资源描述
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
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)
学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.
知识点一 平面向量数量积的物理背景及其定义
一个物体在力F的作用下产生位移s，如图.
思考1 如何计算这个力所做的功？
答案 W＝|F||s|cos θ.
思考2 力做功的大小与哪些量有关？
答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.
梳理
条件
非零向量a与b，a与b的夹角为θ
结论
数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)
记法
向量a与b的数量积记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ
规定
零向量与任一向量的数量积为0
知识点二 平面向量数量积的几何意义
思考1 什么叫做向量b在向量a上的投影？什么叫做向量a在向量b上的投影？
答案 如图所示，＝a，＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos θ.
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影.
思考2 向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影相同吗？
答案 由投影的定义知，二者不一定相同.
梳理 (1)条件：向量a与b的夹角为θ.
(2)投影：
向量b在a方向上的投影
|b|cos θ
向量a在b方向上的投影
|a|cos θ
(3)a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.
知识点三 平面向量数量积的性质
思考1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？
答案 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量.
思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？
答案 由两个非零向量的夹角决定.
当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数.
当θ＝90°时，非零向量的数量积为零.
当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数.
梳理 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，
(1)a⊥b⇔a·b＝0.
(2)当a∥b时，a·b＝
(3)a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
类型一 求两向量的数量积
例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.
解 (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0.
(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos 30°
＝4×5×＝10.
反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.
跟踪训练1 已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60° ，则·等于( )
A.－a2 B.－a2
C.a2 D.a2
答案 D
解析 如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.
∴·＝(＋)·
＝·＋2
＝a·a·cos 60°＋a2＝a2.
类型二 求向量的模
例2 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.
解 a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝.
|a＋b|＝＝
＝ ＝5.
|a－b|＝＝
＝ ＝5.
引申探究
若本例中条件不变，求|2a＋b|，|a－2b|.
解 a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝，
|2a＋b|＝＝
＝ ＝5.
|a－2b|＝＝
＝ ＝5.
反思与感悟 此类求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方.
跟踪训练2 已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值.
解 |3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2
＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，
∵|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25，
∴a·b＝25.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2
＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400，
故|3a＋b|＝20.
类型三 求向量的夹角
例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角.
解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝＝
＝ ＝，
|b|＝|2n－3m|＝
＝
＝ ＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2
＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.
反思与感悟 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π].
跟踪训练3 已知a·b＝－9，a在b方向上的投影为－3，b在a方向上的投影为－，求a与b的夹角θ.
解 ∵ ∴
即∴
∴cos θ＝＝＝－.
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
1.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的投影为( )
A.4 B.－4 C.2 D.－2
答案 D
解析 向量b在a方向上的投影为
|b|cos〈a，b〉＝4×cos 120°＝－2.
2.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于( )
A.1 B.2 C.3 D.5
答案 A
解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10， ①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6， ②
由①－②得4a·b＝4，
∴a·b＝1.
3.若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－c)2＝________.
答案 11
解析 (a＋2b－c)2＝a2＋4b2＋c2＋4a·b－2a·c－4b·c＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos 60°－4×2×3×cos 60°＝11.
4.在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·的值是________.
答案 －25
解析 易知||2＝||2＋||2，C＝90°.
∴cos B＝，
又cos 〈，〉＝cos(180°－B)，
∴·＝||||cos(180°－B)
＝13×5×＝－25.
5.已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；(3)·.
解 (1)∵与的夹角为60°.
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
(2)∵与的夹角为120°，
∴·＝||||cos 120°
＝1×1×＝－.
(3)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0，0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时).
2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.
3.a·b＝|a||b|cos θ中，|b|cos θ和|a|cos θ分别叫做b在a方向上的投影和a在b方向上的投影，要结合图形严格区分.
4.求投影有两种方法
(1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos θ.
(2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为.
5.两非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝.
课时作业
一、选择题
1.已知|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝，则|a－b|等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 因为|a＋b|2＝19，所以a2＋2a·b＋b2＝19，
所以2a·b＝19－4－9＝6，
于是|a－b|＝＝＝.
2.已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°，则a·b等于( )
A.－6 B.6 C.－6 D.6
答案 C
3.已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为( )
A.45° B.135° C.120° D.150°
答案 B
解析 ∵cos θ＝＝＝－，
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.
4.若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于( )
A.－3 B.－2 C.2 D.－1
答案 D
解析 向量a在向量b方向上的投影是|a|cos θ＝2×cos 120°＝－1.
5.已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是( )
A.|a|＝
B.|a·b|＝|a||b|
C.λ(a·b)＝λa·b
D.|a·b|≤|a||b|
答案 B
解析 因为|a·b|＝||a||b|cos θ|(θ为向量a与b的夹角)＝|a||b||cos θ|，
当且仅当θ＝0或π 时，使|a·b|＝|a||b|，故B错.
6.已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
A.[0，] B.[，π]
C.[，] D.[，π]
答案 B
解析 ∵Δ＝a2－4|a||b|cos θ(θ为向量a与b的夹角)，
若方程有实根，则有Δ≥0，即a2－4|a||b|cos θ≥0，
又|a|＝2|b|，
∴Δ＝4|b|2－8|b|2cos θ≥0，
∴cos θ≤，
又∵0≤θ≤π，
∴≤θ≤π.
7.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( )
A.－ B. C. D.
答案 B
解析 如图所示，∵＝＋
＝＋，
＝－，
∴·＝(＋)·(－)
＝－||2－·＋||2
＝－×1－×1×1×＋＝.
故选B.
8.在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是( )
A.矩形 B.菱形
C.直角梯形 D.等腰梯形
答案 B
二、填空题
9.设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.
答案 －
10.若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________.
答案 120°
11.已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，若向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________.
答案
解析 ∵|a|＝＝ ＝3，
|b|＝＝ ＝2，
∴a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e
＝9－9×1×1×＋2＝8，
∴cos β＝＝.
12.已知向量a在向量b方向上的投影是，|b|＝3，则a·b的值为________.
答案 2
解析 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|b||a|cos〈a，b〉
＝3×＝2.
13.已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是________.
答案 －25
解析 ∵||2＝||2＋||2，
∴∠B＝90°，∴·＝0.
∵cos C＝，cos A＝，
∴·＝||||cos (180°－C)
＝4×5×(－)＝－16.
·＝||||cos(180°－A)
＝5×3×(－)＝－9.
∴·＋·＋·＝－25.
三、解答题
14.已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算：
(1)(2a＋b)·(2a－b)；(2)|4a－2b|.
解 (1)(2a＋b)·(2a－b)＝(2a)2－b2
＝4|a|2－|b|2＝4×42－82＝0.
(2)∵|4a－2b|2＝(4a－2b)2
＝16a2－16a·b＋4b2
＝16×42－16×4×8×cos 60°＋4×82＝256.
∴|4a－2b|＝16.
四、探究与拓展
15.在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求：
(1)·；(2)在方向上的投影；(3)在方向上的投影.
解 ∵||＝5，||＝4，||＝3.
∴△ABC为直角三角形，且C＝90°.
∴cos A＝＝，cos B＝＝.
(1)·＝－·＝－5×4×＝－16.
(2)||·cos〈，〉＝＝＝.
(3)||·cos〈，〉＝＝
＝＝－4.
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