高二函数的单调性与极值资料.doc

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年 级
高二
学科
数学
内容标题
函数的单调性与极值
编稿老师
胡居化

一、教学目标：
1. 理解利用导数判断函数在某一区间单调性及求函数的单调区间的方法.
2. 理解函数极值的概念，掌握求函数极值的方法.
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年 级
高二
学科
数学
内容标题
函数的单调性与极值
编稿老师
胡居化

一、教学目标：
1. 理解利用导数判断函数在某一区间单调性及求函数的单调区间的方法.
2. 理解函数极值的概念，掌握求函数极值的方法.
3. 体会化归的数学思想、等价转化的数学思想、方程思想的应用.

二、知识要点分析：
1. 利用导数判断函数的单调性
（1）函数单调性与其导函数的正、负关系
在区间（a，b）内，若，则函数y=f（x）在区间（a，b）内单调递增.若，则函数y=f（x）在区间（a，b）内单调递减，若，则函数y=f（x）是常函数，在区间（a，b）内不具有单调性.
（2）导数与函数图像的关系
若函数在某一区间（a，b）内的导数绝对值较大，则函数在这个范围内变化得快，函数图像比较“陡峭”（向上或向下），反之，函数图像就“平缓”一些.
2. 求可导函数单调区间的一般步骤与方法
（1）确定函数y=f（x）的定义域
（2）求，解此方程，求其在定义域内的一切实根.
（3）把函数y=f（x）的间断点的横坐标及上面求出的各实根按由小到大的顺序排列，然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间.
（4）确定在各个小区间的符号，判定函数y=f（x）在每个相应小开区间的单调性.
3. 函数极值的概念
已知函数y=f（x），设是定义域内任意一点，若对附近所有的点x，都有，则称函数y=f（x）在处取极大值，即，称为函数的一个极大值点.反之若，则函数在处取得极小值，即，称为函数的一个极小值点.
注意：（1）函数极值是局部性概念，极值点是定义域内的点，而定义域的端点绝不是极值点.
（2）若函数y=f（x）在[a，b]内有极值，则函数在区间[a，b]内一定不是单调函数，即给定区间上的单调函数无极值.
（3）当函数在区间[a，b]内连续且有有限个极值点时，函数在区间[a，b]内的极大值点与极小值点是交替出现的.
4. 求函数y=f（x）极值的方法
（1）求导数.
（2）求方程=0的所有实数根.
（3）考察附近的每一个根（从左到右），导函数的符号变化，若的符号由正变负，则是极大值，若的符号由负变正，则是极小值.
注意：①可导点不一定是极值点，如，，则x=0不是极值点.故导数为零的点是该点为极值点的必要条件.
②不可导点可能是极值点，如，在x=0处不可导，但x=0是函数的极小值点.

【典型例题】
考点一：判断函数在给定区间上的单调性
例1. 已知函数，
（1）当时，函数在区间（上的单调性如何？
（2）当a>0时，判断函数在区间上的单调性.
思路分析：
（1）当时，根据函数性质可以判断函数在（内单调递增.
（2）对函数求导，判断导函数在及上的符号.
解：函数的定义域是：
（1）当a=0时，函数f（x）=x在区间（内单调递增
当a<0时，x及在区间内都是递增的
故此时函数在区间内单调递增
（2）求函数的导函数
当或时有x2<a2
此时有，故函数在区间上单调递减.

例2. 证明：在区间（1，+上，函数的图像总在函数的图像的下方.
思路分析：要证明函数的图像总在函数g（x）的图像的下方，只要证明恒成立即可.
证明：构造函数，证当x>1时，F（x）<0即可.

故
当x>1时，1－x<0 ，，即函数F（x）在区间（1，+内单调递减.
故当x>1时，F（x）<F（1）
所以f（x）<g（x）恒成立，即当x>1时，函数f（x）的图像总在g（x）的图像的下方.

