山西省大同一中2016届九年级数学下学期第三次段考试卷(含解析).doc

山西省大同一中2016届九年级数学下学期第三次段考试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列数：﹣3，1，﹣2，0中，最小的是（　　）
A．﹣3 B．0 C．﹣2 D．1
2．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．有一个铁制零件（正方体中间挖去一个圆柱形孔）如图放置，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A．2a5+a5=3a10 B．a2•a3=a6 C．（a2）3=a5 D．（﹣a）6÷（﹣a）4=a2
5．“五•一”黄金周期间，我市某风景区在7天假期中每天上山旅游的人数统计如下表：
日期
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
（万人）
1.2
2
2.5
2
1.2
2
0.6
其中众数和中位数分别是（　　）
A．1.2，2 B．2，2.5 C．2，2 D．1.2，2.5
6．某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件才能按时交货，则x应满足的方程为（　　）
A． B． =
C． D．
7．我们是这样研究一个数绝对值的性质的：当a＞0时，如a=6，则|a|=|6|=6，此时a的绝对值是它本身；当a=0时，|a|=0，此时a的绝对值是零；当a＜0时，如a=﹣6，则|a|=|﹣6|=6，此时a的绝对值是它的相反数．这种分析问题的方法所体现的数学思想是（　　）
A．转化思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
8．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
9．在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法：
①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形
②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形
其中正确的有（　　）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
10．设计一张折叠型方桌子如图，若AO=BO=50cm，CO=DO=30cm，将桌子放平后，要使AB距离地面的高为40cm，则两条桌腿需要叉开的∠AOB应为（　　）

A．60° B．90° C．120° D．150°

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．不等式组的解集　　　　　　．
12．钓鱼诸岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约6344000平方米，数据6344000用科学记数法表示为　　　　　　．
13．含有4种花色的36张扑克牌的牌面都朝下，每次抽出一张记下花色后再原样放回，洗匀牌后再同，不断重复上述过程，记录抽到红心的频率为25%，那么其中扑克牌花色是红心的大约有　　　　　　张．
14．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为　　　　　　m．（结果精确到0.1m）

15．如图所示，在一块正方形空地上，修建一个正方形休闲广场，其余部分铺设草坪，已知休闲广场的边长是正方形空地边长的一半，草坪的面积为147m2，则休闲广场的边长是　　　　　　m．

16．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为　　　　　　．

三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：（﹣2015）0+﹣+2cos45°；
（2）先化简，再求值：1﹣，其中a=1，b=﹣2．
18．解方程： +=﹣1．
19．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）动手操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AC于点O，再以O为圆心，OC的长为半径作⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合运用：在你所作的图中，
①判断AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
②若AC=12，tanOBC=，求⊙O的半径．

20．小明为了了解本班全体同学在阅读方面的情况，采取全面调查的方法，从喜欢阅读“科普常识、小说、漫画、营养美食”等四类图书中调查了全班学生的阅读情况（要求每位学生只能选择一种自己喜欢阅读的图书类型）根据调查的结果绘制了下面两幅不完整的统计图．

请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）该班的学生人数为　　　　　　人，并把条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，表示“漫画”类所对圆心角是　　　　　　度，喜欢阅读“营养美食”类图书的人数占全班人数的百分比为　　　　　　；
（3）如果喜欢阅读“营养美食”类图书的4名学生中有3名男学生和1名女学生，现在打算从中随机选出2名学生参加学校组织的“营养美食”知识大赛，请用列表或画树状图的方法，求选出的2名学生中恰好有1名男生和1名女生的概率．
21．已知点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F．
（1）如图1，当点P为AB的中点时，连接AF，BE．求证：四边形AEBF是平行四边形；
（2）如图2，当点P不是AB的中点，取AB的中点Q，连接EQ，FQ．试判断△QEF的形状，并加以证明．

22．在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，若设花园平行于墙的一边长为x（m），花园的面积为y（m2）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由；
（3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？
23．综合与实践：“四扇纸风车”的制作
阅读“四扇纸风车”的制作过程，解决下列问题：“四扇纸风车”是如何制作的呢？如图1，首先，裁剪一块边长为12cm的正方形纸张；将花纹面朝下，使用你的尺子，画两条对角线（或沿其对角线对折）；找到对角线的交点O，用按钉按下做个标记；在被交点O所分成的四条线段上靠近交点O的三等分点处分别做标记；如图2，然后由正方形的每个角开始延对角线剪开，到记号处停下；这样就有8个可折叠的角，将不相邻的四个角（不相邻指两角中间隔一角）折向中心；再用铁丝或钉子把它固定在一根木棍上就制作好了．

