2019年厦门一中数学三模试卷(含解析).doc

2019年福建省厦门一中中考数学三模试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆周的4等分点处标上字母A，B，C，D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动、那么数轴上的﹣2019所对应的点与圆周上字母（　　）所对应的点重合．

A．A B．B C．C D．D
2．下列说法中正确的是（　　）
A．有理数a的倒数可表示为 B．有理数a的相反数可表示为﹣a
C．若|a|＝﹣a，则a为负数 D．若x3＝x，则x＝1或0
3．下面调查中，适合采用全面调查的是（　　）
A．对南宁市市民进行“南宁地铁1号线线路” B．对你安宁市食品安全合格情况的调查
C．对南宁市电视台《新闻在线》收视率的调查 D．对你所在的班级同学的身高情况的调查
4．如图，几何体的左视图是（　　）
A． B． C． D．
5．如果代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣3 B．x≠0 C．x≥﹣3且x≠0 D．x≥3
6．已知：如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝70°，点D、E分别在AB和AC上，且DE∥BC．则∠ADE的度数是（　　）
A．40° B．50°
C．60° D．70°

7．在检测一批刚出厂的足球的质量时，随机抽取了4个足球来测量其质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检测结果如下表：
足球的编号
1
2
3
4
与标准质量的差（克）
+3
+2
﹣1
﹣2
则生产较合格的足球的编号是（　　）
A．1号 B．2号 C．3号 D．4号
8．如图，PA、PB分别与圆O相切于A、B两点，C为圆上一点，∠P＝70°，则∠C＝（　　）
A．60° B．55°
C．50° D．45°

9．如图，O为直线AB上一点，∠COB＝26°30′，则∠1＝（　　）
A．153°30′ B．163°30′
C．173°30′ D．183°30′
10．某校将举办一场“中国汉字听写大赛”，要求每班推选一名同学参加比赛，为此，初二（1）班组织了五轮班级选拔赛，在这五轮选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是96分，甲的成绩的方差是0.3，乙的成绩的方差是0.4，根据以上数据，下列说法正确的是（　　）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝，如3※2＝＝，
那么6※3＝　 　．
12．若x+5，x﹣3都是多项式x2﹣kx﹣15的因式，则k＝　 　．
13．八边形的内角和为　 　．
14．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB＝　 　．

15．如图1，点E，F，G分别是等边三角形ABC三边AB，BC，CA上的动点，且始终保持AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，y关于x的函数图象大致为图2所示，则等边三角形ABC的边长为　 　．

16．如果把函数y＝x2（x≤2）的图象和函数y＝的图象组成一个图象，并称作图象E，那么直线y＝3与图象E的交点有　 　个；若直线y＝m（m为常数）与图象E有三个不同的交点，则常数m的取值范围是　 　．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：﹣22﹣+|1﹣4sin60°|

18． （8分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．

19．（8分）如图，∠ABC＝∠ACB，∠ADE＝∠AED，BE＝CD，试说明：△ABD≌△ACE．

20．（8分）已知函数y＝（m+1）x2+4（m2一1）x+2（m+1）
（1）若函数图象与x轴只有一个交点，求m的值．
（2）是否存在整数m，使函数图象与x轴有两个交点，且两个交点之间的距离为2？若存在，求出符合条件的m值；若不存在，请说明理由．

21．（8分）为了解家长对“学生在校带手机”现象的看法，某校“九年级兴趣小组”随机调查了该校学生家长若干名，并对调查结果进行整理，绘制如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次接受调查的家长总人数为　 　人．
（2）在扇形统计图中，求“很赞同”所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若在这次接受调查的家长中，随机抽出一名家长，恰好抽到“无所谓”的家长概率是多少？

22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB＝10，CD＝5，求图中阴影部分的面积．

23．（10分）元旦节前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将玫瑰每枝降价2元促销，降价后80元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的1.25倍．
（1）试问：降价后每枝玫瑰的售价是多少元？
（2）根据销售情况，店主用不多于1000元的资金再次购进两种鲜花共180枝，康乃馨进价为6元/枝，玫瑰的进价是5元/枝．试问；至少需要购进多少枝玫瑰？