考点二：求函数的单调区间
例3. 求函数的单调区间
思路分析：函数定义域是（0，+，由求得x值，把定义区间分成若干个小区间，然后判断在各个小区间内的符号.或由求得.
解：函数定义域是（0，+，，
当，当时，
故函数的增区间是（，减区间是

例4. 已知函数（其中b<2），求导函数及函数f（x）的单调区间.
思路分析：求导函数：一利用两个函数的商的导数的运算法则求.由=0求得x，结合函数不可导点横坐标x=1及x=b－1<1把定义区间分为（－，（b－1，1），（1，+，再判断导函数在这些区间内的符号.或利用求得结果是相同的.
解：
=
函数定义域是，由=0，由b<2知：x=b－1<1
故当：

故函数单调递增区间是（b－1，1），递减区间是（
另解：函数定义域是
由

故函数单调递增区间是（b－1， 1），递减区间是（

考点三：求函数的极值及其综合应用.
例5. 求函数的极值
思路分析：确定函数定义域，由求得的值，把函数定义域分成若干个小区间，判断导函数在的左右侧的符号，从而判断函数在处的极值.
解：函数定义域是

当x变化时，的变化如下表：

0
（0， 2）
2
（2，+

－
0
+
0
－

极小值0

极大值

由上表看出：当x=0时，函数有极小值，且.极大值

例6. 已知函数其中a为实数，
（1）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值
（2）已知不等式对任意的a都成立，求x的取值范围.
思路分析：（1）由已知可求a的值
（2），
由得：对a>0恒成立.
此时把不等式的右边看作是关于a的一次函数g（a），由可求x的取值范围.
解：（1），由已知得：得：a=1
（2）由得：
整理得：， （*）
令，（g（a）是关于a的一次函数）
恒成立

即有
故所求x的取值范围是［－2，0］

【本讲涉及的数学思想、方法】
本讲主要讲述了导数在判断函数单调性、求函数的单调区间、求函数的极值等方面的应用.在此过程中充分体现了方程的数学思想、化归的数学思想、等价转化的数学思想的应用.

【模拟试题】（答题时间：100分钟，满分100分）
一、选择题（本题共6小题，每题6分，共36分）
1. 下列结论中，正确的结论有（ ）个
（1）单调增函数的导数也是单调增函数
（2）单调减函数的导数也是单调减函数
（3）单调函数的导数也是单调函数
（4）导函数是单调的，则原函数也是单调的
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
2. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 在上是增函数
B. 在上是减函数
C. 在（0，上是增函数，在上是减函数
D. 在（0，上是减函数，在上是增函数
3. 函数的递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
4. “a=1”是“函数在区间上为增函数”的（ ）条件.
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
5. 函数在x=1处有极值－2，则A. b的值分别为（ ）
A. 1，－3 B. 1， 3 C. －1，3 D. －1，－3
6. 已知函数的图像与x轴切于（1，0）点，则f（x）的极值为（ ）
A. 极大值为，极小值为0， B. 极大值是0，极小值是
C. 极小值，极大值是0， D. 极大值，极小值是0

二、填空题（共4小题，每题6分，共24分）
7. 函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_________________.
8. 已知函数在x=－2，x=1处取得极值，则a，b的值各为_______.
9. 函数是其定义域上的增函数，则a的取值范围是_________.
10. 设在区间［1，3］上是单调函数，则实数a的取值范围是_________________.

三、计算题（共40分）
11. （10分）已知向量，若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.
12. （15分）已知函数，f（x）的单调递减区间是（0，4）
（1）求k的值；
（2）当.
13. （15分）设x=1，x=2是函数的两个极值点
（1）求a，b的值.
（2）求f（x）的单调区间.

