弦振动实验报告书.doc

弦振动的研究

一、实验目的
1、观察固定均匀弦振动共振干涉形成驻波时的波形，加深驻波的认识。
2、了解固定弦振动固有频率与弦线的线密ρ、弦长L和弦的张力Τ的关系，并进行测量。
二、实验仪器
弦线，电子天平，滑轮及支架，砝码，电振音叉，米尺
三、实验原理
为了研究问题的方便，认为波动是从A点发出的，沿弦线朝Ｂ端方向传播，称为入射波，再由Ｂ端反射沿弦线朝Ａ端传播，称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉，移动劈尖Ｂ到适合位置．弦线上的波就形成驻波。这时，弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。驻波形成如图（2）所示。
图（2）
设图中的两列波是沿X轴相向方向传播的振幅相等、频率相同振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，它们的合成驻波用粗实线表示。由图可见，两个波腹间的距离都是等于半个波长，这可从波动方程推导出来。
下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点 “O”，且在X＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：
Y1＝Acos2p(ft－x/ l)
Y2＝Acos[2p (ft＋x/λ)+ p]

式中A为简谐波的振幅，f为频率，l为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：
Y1 ＋Y2＝2Acos[2p（x/ l）+p/2]Acos2pft ①
由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2A cos[2p（x/ l）+p/2] |，与时间无关t，只与质点的位置x有关。
由于波节处振幅为零，即：｜cos[2p（x/ l）+p/2] |＝0
2p（x/ l）+p/2＝(2k+1) p / 2 ( k=0. 2. 3. … )
可得波节的位置为：
x＝kl /2 ②
而相邻两波节之间的距离为：
xk＋1－xk ＝(k＋1)l/2－kl / 2＝l / 2 ③
又因为波腹处的质点振幅为最大，即 ｜cos[2p（x/ l）+p/2] | =1
2p（x/ l）+p/2 ＝kp ( k=0. 1. 2. 3. L L)
可得波腹的位置为：
x＝(2k-1)l/4 ④
这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节或相邻两波腹间的距离，就能确定该波的波长。
在本实验中，由于固定弦的两端是由劈尖支撑的，故两端点称为波节，所以，只有当弦线的两个固定端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为：
L＝nl / 2 ( n=1. 2. 3. … )
由此可得沿弦线传播的横波波长为：
l＝2L / n ⑤
式中n为弦线上驻波的段数，即半波数。
根据波速、频率及波长的普遍关系式：V＝lf，将⑤式代入可得弦线上横波的传播速度：
V＝2Lf/n ⑥
另一方面，根据波动理论，弦线上横波的传播速度为：
V＝(T/ρ)1/2 ⑦
式中T为弦线中的张力，ρ为弦线单位长度的质量，即线密度。
再由⑥⑦式可得
f =（T/ρ）1/2（n/2L）
得 T＝ρ / (n/2Lf )2
即 ρ＝T (n/2Lf )2 ( n=1. 2. 3. … ) ⑧
由⑧式可知，当给定T、ρ、L，频率f只有满足以上公式关系，且积储相应能量时才能在弦线上有驻波形成。

四、实验内容
1、测定弦线的线密度：用米尺测量弦线长度，用电子天平测量弦线质量，记录数据
2、测定11个砝码的质量，记录数据
3、组装仪器
4、调节电振音叉频率，弦线长度和砝码数量得到多段驻波，用米尺测量驻波长度，记录频率，砝码质量，波数，波长。（靠近振动端的第一个驻波不完整，要从第二个驻波开始测量波长）
五、数据记录及处理
1、弦线密度测定
弦线总长：2.00m 总质量：0.383g σ=0.383/2.00=0.1915 g/m
2、砝码质量测定： 兰州g=9.793m/s2
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
质量/g
10.015
10.016
9.988
10.020
10.009
10.000
10.013
10.006
10.018
10.018
4.997

波数
波长L/cm
张力T/N
频率f/Hz
砝码m/g
9
17.30
0.049
45.04
4.997
8
17.38
0.049
48.17
4.997
7
16.13
0.049
49.26
4.997
6
20.31
0.098
43.70
10.015
5
23.16
0.098
16.51
10.015
4
30.60
0.196
53.21
20.031
3
41.44
0.343
54.81
35.022
2
69.50
0.980
50.00
100.093

T/N
0.049
0.049
0.049
0.098
0.098
0.196
0.343
0.980
v/m/s
0.506
0.506
0.506
0.715
0.715
1.012
1.338
2．262

lgT/N
-1.309
-1.309
-1.309
-1.009
-1.009
-0.708
-0.465
-0.009
lgv/m/s
-0.296
-0.296
-0.296
-0.146
-0.146
0.005
0.126
0.354

六、实验分析
本实验结果基本符合经验公式，但还存在误差，分析有以下原因：
1、未等挂在弦线上的砝码稳定就开始测量。
2、未等形成的驻波稳定就开始记录数据。
3、用米尺测量时读数不够精确。

七、实验问题
1、.如果要确定v与σ的关系，实验应如何安排?

答：应准备材质不同的弦线，在频率f和张力T一定的情况下，出现不同数量的驻波，测量对应波长L，V=2Lf，作出σ—V图像。σ作为V的幂函数令σ=AV ，两边取对数得
lgσ=lgA+BlgV作lgσ—lgV图像求A,B.若B=V,A=T则公式推导正确。

2、弦振动时，使N（波数）为偶数，将音叉转90°后，观察现象，并说明原因。

答：旋转音叉90°波数变为N/2。原因是音叉带动的弦线由原来的左右摆动变成了前后摆动，形成的都是横波，原来左右振动一个周期形成两个波，旋转90°之后前后振动一个周期只形成了一个波，此时，电振音叉的振动频率不变，但是弦线的振动频率变为了原来的一半，所以波数减半。

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