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．
（1）点A的坐标为　 　．
（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值．
（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．

25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y＝﹣x+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线y＝﹣x+b与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动．设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

2019年福建省厦门一中中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．【分析】圆每转动一周，A、B、C、D循环一次，﹣2019与1之间有2020个单位长度，即转动2020÷4＝505（周），据此可得．
【解答】解：1﹣（﹣2019）＝2020， 2020÷4＝505（周），
所以应该与字母A所对应的点重合． 故选：A．
【点评】此题考查数轴，以及循环的有关知识，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成．
2．【分析】依据倒数的定义、相反数的定义、绝对值的性质进行判断即可．
【解答】解：A.0不存在倒数，故A错误；
B．a的相反数是﹣a，故B正确；
C．若|a|＝﹣a，则a≤0，故C错误；
D．x3＝x，则x＝1或0或﹣1，故D错误． 故选：B．
【点评】本题主要考查的是倒数、相反数、绝对值的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3．【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A、对南宁市市民进行“南宁地铁1号线线路”适宜采用抽样调查方式；
B、对你安宁市食品安全合格情况的调查适宜采用抽样调查方式；
C、对南宁市电视台《新闻在线》收视率的调查适宜采用抽样调查方式；
D、对你所在的班级同学的身高情况的调查适宜采用普查方式；
故选：D．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．【分析】找到从几何体左面看得到的平面图形即可．
【解答】解：从几何体左面看得到是矩形的组合体，且长方形靠左． 故选：A．
【点评】此题主要考查了三视图的相关知识；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．
5．【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：
∴x≥﹣3且x≠0
故选：C．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的有意义的条件，本题属于基础题型．
6．【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，再根据平行线的性质求出∠ADE即可．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝60°，∠C＝70°，
∴∠B＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．【分析】检测质量时，与标准质量偏差越小，合格的程度就越高．比较与标准质量的差的绝对值即可．
【解答】解：|+3|＝3，|+2|＝2，|﹣1|＝1，|﹣2|＝2
而1＜2＜3
∴3号球与标准质量偏差最小．
故选：C．
【点评】本题考查的是绝对值的应用，理解绝对值表示的意义是解决本题的关键．
8．【分析】连接OB、OA，如图，利用切线的性质得OA⊥PA，OB⊥PB，再利用四边形内角和得到∠AOB＝110°，然后根据圆周角定理得到∠C的度数．
【解答】解：连接OB、OA，如图，
∵PA、PB分别与圆O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣70°＝110°，
∴∠C＝∠AOB＝55°． 故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
9．【分析】根据邻补角互补可得∠1＝180°﹣26°30′＝153°30′．
【解答】解：∵∠COB＝26°30′，
∴∠1＝180°﹣26°30′＝153°30′，
故选：A．
【点评】此题主要考查了补角，关键是掌握邻补角互补．
10．【分析】根据方差越小，数据离散程度越小，成绩越稳定求解可得．
【解答】解：∵甲的成绩的方差是0.3，乙的成绩的方差是0.4，
∴甲的成绩比乙的成绩更稳定，
故选：A．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．【分析】根据※的运算方法列式算式，再根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：6※3＝＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，读懂题目信息，理解※的运算方法是解题的关键．
12．【分析】根据因式分解与多项式相乘是互逆运算，把多项式乘法展开再利用对应项系数相等即可求解．
【解答】解：根据题意得
（x+5）（x﹣3）
＝x2+2x﹣15，
＝x2﹣kx﹣15，
∴﹣k＝2，
解得k＝﹣2．
【点评】本题主要考查了因式分解与整式的乘法是互为逆运算，并且考查了代数式相等条件：对应项的系数相同．
13．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可得解．
【解答】解：（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°．
故答案为：1080°．
【点评】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键．

14．【分析】首先计算出∠3的度数，再计算∠AOB的度数即可．
【解答】解：由题意得：∠1＝54°，∠2＝15°，
∠3＝90°﹣54°＝36°，
∠AOB＝36°+90°+15°＝141°．
故答案为：141°．