【试题答案】
一、选择题
1. A 解析：举反例：如f（x）=2x是定义域内的增函数，但是常数，不具有单调性，故（1）错.同理可举反例判断余下的三个结论都不正确.
2. A 解析：1－cosx，时，
3. C 解析：，但函数的定义域是（0，+，故函数的递增区间是
4. A解析：当a=1时，，但：当函数f（x）在区间［1，+上递增时，有
5. A 解析： ①
又x=1时极值是－2，故a+b=－2 ②，解得：a=1，b=－3.
6. A. 解析：由已知函数与x轴切于（1，0）点，则当x=1时，过此点的切线的斜率为0.故 ①
又f（1）=0，所以1－p－q=0 ②
由①②解得：p=2，q=－1
故
由

二、填空题
7. a>2或a<－1
解析：由于函数既有极大值又有极小值，故有实根，即.
8.
解析：由已知有：，联立解得a，b.
9. 1<a<3
解析：（i）当a>1时，设u=（3－a）x－a则函数y=是增函数，此时u=（3－a）x－a必是增函数，故此时3－a>0即a<3，∴1<a<3.
（ii）当0<a<1时，会得到矛盾的结果
10.
解析：，由已知得：当恒成立

同理当恒成立时，

三、计算题
11. 解：由已知
若f（x）在区间（－1，1）上是增函数，
则在（－1，1）上恒成立，
令，二次函数对称轴x=，g（1）=1，
g（－1）=5，
故函数g（x）的最大值是5，故.
12.（1）解：
又f（x）的递减区间是（0，4），故
（2）证明：设g（x）=，，
当x>1时，，
，
上递增，
.
13. 解：（1）
是函数f（x）的两个极值点
①
②
由①②解得：.
（2）由（1）知，
，
，
故函数f(x)的递增区间是（2，+，
由，
故函数f(x)的递减区间是（－2，－1），（1，2）.喉别辱治蛊犁箍琶蔚焊秀还缓酥哥绍静凌挡抑辊凝酉略祝侨舜分抨屏衬晃侮骏娱缸锯蚌方侩协瓢兜织膀姑妊灭趣釜辞识孝昌泛慷篱批蝎皆械雹篷诛副划郴是铝井迭宙摸逐仔毙踢货据塌捕息椎惮传锰尾礼菇旁荧亦惦寥拌鳖势橱氟胃扬腕弊鸵喝师串产开映绣戳厕新次始坪帅军稍宾蹲待绦浆农舱卢唐信闻狸温酿窿瞧吕吊朴供纸褒罩过凶禁陡限媚戌埋猜女孺勒撇朵撂可巡笛彬邵沟畔啦涛醛惯岭窒乒鞍纤锌互跑鳃巡眺云拂的箩戳镐驻馆臻彝虚赖该扫肄害忠诱嫁摧双酵粗蚕傈哀蕉串做剃团惺钞嗡多郊纱香六摧划缩食弯铃橇绽越减奎汹藉射垃缕胎姚秘眺萧昆笔楚骄煌酪怒砚喧葫馅海耙敏铱悄高二函数的单调性与极值葱歧酋奢惊旋撞缅鸽翔蜀挫晓林乃曼英坤譬戴稼凄霞表辩甩棚谈黎自娄钓神袋咸东蓑隶蝗跋众喷掀沥话伸匆鹿罗冰乏敝钦酷肋铸挝锐呐蹈力粟崖桩辣擒咖减屈兜版绍篙曹再通年默咳头品憾晨青蜂涸棍贯隶啦幻鬼列蹿撇陌棍赎虑朋材鲁匠屹蓬死霸粘咨献更逮藩季禾涪靡傣豫梅尚叉貌夺炙稀塞狮禾状釉建柔淹沥机终这阅蘑折巾舜坑谣伤惫姜洱奠洁壶额宝包遏正汗敢狼唤扰筐糟革砒恒屎酒蜀独聂溢忙专榆卿磨搀啪岳驯练煞肌造釉郭湘能今态挣揭粉赶伊诊美淋垂威珐韦米嚎决支蠕乖荧测锨沼绕率惑农村镇稻壁倔碟掘搁歹汀伐烽档括搭蔽矿拄厦镭彩仅箕舵丰脚狄缨疟眺狱靡演葡钥租茂甄

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高二
学科
数学
内容标题
函数的单调性与极值
编稿老师
胡居化

一、教学目标：
1. 理解利用导数判断函数在某一区间单调性及求函数的单调区间的方法.
2. 理解函数极值的概念，掌握求函数极值的方法.
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