资源描述
1.1 已知不变线性系统的输入为
系统的传递函数。若b取（1）（2），求系统的输出。并画出输出函数及其频谱的图形。
答：（1） 图形从略，
（2） 图形从略。
的傅里叶变换在长度为宽度的矩形之外恒为零，
（1） 如果，，试证明
证明：
（2） 如果，，还能得出以上结论吗？
答：不能。因为这时。
1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为
试用频域方法对下面每一个输入，求其输出。（必要时，可取合理近似）
（1）
答：
（2）
答：
（3）
答：
（4）
答：
1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波
对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。
（1）
（2）
答：图解方法是在频域里进行的，首先要计算输入函数的频谱，并绘成图形
方括号内函数频谱图形为：
图1.4（1）
图形为：
图 1.4（2）
因为的分辨力太低，上面两个图纵坐标的单位相差50倍。两者相乘时忽略中心五个分量以外的其他分量，因为此时的最大值小于0.04%。故图解频谱结果为：
图 1.4（3）
传递函数（1）形为：
图 1.4（4）
因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后，保持不变，得到输出函数频谱表达式为：
其反变换，即输出函数为：
该函数为限制在与周期为1.5，振幅为0.342的另一个余弦函数的叠加。
传递函数（2）形为：
图 1.4（5）
此时，输出函数仅剩下在及两个区间内分量，尽管在这两个区间内输入函数的频谱很小，相对于传递函数（2）在的零值也是不能忽略的，由于
可以解得，通过传递函数（2）得到的输出函数为：
该函数依然限制在区间内，但其平均值为零，是振幅为0.043，周期为0.75，的一个余弦函数与振幅为0.027，周期为0.6的另一个余弦函数的叠加。
1.5 若对二维函数
抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。
答：
也就是说，在X方向允许的最大抽样间隔小于1/2a，在y方向抽样间隔无限制。
1.6 若只能用表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即
试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复。
答：因为表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复也有贡献，不可省略。
1.7 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”，系统对线脉冲的输出响应称为线响应。如果系统的传递函数为，证明：线响应的一维傅里叶变换等于系统传递函数沿轴的截面分布。
证明：
1.8 如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间，之外恒为零，系统输入为非限带函数，输出为。证明，存在一个由脉冲的方形阵列构成的抽样函数，它作为等效输入，可产生相同的输出，并请确定。
答：为了便于从频率域分析，分别设：
物的空间频谱 ；
像的空间频谱 ；
等效物体的空间频谱 ；
等效物体的像的空间频谱
由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在之外恒为零，故可将其记为：
、
利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为
在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数，预期作为等效物的谱，办法是把安置在平面上成矩形格点分布的每一个点周围，选择矩形格点在、方向上的间隔分别为和,以免频谱混叠，于是
（1）
对于同一个成像系统，由于传递函数的通频带有限，只能允许的中央一个周期成份（）通过，所以成像的谱并不发生变化，即
图1.8用一维形式表示出系统在频域分别对和的作用，为简单计，系统传递函数在图中表示为。
图 题1.8
既然，成像的频谱相同，从空间域来看，所成的像场分布也是相同的，即
因此，只要求出的逆傅立叶变换式，就可得到所需的等效物场，即
带入（1）式，并利用卷积定理得到
（2）
上式也可以从抽样定理来解释。
是一个限带的频谱函数，它所对应的空间域的函数可以通过抽样，用一个点源的方形阵列来表示，若抽样的矩形格点的间隔，在方向是，在方向是，就得到等效物场
； （3）
（4）
把（3）、（4）式代入（2）式，得到
利用函数性质（1.8）式，上式可写为
这一点源的方形阵列构成的等效物场可以和真实物体产生完全一样的像.
