≥0）
(4) 例1 计算
1、（）2 = 2、（3）2 = 3、（）2 = 4、（）2=
(5)注意：1、（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．
2、用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（）2=a（a≥0）．
二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
例2 计算 1．（）2（x≥0） 2．（）2 3．（）2
例3 在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
三、巩固练习
（一）计算下列各式的值：
（）2= （）2= （）2= （）2 = （4）2 =
（二） 课本P4 1
四、课堂检测
（一）、选择题
1．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
（二）、填空题
1．（-）2=________．2．已知有意义，那么是一个_______数．
（三）、综合提高题
1．计算
（1）（）2 （2）--（）2 （3）（-3）2 (4)
== == == ==
2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5= （2）3.4= （3） （4）x（x≥0）=
3．已知+=0，求xy的值．
4．在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5
教学反思：
16．1 二次根式(3)
学习内容： ＝a（a≥0）
学习目标：
1、理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．
2、通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．
教学过程
一、自主学习
（一）、复习引入
1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式；
2．（a≥0）是一个非负数； 3．()2＝a（a≥0）．
那么，我们猜想当a≥0时，=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．
（二）、自主学习
学生学习课本知识4页
（三）、探究新知
1、填空：根据算术平方根的意义，
=___； =___； =__ ； =___；=_ _ ；=___．
2、 重点：=a（a≥0）
例1 化简
（1） （2） （3） （4）
解：（1）==（2）==
（3）== （4）==
3、 注意：（1）＝a（a≥0）．（2）、只有a≥0时，＝a才成立．
二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
例2 填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题．
（1）若=a，则a可以是什么数？ 因为=a，所以a≥0；
（2）若=-a，则a可以是什么数？ 因为=-a，所以a≤0；
（3）>a，则a可以是什么数？ 因为当a≥0时=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，=-a，要使>a，即使-a>a，a<0综上，a<0
例3当x>2，化简-．
三、巩固练习
教材P4练习2．P5习题第2题（5-10）
四、课堂检测
（一）、选择题
1．的值是（ ）． A．0 B． C．4
（二）、填空题
1．-=________．
2．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
三、综合提高题
1．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；
乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
2．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．
（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）
3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。
教学反思：
16．2 二次根式的乘除（1）
学习内容
·＝（a≥0，b≥0），反之=·（a≥0，b≥0）及其运用．
学习目标
理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简
学习过程:
一、自主学习
（一）复习引入
1．填空：（1）×=____，=____； ×__
（2）×=____，=___； ×__
（3）×=___，=___． ×__（二）、探索新知
1、 学生交流活动总结规律．
2、一般地，对二次根式的乘法规定为
·＝．（a≥0，b≥0 反过来: =·（a≥0，b≥0）
例1．计算
（1）× （2）× （3）3×2 （4）·
== == == ==
例2 化简
（1） （2） （3）（4） （5）
== == == == ==
二、巩固练习
（1）计算： ①×②3×2③·
== == ==
(2) 化简:; ; ; ;
（3）教材P7练习
三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
（一）例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
（2）×=4××=4×=4=8
（二）归纳小结
（1）·＝=（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及其运用．
（2）要理解（a<0,b<0）=，如=或==×．
四、课堂检测
（一）、选择题
1．若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（ ）． A．3cm B．3cm C．9cm D．27cm
2．化简a的结果是（ ）． A． B． C．- D．-
3．等式成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
( 二)、填空题 1．=_______．
2．自由落体的公式为S=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．
三、综合提高题
1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？
教学反思：
16．2 二次根式的乘除（2）
学习内容:
=（a≥0，b>0），反过来=（a≥0b>0）及利用它们进行计算和化简．
学习目标:
理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．
教学过程
一、 自主学习
（一）复习引入
1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．
2．填空
（1）=____，=____； 规律： ______；
（2）=____，=____； ______；
（3）=____，=____； _______；
（4）=____，=___． _______．
（二）、探索新知
一般地，对二次根式的除法规定：
=（a≥0，b>0）反过来，=（a≥0，b>0）
下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
二、巩固练习
1、计算：（1） （2） （3） （4）
== == == ==
2、化简：
（1） （2） （3） （4）
== == == ==
3、巩固练习
教材P10 练习1．
三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
1、 例3．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．
2、归纳小结
（1）本节课要掌握=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其运用．
并利用它们进行计算和化简．
四、课堂检测
（一）、选择题
1．计算的结果是（ ）．A． B． C． D．
2．阅读下列运算过程：，
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请化简的结果是（ ）．
A．2 B．6 C． D．
（二）、填空题
1．分母有理化:(1)=______;(2)=_____;(3)=______.
2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．
三、综合提高题（1）·（-）÷（m>0，n>0）
教学反思：
16.2 二次根式的乘除(3)
学习内容
最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．
学习目标
理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．
学习过程
一、 自主学习
（一）复习引入
1．计算（1）==，（2）==，（3）==
2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径的比是_________．
（二）、探索新知
观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：
1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．
==.
例 1．化简：(1); (2); (3)
== == ==
例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=6cm，求AB的长．
二、巩固练习
教材P10 练习2、3、4
三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
1、观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
==-1，
==-，
同理可得：=-，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（+++……）（+1）的值．
==
2、归纳小结
（1）．重点：最简二次根式的运用．
（2）．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．
