小学数学归一问题应用题(DOC).doc

三、归一问题

【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】 总量÷份数＝1份数量
1份数量×所占份数＝所求几份的数量
另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数
【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
例1 买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？

例2 3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷？

例3：王师傅用3小时加工了42个零件，照这样计算，8小时可以加工多少个零件？

例4：王师傅用3小时加工了42个零件，照这样计算，几小时可以加工224个零件？

例5：工程队用3台压路机5小时可以压路3000米。照这样计算，5台压路机8小时可以压路多少米？

例6 5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？

例7： 3台车床4小时可以加工零件180个。照这样计算，5台车床加工600个零件要几小时？
例8： 某工人生产一种零件，13分钟生产45个，照这样计算，生产180个零件需要多少分钟？

现在你可以解归一问题了，找一些题练练吧。解归一问题时要记住：先求出“单一量”；分析是“顺归一”还是“逆归一”；注意有时要用倍比方法来解。

通过分析和解题，我们得到解归一问题的基本方法：

①先求出“单一量”。

②顺归一：单一量×份数=总量

③逆归一：总量÷单一量=份数

运用上面的方法我们就可以顺利解题：

鸡兔同笼
例题1.笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有多少只？
解题方法：
① 假设法：如果笼子里都是鸡，那么就有8×2=16只脚，这样就多出26-16=10只脚；一只兔子比一只鸡多2只脚，也就是有10÷2=5只兔。所以笼子里有3只鸡，5只兔。
（总脚数－总头数×2)÷2=兔子数 总头数－兔子数=鸡数
② 假设法：如果笼子里都是兔，那么就有8×4=32只脚，这样就少了32-26=6只脚；一只鸡比一只兔子少2只脚，也就是有6÷2=3只鸡。所以笼子里有3只鸡，5只兔。
（总头数×4-总脚数)÷2=鸡数 总头数－鸡数=兔子数
③ 抬腿法：假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，还有26÷2=13只脚；这时每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子里只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1；这时脚的总数与头的总数之差13-8=5，就是兔子的只数。
总脚数÷2-总头数=兔子数. 总头数-兔子数=鸡数
④ 解方程法：解：设有χ只兔子，那么就有（8-χ）只鸡。
鸡兔总共26只脚，就是：4χ+2（8-χ）=26
则χ=5
8-5=3只
例题2.  买一些4分和8分的邮票，共花6元8角。已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？
　　解一：如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.
　　(680-8×40)÷(8+4)=30（张），
　　这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张。
　　因此8分邮票有
　　40+30=70（张）.
　　答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张。
　　也可以用任意假设一个数的办法.
　　解二：譬如，假设有20张4分，根据条件"8分比4分多40张",那么应有60张8分。以"分"作为计算单位，此时邮票总值是
　　4×20+8×60=560.
　　比680少，因此还要增加邮票。为了保持"差"是40，每增加1张4分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是
　　(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10（张）.
　　因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）.
　　例3. 一项工程，如果全是晴天，15天可以完成。倘若下雨，雨天比晴天多3天，工程要多少天才能完成
　　解：类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有
　　(150-8×3)÷(10+8)= 7（天）.
　　雨天是7+3=10天，总共
　　7+10=17（天）.
　　答：这项工程17天完成。
　　请注意，如果把"雨天比晴天多3天"去掉，而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一，就能推算出另一个。这说明了例7，例8与上一节基本问题之间的关系.
　　总脚数是"两数之和",如果把条件换成"两数之差",又应该怎样去解呢
　例4.鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？
　　解一：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28÷2=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷2=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍。兔的只数是
　　(100+28÷2)÷(2+1)=38（只）.
　　鸡是
　　100-38=62（只）.
　　答：鸡62只，兔38只。
　　当然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只数是
　　(100-28÷4)÷(2+1)+7=38（只）.
　　也可以用任意假设一个数的办法。
　　解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是
　　4×50-2×50=100,
　　比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（千万注意，不是2).因此要减少的兔数是
　　(100-28)÷(4+2)=12（只）.
　　兔只数是
　　50-12=38（只）.
另外，还存在下面这样的问题：总头数换成"两数之差",总脚数也换成"两数之差".
例5. 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首？
　　解一：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差
　　13×5×4+20=280（字）.
　　每首字数相差
　　7×4-5×4=8（字）.
　　因此，七言绝句有
　　280÷(28-20)=35（首）.
　　五言绝句有
　　35+13=48（首）.
　　答：五言绝句48首，七言绝句35首。
　　解二：假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10首.字数分别是20×23=460（字），28×10=280（字），五言绝句的字数，反而多了
　　460-280=180（字）.
　　与题目中"少20字"相差
　　180+20=200（字）.
　　说明假设诗的首数少了。为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加
　　200÷8=25（首）.
　　五言绝句有
　　23+25=48（首）.
　　七言绝句有
　　10+25=35（首）.
例6 .从甲地至乙地全长45千米，有上坡路，平路，下坡路.李强上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米。从甲地到乙地，李强行走了10小时；从乙地到甲地，李强行走了11小时.问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米?
　　解：把来回路程45×2=90（千米）算作全程。去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成"一种"路程，根据例15，平均速度是每小时4千米。现在形成一个非常简单的"鸡兔同笼"问题.头数10+11=21，总脚数90，鸡，兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是
　　(90-4×21)÷(5-4)=6（小时）.
　　单程平路行走时间是6÷2=3（小时）.
　　从甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是：
　　45-5×3=30（千米）.
　　又是一个"鸡兔同笼"问题。从甲地至乙地，上坡行走的时间是：
　　(6×7-30)÷(6-3)=4（小时）.
　　行走路程是3×4=12（千米）.
　　下坡行走的时间是7-4=3（小时）.行走路程是6×3=18（千米）.
　　答：从甲地至乙地，上坡12千米，平路15千米，下坡18千米。
例7. 学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔，圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍。已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元。问三种笔各有多少支?
　　解：从条件"铅笔数量是圆珠笔的4倍",这两种笔可并成一种笔，四支铅笔和一支圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作
　　（0.60×4+2.7)÷5=1.02（元）.
　　现在转化成价格为1.02和6.3两种笔。用"鸡兔同笼"公式可算出，钢笔支数是
　　(300-1.02×232)÷(6.3-1.02)=12（支）.
　　铅笔和圆珠笔共
　　232-12=220（支）.
　　其中圆珠笔
　　220÷(4+1)=44（支）.
　　铅笔
　　220-44=176（支）.
　　答：其中钢笔12支，圆珠笔44支，铅笔176支。
例12. 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？
　　解一：如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是
　　8×6-2×(15-6)=30（分）.
　　两次相差
　　120-30=90（分）.
　　比题目中条件相差10分，多了80分。说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分。两者两差数就可减少
　　6+10=16（分）.
　　(90-10)÷(6+10)=5（题）.
　　因此第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）.
　　第一次得分
　　5×19-1×(24- 19)=90.
　　第二次得分
　　8×11-2×(15-11)=80.
　　答：第一次得90分，第二次得80分。
　　解二：答对30题，也就是两次共答错
　　24+15-30=9（题）.
　　第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）.
　　如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分。比题目中条件"第一次得分多10分",要少了6×9+10.因此，第二次答错题数是
　　(6×9+10)÷(6+10)=4（题）·
　　第一次答错9-4=5（题）.
　　第一次得分5×(24-5)-1×5=90（分）.
　　第二次得分8×(15-4)-2×4=80（分）.
　　答：第一次得90分，第二次得80分。