本题利用系统的传递函数，从频率域分析物象关系，先找出等效物的频谱，再通过傅立叶逆变换，求出等效物场的空间分布，这种频域分析方法是傅立叶光学问题的基本分析方法。
第二章习题解答
2.1 一列波长为的单位振幅平面光波，波矢量与轴的夹角为，与轴夹角为，试写出其空间频率及平面上的复振幅表达式。
答： , ,
2.2 尺寸为a×b的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠屏后的平面上的透射光场的角谱。
答： ， ，
2.3 波长为的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一个足够大的模板，其振幅透过率为，求紧靠孔径透射场的角谱。
答:：
2.4 参看图2.13，边长为的正方形孔径内再放置一个边长为的正方形掩模，其中心落在点。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求出与它相距为的观察平面上夫琅和费衍射图样的光场分布。画出时，孔径频谱在方向上的截面图。
图题
答：
2.5 图2-14所示的孔径由两个相同的矩形组成，它们的宽度为，长度为，中心相距为。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求与它相距为的观察平面上夫琅和费衍射图样的强度分布。假定及，画出沿和方向上强度分布的截面图。如果对其中一个矩形引入位相差，上述结果有何变化？
图 题（1）
答：如图所示，双缝的振幅透射率是两个中心在及的矩形孔径振幅透射率之和：
（1）
由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场
，
透射光场
（2）
由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z的观察平面上得到夫琅和费衍射图样，它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式（频率坐标），即
（3）
利用傅立叶变换的相移定理，得到
把它带入（3）式，则有
强度分布
不难看出，这一强度分布是矩孔径衍射图样和双光束干涉图样相互调制的结果。
双缝的振幅透射率也可以写成下述形式：
（4）
它和（1）式本质上是相同的。由（4）式可以利用卷积定理直接求出其傅立叶变换式，导出与上述同样的结果。代入所给条件b=4a,d=
沿x轴，此时
中心光强：I(0,0)=8a2
极小值位置为：
方向上强度分布的截面图示意如下：
图 题（2）
沿y轴：
此时，故
中心光强：I(0,0)=8a2
极小值位置：
方向上强度分布的截面图示意如下：
图 题（3）
由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场
，
透射光场,b=4a,d=时
（2）
由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z的观察平面上得到夫琅和费衍射图样，它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式（频率坐标），即
（3）
利用傅立叶变换的相移定理，得到
把它带入（3）式，则有
强度分布
2.6 图2-14所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可用阶跃函数表示为。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为的观察平面上夫琅和费衍射图样的复振幅分布。画出在方向上的振幅分布曲线。
图 题
答：
振幅分布曲线图从略。
2.7 在夫琅和费衍射中，只要孔径上的场没有相位变化，试证明：（1）不论孔径的形状如何，夫琅和费衍射图样都有一个对称中心。（2）若孔径对于某一条直线是对称的，则衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。
证明：（1）在孔径上的场没有相位变化时，衍射孔径上的光分布是一个实函数，其傅里叶变换是厄米型函数，即：
因此，所以夫琅和费衍射图样有一个对称中心。
（2）孔径对于某一条直线是对称时，以该直线为轴建立坐标系。有：
因此
同时
所以
可见衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。
2.8 试证明如下列阵定理：假设在衍射屏上有个形状和方位都相同的全等形开孔，在每一个开孔内取一个相对开孔来讲方位一样的点代表孔的位置，那末该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是下列两个因子的乘积：（1）置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射（该衍射屏的原点处不一定有开孔）；（2）个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉。