任务一：
（1）如图2是制作过程中在对角线上做好标记的示意图，请求出正方形每个角处沿对角线剪开的长度；
（2）求出标记点E到正方形ABCD的顶点B的距离．
任务二：
若将“距交点O的处做标记”改为“距交点O的处做标记”并将不相邻的四个角折叠、压平，使角的顶点与交点O重合，其余条件不变．
（1）请在图3中，把“四扇纸风车”的示意图补充完整，并将重叠部分图上阴影；
（2）求出（1）中补充完整后的“四扇纸风车”示意图中重叠部分的面积．
24．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．

2015-2016学年山西省大同一中九年级（下）第三次段考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列数：﹣3，1，﹣2，0中，最小的是（　　）
A．﹣3 B．0 C．﹣2 D．1
【考点】有理数大小比较．
【分析】依据正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值的大的反而小进行比较即可．
【解答】解：∵|﹣3|=3，|﹣2|=2，3＞2，
∴﹣3＜﹣2．
又∵正数大于零，零大于负数，
∴﹣3＜﹣2＜0＜1．
故选A．

2．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形．
故选D．

3．有一个铁制零件（正方体中间挖去一个圆柱形孔）如图放置，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：左边看去是一个正方形，中间有一个圆柱形孔，圆柱的左视图是矩形，所以左视图的正方形里面还要两条虚线．
故选C．

4．下列计算正确的是（　　）
A．2a5+a5=3a10 B．a2•a3=a6 C．（a2）3=a5 D．（﹣a）6÷（﹣a）4=a2
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变；同底数幂的乘法底数不变指数相加；幂的乘方底数不变指数相乘；同底数幂的除法底数不变指数相减；可得答案．
【解答】解：A、合并同类项系数相加字母及指数不变，故A错误；
B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B错误；
C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C正确；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D错误；
故选：C．

5．“五•一”黄金周期间，我市某风景区在7天假期中每天上山旅游的人数统计如下表：
日期
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
（万人）
1.2
2
2.5
2
1.2
2
0.6
其中众数和中位数分别是（　　）
A．1.2，2 B．2，2.5 C．2，2 D．1.2，2.5
【考点】中位数；众数．
【分析】先把数据按大小排列，然后根据中位数和众数定义分别求解．
【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中2是出现次数最多的，故众数是2；
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数的是2，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是2．
故选C．

6．某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件才能按时交货，则x应满足的方程为（　　）
A． B． =
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】本题的关键是要弄清因客户要求工作量提速后的工作效率和工作时间，然后根据题目给出的关键语“提前5天”找到等量关系，然后列出方程．
【解答】解：因客户的要求每天的工作效率应该为：（48+x）件，所用的时间为：，
根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间减去提前完成时间，
可以列出方程：．
故选：D．

7．我们是这样研究一个数绝对值的性质的：当a＞0时，如a=6，则|a|=|6|=6，此时a的绝对值是它本身；当a=0时，|a|=0，此时a的绝对值是零；当a＜0时，如a=﹣6，则|a|=|﹣6|=6，此时a的绝对值是它的相反数．这种分析问题的方法所体现的数学思想是（　　）
A．转化思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
【考点】绝对值．
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，即可解答．
【解答】解：∵当a＞0时，如a=6，则|a|=|6|=6，此时a的绝对值是它本身；
当a=0时，|a|=0，此时a的绝对值是零；
当a＜0时，如a=﹣6，则|a|=|﹣6|=6，此时a的绝对值是它的相反数．
∴采用了分类讨论的方法，
故选：B．

8．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
【考点】圆周角定理．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得∠BCD=90°，可求∠D=60°，即可求∠A=∠D=60°．
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠CBD=30°，
∴∠D=60°，
∴∠A=∠D=60°．
故选C．

9．在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法：
①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形
②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形
其中正确的有（　　）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【考点】矩形的判定；菱形的判定．
【分析】根据题意可得四边形AEDF是平行四边形；由∠BAC=90°，得四边形AEDF是矩形；由AD平分∠BAC，得四边形AEDF是菱形；当AD⊥BC且AB=AC时，四边形AEDF是菱形．
【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形；
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形；
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠FAD=∠ADF，
∴AF=DF，
∴四边形AEDF是菱形；
∵AD⊥BC且AB=AC，
∴AD平分∠BAC，
∴四边形AEDF是菱形；
故①②③正确．
故选A．

10．设计一张折叠型方桌子如图，若AO=BO=50cm，CO=DO=30cm，将桌子放平后，要使AB距离地面的高为40cm，则两条桌腿需要叉开的∠AOB应为（　　）

A．60° B．90° C．120° D．150°
【考点】含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质．
【分析】作DE⊥AB于E，根据题意，得在Rt△ADE中，AD=50+30=80cm，DE=40cm，由此可以推出∠A=30°，接着可以求出∠B=∠A=30°，再根据三角形的内角和即可求出∠AOB的度数．
【解答】解：作DE⊥AB于E．
∵AD=50+30=80cm，DE=40cm，
∴∠A=30°，
∵AO=BO，
∴∠B=∠A=30°，
∴∠AOB=180°﹣30°﹣30°=120°．
故选C．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．不等式组的解集　1≤x＜6　．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
【解答】解：，
由①得，x≥1；
由②得，x＜6，
故此不等式组的解集为：1≤x＜6，
故答案为1≤x＜6．