【点评】此题主要考查了方向角，关键是根据题意找出图中角的度数．
15．【分析】设出等边三角形ABC边长和BE的长，表示等边三角形ABC的面积，讨论最值即可．
【解答】解：设等边三角形ABC边长为a，则可知等边三角形ABC的面积为
设BE＝x，则BF＝a﹣x
S△BEF＝
易证△BEF≌△AGE≌△CFG
y＝﹣3（）＝
当x＝时，△EFG的面积为最小．
此时，等边△EFG的面积为，则边长为1
EF是等边三角形ABC的中位线，则AC＝2
故答案为：2
【点评】本题是动点函数图象问题，考查了等边三角形的性质及判断．解答时要注意通过设出未知量构造数学模型．
16．【分析】在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2（x≤2）和函数y＝的图象，根据函数图象即可得到直线y＝3与图象E的交点个数以及常数m的取值范围．
【解答】解：在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2（x≤2）和函数y＝的图象，

由图可得，直线y＝3与图象E的交点有2个，
∵直线y＝m（m为常数）与图象E有三个不同的交点，
∴直线y＝m在直线y＝2的下方，且在x轴的上方，
∴常数m的取值范围是0＜m＜2，
故答案为：2，0＜m＜2．
【点评】本题主要考查了反比例函数以及二次函数的图象，解决问题的关键是在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2（x≤2）和函数y＝的图象，依据函数图象进行判断．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣4﹣2+4×﹣1
＝﹣4﹣2+2﹣1
＝﹣5．
【点评】此题主要考查了实数运算以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．
18．【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把y系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：两边都乘以12得，2（y+1）﹣3（2y﹣5）≥12，
去括号得，2y+2﹣6y+15≥12，
移项，合并同类项得，﹣4y≥﹣5，
系数化为1得，y≤，
把不等式的解集在数轴上表示如下：

【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．【分析】根据AAS推出△ABD≌△ACE即可．
【解答】解：∵∠ADE＝∠AED，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣∠AED＝∠AEC
又∵BE＝CD，
∴BD＝BE﹣DE＝CD﹣DE＝CE
在△ADB与△ACE中，
，
∴△ADB≌△ACE
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．
20．【分析】（1）判断二次函数图象与x轴的交点情况，相当于求方程（m+1）x2+4（m2一1）x+2（m+1）＝0的判别式符号，函数图象与x轴只有一个交点，则△＝0；
（2）运用根与系数关系，求出符合条件的m值，用△＞0检验．
【解答】解：（1）由条件可知：△＝[4（m2﹣1）]2﹣4（m+1）•2（m+1）＝8（m+1）2（m﹣1+1）（m﹣1﹣1）＝0，
解得：m＝﹣1或0或2；

（2）不存在，
理由是：假设存在符合条件的m的值，设函数图象与x轴的两个交点横坐标是x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝4﹣4m，x1x2＝＝2，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（4﹣4m）2﹣8＝（2）2，
解得m＝0或2，
∵m＝0或m＝2都使得△＝0，
∴不存在整数m，使函数图象与x轴有两个交点，且两个交点之间的距离为2．
【点评】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，能理解二次函数与x轴的交点和方程的根的判别式的关系是解此题的关键．
21．【分析】（1）根据表示“赞同”的人数是50，所占的百分比是25%即可求得总人数；
（2）利用360°乘以对应的百分比即可求得圆心角的度数；
（3）求得表示“很赞同”的人数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）这次接受调查的家长总人数为50÷25%＝200人，
故答案为：200；

（2）∵“无所谓”的人数为200×20%＝40人，
∴“很赞同”的人数为200﹣（50+40+90）＝20人，
则“很赞同”所对应的扇形圆心角的度数为360°×＝36°；

（3）∵在所抽取的200人中，表示“无所谓”的人数为40，
∴恰好抽到“无所谓”的家长概率是＝0.2．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．总体数目＝部分数目÷相应百分比．
22．【分析】（1）欲证明AC是⊙O的切线，只要证明OD⊥AC即可．
（2）证明△OBE是等边三角形即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵BD为∠ABC平分线，∴∠1＝∠2，
∵OB＝OD，∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，∴OD∥BC，
∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，
∴OD⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．