证明：假设置于原点的一个孔径表示为，个处于代表孔位置的点上的点光源表示为，则衍射屏的透过率可表示为
，
其傅里叶变换可表示为
，
该式右边第一项对应于置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射，第二项对应于个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉，因此该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是这两个因子的乘积。
2.9 一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数
（1） 这个屏的作用在什么方面像一个透镜？
（2） 给出此屏的焦距表达式。
（3） 什么特性会严重的限制这种屏用做成像装置（特别是对于彩色物体）？
答：（1）解
衍射屏的复振幅投射率如图所示，也可以把它表示为直角坐标的形式：
（1）
（1）式大括号中第一项仅仅是使直接透射光振幅衰减，其他两项指数项与透镜位相变换因子比较，可见形式相同。当平面波垂直照射时，这两项的作用是分别产生会聚球面波和发散球面波。因此在成像性质和傅立叶变换性质上该衍射屏都有些类似与透镜，因子表明该屏具有半径为的圆形孔径。
（2）解
把衍射屏复振幅透射率中的复指数项与透镜位相变换因子相比较，得到相应的焦距，对于项，令，则有
焦距为正，其作用相当于会聚透镜，对于项，令，则有
焦距为负，其作用相当于发散透镜，对于“”这一项来说，平行光波直接透过，仅振幅衰减，可看作是
（3）解
由于该衍射屏有三重焦距，用作成像装置时，对同一物体它可以形成三个像，例如对于无穷远的点光源，分别在屏两侧对称位置形成实像和虚像，另一个像在无穷远（直接透射光）（参看图4.12）。当观察者观察其中一个像时，同时会看到另外的离焦像，无法分离开。如用接收屏接收，在任何一个像面上都会有其它的离焦像形成的背景干扰。除此以外，对于多色物体来说，严重的色差也是一个重要的限制。因为焦距都与波长成反比。例如取，，则有
这样大的色差是无法用作成像装置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到严重的色散现象。
这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图，即伽柏全息图。
2.10 用波长为的平面光波垂直照明半径为的衍射孔，若观察范围是与衍射孔共轴，半径为的圆域，试求菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的范围。
答：由式5)及式(2-57)有菲涅耳衍射和夫琅和费衍射分别要求
即
2.11 单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布。
答：圆形孔径的透过率可表示为
根据式(2.53)有
轴上的振幅分布为
轴上的强度分布为
2.12 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为
式中，为光栅周期，，。观察平面与光栅相距。当分别取下列各数值：（1）；（2）；（3）（式中称作泰伯距离）时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。
答：根据式(2.31)单色平面波垂直照明下余弦型振幅光栅的复振幅分布为
强度分布为
角谱为
传播距离后，根据式(2.40)得到角谱
利用二项式近似有
故
（1）时
与仅相差一个常数位相因子，因而观察平面上产生的强度分布与单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布完全相同。
（2）时
对应复振幅分布为
因而观察平面上产生的强度分布为平移半个周期的单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布。
（3）
对应复振幅分布为
强度分布为
2.13 图6所示为透射式锯齿型位相光栅。其折射率为，齿宽为，齿形角为，光栅整体孔径为边长的正方形。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求距离光栅为的观察平面上夫琅和费衍射图样的强度分布。若让衍射图样中的某个一级谱幅值最大，应如何选择？
图6（ 题）
答：在如图的透射式锯齿型位相光栅中，单位振幅的单色平面波由光栅的背后平面入射垂直照明，则在齿顶平面形成的光波复振幅分布可表示为
其角谱为
若让衍射图样中的m级谱幅值最大，应选择使得
因而有
2.14 设为矩形函数，试编写程序求，，时，其分数阶傅里叶变换，并绘制出相应的曲线。
答：根据分数阶傅里叶变换定义式(2.62)
以及式
