初中数学因式分解的几种经典技巧.doc

初中数学因式分解的几种经典方法
息县六中 陈岳
因式分解是初中一个重点，它牵涉到分式方程，一元二次方程，所以很有必要学会一些基本的因式分解的方法。下面列举了九种方法，希望对大家的学习能有所帮助。
【1】提取公因式
这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等
例一：-3x=0
解：x(2x-3)=0
=0,=3/2
这是一类利用因式分解的方程。

总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式
这对我们后面的学习有帮助。

【2】公式法
将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。
常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等
注意：使用公式法前，建议先提取公因式。

例二：-4分解因式
分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2
解：原式=(x+2)(x-2)

【3】十字相乘法
是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数的积，把常数项c分解成两个因数的积，并使正好是一次项b，那么可以直接写成结果
　例三： 把-7x+3分解因式.
　　分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
　　分解二次项系数(只取正因数)：
　　2＝1×2＝2×1；
　　分解常数项：
　　3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
　　1 1
　　 ╳
　　2 3
　　1×3+2×1 =5
　　1 3
　　 ╳
　　2 1
　　1×1+2×3 =7
　　1 -1
　　 ╳
　　2 -3
　　1×(-3)+2×(-1) =-5
　　1 -3
　　 ╳
　　2 -1
　　1×(-1)+2×(-3) =-7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.

解 原式=(x-3)(2x-1).

总结：对于二次三项式+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=，把，排列如下：

　　 ╳

　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式+bx+c的一次项系数b，即=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式x+c1与之积，即
　+bx+c=(x+)(x+).

这种方法要多实验，多做，多练。它可以包括前两者方法。

【4】分组分解法
也是比较常规的方法。
一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来
需要可持续性！

例四：
可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式
解：原式=
=(x+2+y)(x+2-y)

总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。

【5】换元法
整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上
例五：分解因式
考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用a代替x+y
那么原式=-2a+1
=
回代
原式=

【6】主元法
这种方法要难一些，多练即可
即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数

例六：
　　分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，而以x为主元的话，原式的难度就大大降低了。
　　原式=---------------------【主元法】
　　=---------------------【十字相乘法】

可见，十字相乘十分重要。

【7】双十字相乘法
难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如的二次六项式
　　在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k）

要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，
　　例七：分解因式
　　解：原式＝0×1×＋ab＋＋a－b－2
　　 ＝（0×a＋b＋1）（a＋b－2）
　　＝（b＋1）（a＋b－2）

【8】待定系数法
将式子看成方程，将方程的解代入
这时就要用到【1】中提到的知识点了
当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式

例八：+x-2
该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法
我们可以把它当方程做，+x-2=0
一眼看出，该方程有一根为x=1
那么必有一因式为(x-1)
结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2（因为乘-1要为-2）
一次项系数必为1（因为与1相乘要为1）
所以另一因式为（x+2）
分解为(x-1)(x+2)

【9】列竖式
让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。
要建立在待定系数法的方程法上
不足的项要用0补
除的时候，一定要让第一项抵消

例九：分解因式
提示：x=-1可以使该式=0，有因式（x+1）

那么该式分解为（x+1）(+2x-2)
因式分解还有许多方法，只是不太常见，就不在此列举了。

考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。

xy＋6－2x－3y

(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4)

12x^2－29x＋15

x(y＋2)－x－y－1

5ax+5bx+3ay+3by

12a2b(x－y)－4ab(y－x)
(x－1)2(3x－2)＋(2－3x)
x2－11x＋24
y2－12y－28
x2＋4x－5
y4－3y3－28y2
蚊子与牛一样重
从前有一只骄傲的蚊子，总认为自己的体重和牛是一样重。有一天，它找到了牛，并说出了体重一样的理由。它认为，可以设自己的体重为a,牛的体重为b，则有：
a2－2ab＋b2=b2－2ab＋a2
左右两边分别因式分解为：(a－b)2=(b－a)2
从而就有：a－b=b－a
移项，得：2a=2b,
即a=b
蚊子骄傲地把自己的理由说完，牛睁大了眼睛，听傻了！
①请同学们想一想，牛和蚊子的体重真的会一样吗？若不一样，那么蚊子的证明究竟错在哪里呢？
②讲这个例子的目的何在？

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