（2）过O作OG⊥BC，连接OE，则四边形ODCG为矩形，
∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝5，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝5，
∴BE＝10，则△OBE是等边三角形，
∴阴影部分面积为﹣×10×5＝﹣25．

【点评】本题考查切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，思想的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．【分析】（1）设降价后每枝玫瑰的售价是x元，则降价前每枝玫瑰的售价是（x+2）元，根据数量＝总价÷单价结合降价后80元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的1.25倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；
（2）设购进玫瑰y枝，则购进康乃馨（180﹣y）枝，根据总价＝单价×数量结合总价不多于1000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设降价后每枝玫瑰的售价是x元，则降价前每枝玫瑰的售价是（x+2）元，
根据题意得：＝×1.25，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解．
答：降价后每枝玫瑰的售价是8元．
（2）设购进玫瑰y枝，则购进康乃馨（180﹣y）枝，
根据题意得：5y+6（180﹣y）≤1000，
解得：y≥80．
答：至少购进玫瑰80枝．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．【分析】（1）解方程即可得到A点的坐标；
（2）利用待定系数法即可求得函数解析式；
（3）由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP＝90°和∠BNP＝90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；
（4）用m可表示出P、F、E的坐标，由题意可知有F为线段PE的中点、P为线段EF的中点或E为线段PF的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值．
【解答】解：（1）在y＝+2中，令y＝0，则x＝4，
∴A（4，0）；
故答案为：（4，0）；

（2）∵在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，∴B（0，2），
把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；

（3）∵P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣ m+2），
∵△BEF和△APF相似，且∠BFE＝∠AEP，
∴∠BEP＝∠APF＝90°或∠EBF＝∠APF＝90°，
当∠BEF＝90°时，则有BE⊥PE，
∴E点的纵坐标为2，
∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝，
如图1，当∠EBF＝90°时，过点E作EC⊥y轴于点C，
则∠EBC+∠BEC＝90°，EC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，
∵∠EBF＝90°，
∴∠EBC+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BEC，
∴Rt△ECB∽Rt△BOA，
∴＝，
∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，
解得，m＝，
综上所述，以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，m的值＝，；

（4）由（1）知，P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣ m+2），
∵E、F、P三点为“共谐点”，
∴有F为线段PE的中点、P为线段FE的中点或E为线段PF的中点，
当F为线段PE的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝4（三点重合，舍去）或m＝；
当P为线段FE的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝4（舍去）或m＝﹣1；
当E为线段FP的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝4（舍去）或m＝﹣；
综上可知当E、F、P三点成为“共谐点”时m的值为﹣1或﹣或．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中利用相似三角形的性质得到关于m的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）②中利用“共谐点”的定义得到m的方程是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大．
25．【分析】（1）分别令y＝0可得b和m的值；
（2）①根据△ACP的面积公式列等式可得t的值；
②存在，分三种情况：
i）当AC＝CP时，如图1，ii）当AC＝AP时，如图2，iii）当AP＝PC时，如图3，分别求t的值即可．
【解答】解：（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4，
∴点C（2，4），
∵直线y＝﹣x+b过点C，
4＝﹣+b，b＝5；
（2）①由题意得：PD＝t，
y＝x+2中，当y＝0时，x+2＝0，
x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
y＝﹣x+5中，当y＝0时，﹣ x+5＝0，
x＝10，
∴D（10，0），
∴AD＝10+2＝12，
∵△ACP的面积为10，
∴•4＝10，
t＝7，
则t的值7秒；
②存在，分三种情况：
i）当AC＝CP时，如图1，过C作CE⊥AD于E，
∴PE＝AE＝4，
∴PD＝12﹣8＝4，
即t＝4；
ii）当AC＝AP时，如图2，
AC＝AP1＝AP2＝＝4，
∴DP1＝t＝12﹣4，
DP2＝t＝12+4；
iii）当AP＝PC时，如图3，
∵OA＝OB＝2
∴∠BAO＝45°
∴∠CAP＝∠ACP＝45°
∴∠APC＝90°
∴AP＝PC＝4
∴PD＝12﹣4＝8，即t＝8；
综上，当t＝4秒或（12﹣4）秒或（12+4）秒或8秒时，△ACP为等腰三角形．

【点评】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题．
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