(2.79)
即可编程计算，，时的分数阶傅里叶变换（此处略）。
第三章 习题解答
3.1 参看图，在推导相干成像系统点扩散函数（）式时，对于积分号前的相位因子
试问
（1） 物平面上半径多大时，相位因子
相对于它在原点之值正好改变π弧度？
（2） 设光瞳函数是一个半径为a的圆，那么在物平面上相应h的第一个零点的半径是多少？
（3） 由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a，λ和do之间存在什么关系时可以弃去相位因子
解：（1）由于原点的相位为零，于是与原点位相位差为的条件是，
（2）根据（）式，相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点
式中，而
（1）
在点扩散函数的第一个零点处，，此时应有，即
（2）
将（2）式代入（1）式，并注意观察点在原点，于是得
（3）
（3）根据线性系统理论，像面上原点处的场分布，必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的贡献。按照上面的分析，如果略去h第一个零点以外的影响，即只考虑h的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子变化不大，就可认为（）式的近似成立，而将它弃去，假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度（例如）就满足以上要求，则，，也即
（4）
例如，，则光瞳半径，显然这一条件是极易满足的。
3.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为
放在图所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在x0z平面内，与z轴夹角为θ。透镜焦距为f，孔径为D。
（1） 求物体透射光场的频谱；
（2） 使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？求此时像面强度分布；
(3) 若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与θ=0时的截止频率比较，结论如何？
解：（1）斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为，为确定起见设，则物平面上的透射光场为
其频谱为
由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿轴整体平移了距离。
（2）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统，系统的截止频率，于是要求
，
由此得
（1）
角的最大值为
（2）
此时像面上的复振幅分布和强度分布为
（3）照明光束的倾角取最大值时，由（1）式和（2）式可得
即
或 （3）
时，系统的截止频率为，因此光栅的最大频率
（4）
比较（3）和（4）式可知，当采用倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。
光学传递函数在fx= fy =0处都等于1，这是为什么？光学传递函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？
（1）在（）式中，令
为归一化强度点扩散函数，因此（）式可写成
而
即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上，这便是归一化点扩散函数的意义
（2）不能大于1
（3）对于理想成像，归一化点扩散函数是函数，其频谱为常数1，即系统对任何频率的传递都是无损的。
当非相干成像系统的点扩散函数hI（xi，yi）成点对称时，则其光学传递函数是实函数。
解：由于是实函数并且是中心对称的，即有，，应用光学传递函数的定义式（）易于证明，即为实函数。
3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a，出瞳到像面的距离为di，光波长为λ，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多大？
解：用公式（）来分析。首先，由于出瞳上的小圆孔是随机排列的，因此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积，其结果都一样，即系统的截止频率在任何方向上均相同。其次，作为近似估计，只考虑每个小孔自身的重叠情况，而不计及和其它小孔的重叠，这时N个小孔的重叠面积除以N个小孔的总面积，其结果与单个小孔的重叠情况是一样的，即截止频率约为，由于很小，所以系统实现了低通滤波。
3.6 试用场的观点证明在物的共轭面上得到物体的像
解：如图
