高二数学--圆的方程.doc

圆的方程

[知识点]
1、圆的方程：
①标准方程：，c（a、b）为圆心，r为半径。
②一般方程：，
，
当时，表示一个点。
当时，不表示任何图形。
③参数方程：
（为参数）
注：以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径的两端点的圆的方程是：
（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0
2、点与圆的位置关系：考察点到圆心距离d，然后与r比较大小。
3、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离
判定：
①代数法：联立方程组，消去一个未知量，得到一个一元二次方程：
△＞0相交、△＝0相切、△＜0相离
②几何法：利用圆心c (a、b)到直线Ax+By+C=0的距离d来确定：
d＜r相交、d＝r相切d＞r相离
（直线与圆相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的Rt△）
4、圆的切线：
（1）过圆上一点的切线方程：
①与圆相切于点（x1、y1）的切线方程是
②与圆相切于点（x1、y1）的切线方程为：
③与圆相切于点（x1、y1）的切线是：

（2）过圆外一点切线方程的求法：
已知：P0(x0，y0)是圆外一点。
①设切点是P1(x1、y1)解方程组
先求出P1的坐标，再写切线的方程
②设切线是即
再由，求出k，再写出方程。
（当k值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于x轴的切线）
③已知斜率的切线方程：设（b待定），利用圆心到L距离为r，确定b。
5、圆与圆的位置关系：
由圆心距进行判断、相交、相离（外离、内含）、相切（外切、内切）。
6、圆系：
①同心圆系：，（a、b为常数，r为参数）
或：（D、E为常数，F为参数）
②圆心在x轴：
③圆心在y轴：
④过原点的圆系方程
⑤过两圆和
的交点的圆系方程为：

（不含C2，其中入为参数）
注：若C1与C2相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。
[典型例题分析]
例1、【０４年，广东卷，第12题】
如图，定圆半径为a，圆心为(b,c)，则直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在( )
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限

解析：由可解得
又-b>a>c>0，于是b+c<0，a+b<0，a-c>0，故x<0，y<0，选C.
例2、圆上到直线的距离为的点共有（ ）
（）1个 （）2个 （）3个 （）4个
答案:C.
例3、当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是（ ）
（） （） （） （）
例4、求以圆和圆的公共弦为直径的圆的方程.
答案：.
例5、已知直线，圆(r>0)
若点分别在此圆内、圆上、圆外，，研究此直线与此圆的位置关系，并确定此直线的位置。
解析：点在圆内直线与圆相离
点在圆上直线与圆相切
点在圆外直线与圆相交
例6、已知实数满足，求使不等式恒成立的实数 的取值范围.
答案：.
例7、已知点，点，直线与圆E：相交于点两点，且；
（1） 求的值；
（2）求线段的中点的轨迹方程；
（3）求的面积的最小值.
答案：(1)8;(2);(3)
例8、过已知点（3，0）的直线l与圆相交于P、Q两点，且OP⊥OQ（其中O为原点），求直线l的方程。
答案：x+2y-3=0或x+4y-3=0.

课后训练：
1．已知圆方程，若过定点所作圆的切线有两条，则的取值范围为（ ）
（） （） （） （）
2．若方程所表示的曲线关于直线 对称，则必有（ ）
（） （） （） （）两两不相等
3．如果把圆沿向量平移到，并与直线相切，则的值为（ ）
2或 或 或 或
4．曲线和圆没有公共点，则的取值范围是 （ ）
或
5．从点向圆作切线，切线长度的最小值等于（ ）

6．设直线与轴的交点为，点把圆的直径分为两段，则其长度之比为（ ）
（）或 （）或 （）或 （）或
7．直线与圆的位置关系是（ ）
（）过圆心 （）相切 （）相离 （）相交但不过圆心
8．两圆和的位置关系是（ ）
外切 内切 相交 相离
9．方程表示的曲线是（ ）
（）直线 （）射线 （）圆 （）两个半圆
10．以为圆心的圆与直线相离，那么圆的半径的取值范围是( )

11．已知点，，点在坐标轴上，且，则满足条件的点的个数为 。
12．设圆的弦的中点为，则直线的方程： 。
13．设圆有且仅有两点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是 。
14．已知点是圆上任意一点，则的最大值为______，的最大值为______.
15．圆与轴交于两点，圆心为，若，
则 。
16．过点引圆的两条切线，则切线方程为： 和 ；过两切点的直线方程为 .
17．已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的方程.
18．已知方程的图形是圆，
（1）求的取值范围； （2）求其中面积最大的圆的方程；
（3）若点恒在所给圆内，求的取值范围.
19．已知直线；
（1）求证：对与的交点恒在一个定圆上；
（2）若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一个交点为，求面积的最大值及对应的.
答案：3.A 6.A 7.A 8.A 9.D 10.C
14.,
15.-3
16. ,
17.
19.（1）（2）

谢永清 第 7 页 2024/9/5 周四