四、课堂检测
学习指要达标训练
教学反思：
16.3 二次根式的加减(1)
学习内容：
二次根式的加减
学习目标：
1、理解和掌握二次根式加减的方法．
2、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．
学习过程
一、 自主学习
（一）、复习引入
计算．（1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3
== == == ==
以上题目，是我们所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．
（二）、探索新知
学生活动：计算下列各式．
（1）2+3 （2）2-3+5
== ==
（3）+2+3 （4）3-2+
== ==
由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如2与表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？也可以．
3+=3+2=5 3+=3+3=6
所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
例1．计算 （1）+ （2）+
==== ====
例2．计算
（1）3-9+3 （ 2）（+）+（-）
==== ===
归纳： 第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；
第二步，将相同的最简二次根式进行合并．
二、巩固练习 教材P13 练习1、2．
三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
1、例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．
2、归纳小结
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．
重难点关键 1．重点：二次根式化简为最简根式．
2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．
四、课堂检测
学习指要达标训练
教学反思：
16.3 二次根式的加减(2)
学习内容： 利用二次根式化简的数学思想解应用题．
学习目标： 1、 运用二次根式、化简解应用题．
2、 通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题．
学习过程
一、 自主学习
（一）、复习引入
上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，
（二）、探索新知
例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式就可以求出x的值．
解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．
则有PB=x，BQ=2x
依题意，得：求解得： x=
所以秒后△PBQ的面积为35平方厘米．
PQ=
答：秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5厘米．
二、巩固练习
教材P14 练习2
三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
1、 例3．若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）
分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的根式； 解：首先把根式化为最简二次根式：
=
四、课堂检测：学习指要达标训练
五、教学反思
16.3 二次根式的加减(3)
学习内容：
含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．
学习目标：
1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．
2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
学习过程
一、 自主学习
（一）复习引入
1．计算 （1）（2x+y）·zx== （2）（2x2y+3xy2）÷xy===
2．计算 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2
=== ===
（二）、探索新知
如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立．
例1．计算: （1）（+）× （2）（4-3）÷2
=== ===
例2．计算 （1）（+6）（3-） （2）（+）（-）
=== ===
二、巩固练习
课本P13练习1、2．
三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
1、例3．已知，X==2 化简+，并求值．
解：原式==+
==+
==（x+1）+x-2+x+2
==4x+2
当X==2时 ∴原式=4X2+2=10
2、、归纳小结
本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．
四、课堂检测
（一）、选择题 1．（-3+2）×的值是（ ）．
A．-3 B．3-C．2- D．-
2．计算（+）（-）的值是（ ）．A．2 B．3 C．4 D．1
（二）、填空题 1．（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是________．
2．（1-2）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．
3．若x=-1，则x2+2x+1=________．
4．已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_________．
三、综合提高题
1．化简
2．当x=时，求+的值．（用最简二次根式表示）
课外知识
（1）、练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．
A．与 B．与 C．与 D．与
（2）、互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积是有理数，不含有二次根式：如2与就是互为有理化因式；+1与-1也是互为有理化因式．
练习：1、+的有理化因式是________；
2、x-的有理化因式是_________． 3、 2的有理化因式是_______．
五、教学反思
二次根式复习课（1）
学习目标：
1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；
2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．
学习重点和难点
重点：含二次根式的式子的混合运算．
难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．
学习过程
一、自主学习
（一）复习
1．二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．
（1） （2） （3）
2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．
乘法法则：. 除法法则：
反过来:.
3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：

4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：

二、复习练习课本知识 复习题
二次根式复习课（2）
学习目标：
1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；
2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．
学习重点和难点
重点：含二次根式的式子的混合运算．
难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．
学习过程
一、 例题点讲
例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：

　　分析：
　　(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；

　　(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；
　　(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．
解：（1）、
（2）、
（3）、
（4）、　　
解：
例3
分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0．
解：

　　这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．
例4
　　分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．

　　　　　　　　　a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，

　　三、课堂练习
　　1．选择题：

　　A．a≤2B．a≥2
　　C．a≠2D．a＜2

　　A．x+2　　B．-x-2
　　C．-x+2D．x-2

　　A．2x　　　B．2a
　　C．-2xD．-2a

　　2．填空题：

　　4．计算：

　　四、小结
　　1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．
　　2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．
　　3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．
　　4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．
　　五、作业
　　1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？

2．把下列各式化成最简二次根式：