设是透过率函数为的物平面，是与共轭的像平面，即有
式中f 为透镜的焦距，设透镜无像差，成像过程分两步进行：
（1） 射到物面上的平面波在物体上发生衍射，结果形成入射到透镜上的光场；
（2） 这个入射到透镜上的光场经透镜作位相变换后，在透镜的后表面上形成衍射场，这个场传到像面上形成物体的像。
为了计算光场，我们用菲涅耳近似，透镜前表面的场为
这里假定只在物体孔径之内不为零，所以积分限变为，此积分可以看成是函数的傅立叶变换，记为，其中
在紧靠透镜后表面处
这个被透镜孔径所限制的场，在孔径上发生衍射，在用菲涅耳近似，便可得到像面上的光场
由题设知， 并且假定透镜孔径外的场等于零，且忽略透镜孔径的限制，所以将上式中的积分限写成无穷，于是上述积分为
注意 于是得
再考虑到和之间的关系得到
即得到像平面上倒立的，放大倍的像。
3.7 试写出平移模糊系统，大气扰动系统的传递函数。
解：在照相系统的曝光期间，因线性平移使点变成小线段而造成图像模糊，这种系统称为平移模糊系统，它的线扩散函数为一矩形函数
其传递函数为
对于大气扰动系统，设目标物为一细线，若没有大气扰动，则理想成像为一条细线。由于大气扰动，使在爆光期间内细线的像作随机晃动，按照概率理论，可以把晃动的线像用高斯函数描述。设晃动摆幅的均方根值为a，细线的线扩散函数为
对上式作傅立叶变换，就得到大气扰动系统的传递函数
3.8 有一光楔（即薄楔形棱镜），其折射率为n，顶角α很小，当一束傍轴平行光入射其上时，出射光仍为平行光，只是光束方向向底边偏转了一角度（n-1）α，试根据这一事实，导出光束的位相变换函数t。
(x,y)
θ
δ=-(n-1)α
解：如图所示，
设入射平行光与Z轴成θ角入射，按傍轴条件，θ角很小，入射到光楔上的光场为
通过光楔后的出射光场为
其中 –(n-1)α表示偏转是顺时针方向，即向底边偏转，又根据出射光场，入射光场和光楔变换函数三者的关系 有
于是有 。
第五章习题解答
5．1两束夹角为 q = 450的平面波在记录平面上产生干涉，已知光波波长为632.8nm，求对称情况下（两平面波的入射角相等）该平面上记录的全息光栅的空间频率。
答：已知：q = 450，λ= 632.8nm，根据平面波相干原理，干涉条纹的空间分布满足关系式
2 d sin（q/2）= λ
其中d 是干涉条纹间隔。由于两平面波相对于全息干板是对称入射的，故记录
在干板上的全息光栅空间频率为
fx = （1/d）= （1/λ）·2 sin（q/2）= 1209.5l/mm
故全息光栅的空间频率为1209.5l/mm。
5．2 如图5.33所示，点光源A（0，-40，-150）和B（0，30，-100）发出的球面波在记录平面上产生干涉：
x
A O z
y
B
图5.33 （5.2题图）
（1） 写出两个球面波在记录平面上复振幅分布的表达式；
答：设：点源A、B发出的球面波在记录平面上的复振幅分布分别为UA和UB，
则有
其中: xA = xB = 0, yA = -40, zA = -150, yB = 30, zB = -100;
aA、aB分别是球面波的振幅；k为波数。
（2） 写出干涉条纹强度分布的表达式；
I= |UA+UB|2 = UA·UA*+ UB·UB*+UA*·UB+ UA·UB*
（3）设全息干板的尺寸为100 ×100mm2，l = 632.8nm，求全息图上最高和最低空间频率；说明这对记录介质的分辨率有何要求？
解答：设全息干板对于坐标轴是对称的，设点源A与点源B到达干板的光线的最大和最小夹角分别为θmax和θmin，A、B发出的到达干板两个边缘的光线与干板的夹角分别为θA、θB、θA’和θB’，如图所示，它们的关系为
θA
A θmaxθB
0 z
B θA’
θB’
θmin y
θA = tg-1[zA/（-yA - 50）] ，θB = tg-1[zB/（-yB - 50）]
θA’= tg-1[zA/（yA - 50）] ，θB ’= tg-1[zB/（yB - 50）]
θmax=θA -θB ， θmin=θB ’-θA’
根据全息光栅记录原理，全息图上所记录的
最高空间频率 fmax= （2/l）sin（θmax/2）·cos α1
最低空间频率 fmin= （2/l）sin（θmin/2）·cos α2
其中α角表示全息干板相对于对称记录情况的偏离角，由几何关系可知
cos α1 = sin（θA +θB）/2 ， cos α2 = sin（θA’+θB’）/2
将数据代入公式得 fmax= 882 l/mm ，fmin= 503 l/mm
故全息图的空间频率最高为882 l/mm，最低为503 l/mm，要求记录介质的分辨率不得低于900 l/mm。
5.3 请依据全息照相原理说明一个漫反射物体的菲涅耳全息图。
（1）为什么不能用白光再现？试证明如图5.7所记录和再现的菲涅耳全息图的线模糊和色模糊的表达式（5.26）和（5.28）；
（2）为什么全息图的碎片仍能再现出物体完整的像？碎片尺寸的大小对再现像质量有哪些影响？
（3）由全息图再现的三维立体像与普通立体电影看到的立体像有何本质区别？
答：（1）首先证明（5.26）式，当。即记录光与再现光波长相同时，（5.21）式变为：
当再现光源没有展宽，即，一个点光源的像的展宽，与参考光源的展宽，成正比，即：
同样，当参考光源没有展宽，再现光源的展宽也与像的展宽成正比
参考光源与再现光源同时存在微小展宽其最后结果展宽是两者之和为：
此即式（5.26）。对于色模糊，由图5.8可以看出：
色散角与波长成一定函数关系，由于波长范围产生的色散角为：
因而有
该式即为书上（5.27）式，根据书上P132以后分析即可证明（5.28）式。
（2）由于全息图上每一点都记录了物体上所有点发出的波的全部信息，故每一点都可以在再现光照射下再现出像的整体，因而全息图的碎片仍能再现出物体完整的像。不过对再现像有贡献的点越多，像的亮度越高。每个点都在不同角度再现像，因而点越多，再现像的孔径角也越大，像的分辨率越高，这就是碎片大小对再现像质量的两个方面影响。
5．4 用波长 l0= 632.8nm 记录的全息图，然后用 l= 488.0nm的光波再现，试问：
（1）若lo = 10cm，lc = lr= ∞，像距li =？
解：根据菲涅耳全息图物像距关系式（5．21C），像距li由下式确定
原始像：
共轭像：
其中 µ = l / l0 ， 将lc = lr= ∞代入得
原始像距为
共轭像距为
（2）若lo = 10cm，lr=20cm，lC = ∞，li =？；
解：同理,原始像距为 ≈26 cm
共轭像距为 lI ≈ - 26 cm
（3）第二种情况中，若lC改为lC =-50cm，li =？；
解：同理,原始像距为 lI≈54 cm
共轭像距为 lI ≈ - 17 cm
（4）若再现波长与记录波长相同，求以上三种情况像的放大率M = ？
解：当l = l0 时µ = 1 ，由成像放大率公式（5．25）可知
上述三种情况的放大率分别为
（1）M = 1 ； （2）M = 2； （3）M = 3．3
5．5 如图5.34所示，用一束平面波R和会聚球面波A相干，记录的全息图称为同轴全息透镜（HL），通常将其焦距f定义为会聚球面波点源A的距离zA。
R A z
HL
图5.34 （5.5题图）
（1）试依据菲涅耳全息图的物像关系公式（5.21）—（5.22），证明该全息透镜的成像公式为
式中di为像距，d0为物距，f为焦距，m = l / l0（l0为记录波长，l为再现波长），等号右边的正号表示正透镜，负号表示它同时又具有负透镜的功能。
证明：根据菲涅耳全息图的物像关系公式（5.21c）和（5.22c）有
根据题意，已知 di = li，d0 = lc，lr = ∞；焦距f是指当 l = l0时平行光入射得到的会聚点的距离，即当lc=∞，m =1时的像距li，此时li = f （= zA）。
根据公式可得
于是有 f = +lo （=zA）
故：左边==右边
证明完毕。
（2）若已知zA= 20cm，l0 = 632.8nm，物距为d0 = -10cm，物高为hO= 2mm，物波长为 l = 488.0nm，问：能得到几个像？求出它们的位置和大小，并说明其虚、实和正、倒。
解：由已经证明了的全息透镜成像公式可得
根据题意有f = zA= 20cm，m = l/ l0 = 488.0nm / 632.8nm，d0 = -10cm，代入上式
-16．3 cm原始像
得 di =
-7．2 cm 共轭像
根据放大率公式（5．25）
由本题关系可知，上式中z0 = lo = f = 20cm，zr = lr = ∞，zc = lc = d0 =-10cm，代入上式得 0．6 原始像高h= M·h0 = 1．20cm
=
0．28 共轭像高h= M·h0 = 0．56cm
故能得到两个像，原始像位于 -16．3cm处，正立虚像，像高1．20cm；共轭像位于 -7．2cm处，正立虚像，像高0．56cm。
5．6 用图5.33光路制作一个全息透镜，记录波长为l0 = 488.0nm，zA= 20cm，然后用白光平面波再现，显然由于色散效应，不同波长的焦点将不再重合。请计算对应波长分别为l1= 400.0nm、l2 = 500.0nm、l3 = 600.0nm的透镜焦距。
答：由（5．23）式可知
于是有
其中lO =zA =20cm，lc =lr =∞，µ1 =l1 /l0，µ2 =l2 /l0，µ3 =l3 / l0，
代入数据得
f1’= 24．4cm； f2’= 19．5cm； f3’= 16．3cm
故对应3个波长的焦距分别为24．4cm，19．5cm和16．3cm。
5．7 用图5.35所示光路记录和再现傅里叶变换全息图。透镜L1和L2的焦距分别为f1 和f2，参考光角度为q ，求再现像的位置和全息成像的放大倍率。
O L1 qH H L2 P
f1 f1 f2 f2
图5.35 （5.7题图）
答：根据傅里叶变换全息图再现原理，由公式（5．33）可知，再现像对称分布于零级两侧，且倾角分别为：+q，由几何关系可知：
+ sin q= xp / f2所以：xp = + f2 sin q
即原始像和共轭像分别位于xp = f2 sin q和xp = - f2 sin q处（注：输出平面坐标已作反转处理）。
全息成像的放大倍率为。
根据布拉格条件式（5.61），试解释为什么当体全息图乳胶收缩时，再现像波长会发生“蓝移”现象；当乳胶膨胀时，又会发生“红移”现象。
答：根据布拉格条件式，当体全息图乳胶收缩时，条纹间隔变小，即减小时，由于记录或再现时夹角不变，因此减小时也减小，再现像的波长随之减小，发生“蓝移”。
相反，当乳胶膨胀时增大，再现像的波长增大，发生“红移”。
5.9 说明在用迂回相位法制作计算全息图时，为什么可用长方形孔的中心离轴样点的距离来表征物函数的相位值，应满足怎样的条件才能保证这一表征的实施。
答：
图 5.9题（1）
图 5.9题（2）
如图1所示，迂回相位编码的基本思想是，在全息图的每个抽样单元中，放置一个通光孔径，通过改变通光孔径的面积来实现光波场的振幅调制，而通过改变通光孔径中心距抽样单元中心的位置来实现光场相位编码。而这个思想是从光栅中得到启发的。
如图2所示，当用一束平面波垂直照明一栅距d恒定的平面光栅时，产生的各级衍射光仍为平面波，等相位面为垂直于相应衍射方向的平面。根据光栅方程，光栅的任意两条相邻狭缝在第K级衍射方向的光程差为
是等相位的。如果某一点的狭缝位置有偏差，如栅距增大，则该处在第K级衍射方向的衍射光的光程差变为，从而导致一附加相移：
因此，光栅中栅距的变化量和相位成正比。
5.10 试说明为什么光刻胶只能用来记录透射体全息图，而不能用来记录反射体全息图，重铬酸明胶和光致聚合物可以记录反射体全息图吗？请分别说明理由。
答：在进行反射体全息记录时，物光和参考光从介质的两侧相向射入，介质内干涉面几乎与介质面平行。而光刻胶曝光机理是，曝光部分比未曝光波分溶解速率快，显影时曝光区被迅速溶解，产生浮雕型的干涉条纹，只能记录与干涉面几乎与介质面垂直的干涉条纹。因此光刻胶只能用来记录透射体全息图，不能用来记录反射体全息图
重铬酸明胶和光致聚合物的记录原理是产生折射率的变化，折射率的变化是可以记录在体积内的，因此重铬酸明胶和光致聚合物可以记录反射体全息图。
第八章 习 题解答
8．1利用4f系统做阿贝—波特实验，设物函数t（x1，y1）为一无限大正交光栅
其中a1、a2分别为x、y方向上缝的宽度，b1、b2则是相应的缝间隔。频谱面上得到如图8-53（a）所示的频谱。分别用图8-53（b）（c）（d）所示的三种滤波器进行滤波，求输出面上的光强分布（图中阴影区表示不透明屏）。
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
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. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .
（a） （b） （c） （d）
图（题8.1 图）
答：根据傅里叶变换原理和性质，频谱函数为
T(fx,fy) = ℱ[t ( x1 , y1 )]
= { ℱ []·ℱ [] } *{ℱ [·ℱ []}
将函数展开得
T(fx,fy) =
*
（1） 用滤波器（b）时，其透过率函数可写为
滤波后的光振幅函数为
T·F =
输出平面光振幅函数为
t’（x3，y3）= ℱ-1[ T·F ]
=
=
输出强度分布为
I（x3，y3）=
= - C
其中C是一个常数，输出平面上得到的是频率增加一倍的余弦光栅。
（2）用滤波器（c）时，其透过率函数可写为
滤波后的光振幅函数为
T·F =
*
输出平面光振幅函数为
t’（x3，y3）= ℱ-1[ T·F ]
= {* - }
× {* - }
输出强度分布为
有两种可能的结果，见课本中图8．9和图8．10。
（3）用滤波器（d）时，输出平面将得到余弦光栅结构的强度分布，方向与滤波狭缝方向垂直，周期为b’，它与物光栅周期b1、b2的关系为
8．2 采用图8-53（b）所示滤波器对光栅频谱进行滤波，可以改变光栅的空间频率，若光栅线密度为100线/mm，滤波器仅允许 + 2级频谱透过，求输出面上干板记录到的光栅的线密度。
答：根据对8．1题的分析，当滤波器仅允许+ 2级频谱通过时，输出平面上的光振幅应表达为
t’（x3）= ℱ-1{}
=
其振幅分布为一周期函数，空间频率是基频的2倍。而干板记录到的是强度分布：
I =
= - C
其中C是一个常数。
故干板上记录到的光栅频率是基频的4倍，即400线/mm。
8．3 在4f系统中，输入物是一个无限大的矩形光栅，设光栅常数d = 4，线宽a =1，最大透过率为1，如不考虑透镜有限尺寸的影响，
（a）写出傅里叶平面
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