12．钓鱼诸岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约6344000平方米，数据6344000用科学记数法表示为　6.344×106　．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：6344000=6.344×106．
故答案为：6.344×106．

13．含有4种花色的36张扑克牌的牌面都朝下，每次抽出一张记下花色后再原样放回，洗匀牌后再同，不断重复上述过程，记录抽到红心的频率为25%，那么其中扑克牌花色是红心的大约有　9　张．
【考点】利用频率估计概率．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手求解．
【解答】解：∵共有36张扑克牌，红心的频率为25%，
∴扑克牌花色是红心的张数=36×25%=9张．
故本题答案为：9．

14．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为　2.3　m．（结果精确到0.1m）

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】利用30°的余弦函数求解．
【解答】解：由题意可得，cos30°==．
∴AB=≈2.3．

15．如图所示，在一块正方形空地上，修建一个正方形休闲广场，其余部分铺设草坪，已知休闲广场的边长是正方形空地边长的一半，草坪的面积为147m2，则休闲广场的边长是　7　m．

【考点】一元二次方程的应用．
【分析】此题设出正方形休闲广场的边长，表示出正方形空地的边长，利用正方形的面积解答即可．
【解答】解：设正方形休闲广场的边长为xm，则正方形空地的边长为2xm，根据题意列方程得，
（2x）2﹣x2=147，
解得x1=7，x2=﹣7（不合题意，舍去）；
答：休闲广场的边长是 7m．
故填7．

16．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为　3　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．
【解答】解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE=，S△OAD=，
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG=|k|，
又∵M为矩形ABCO对角线的交点，
∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，
由于函数图象在第一象限，k＞0，则++9=4k，
解得：k=3．
故答案是：3．

三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：（﹣2015）0+﹣+2cos45°；
（2）先化简，再求值：1﹣，其中a=1，b=﹣2．
【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值可以解答本题；
（2）先对原式化简，再将a=1，b=﹣2代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】（1）解：原式=1+2﹣（﹣2）+2×
=1+2+2+
=5+；
（2）解：原式=
=
=
=
当a=1，b=﹣2时，
原式=．

18．解方程： +=﹣1．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：36﹣x2﹣6x﹣9=﹣x2+9，
移项合并得：6x=18，
解得：x=3，
经检验x=3是增根，原分式方程无解．

19．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）动手操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AC于点O，再以O为圆心，OC的长为半径作⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合运用：在你所作的图中，
①判断AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
②若AC=12，tanOBC=，求⊙O的半径．

【考点】作图—复杂作图；切线的判定；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）只需按照题目的要求画图即可；
（2）①过点O作OD⊥AB，垂足为D，如图所示，只需证明OD=OC即可；②在Rt△OBC中，运用三角函数可求出=，从而得到==，易证Rt△ADO∽Rt△ACB，运用相似三角形的性质可求得AD=8，然后在Rt△ADO中运用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求作；

（2）AB与⊙O相切，理由如下：
过点O作OD⊥AB，垂足为D，如图所示．
∵∠ACB=90°，∴OC⊥BC．
∵BO是∠ABC的平分线，OD⊥AB，OC⊥BC，
∴OC=OD．
∴AB与⊙O相切；

（3）在Rt△OBC中，
tan∠OBC==，
∴==．
又∵∠ADO=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴Rt△ADO∽Rt△ACB，
∴==，
∴AD=AC=×12=8．
设⊙O的半径为r，则OD=OC=r，AO=12﹣r．
在Rt△ADO中，
根据勾股定理可得r2+82=（12﹣r）2，
解得r=，
∴⊙O的半径是．

20．小明为了了解本班全体同学在阅读方面的情况，采取全面调查的方法，从喜欢阅读“科普常识、小说、漫画、营养美食”等四类图书中调查了全班学生的阅读情况（要求每位学生只能选择一种自己喜欢阅读的图书类型）根据调查的结果绘制了下面两幅不完整的统计图．

请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）该班的学生人数为　40　人，并把条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，表示“漫画”类所对圆心角是　72　度，喜欢阅读“营养美食”类图书的人数占全班人数的百分比为　10%　；
（3）如果喜欢阅读“营养美食”类图书的4名学生中有3名男学生和1名女学生，现在打算从中随机选出2名学生参加学校组织的“营养美食”知识大赛，请用列表或画树状图的方法，求选出的2名学生中恰好有1名男生和1名女生的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）由喜欢阅读小说的有12人，占30%，即可求得该班的学生人数；继而求得喜欢漫画的人数，则可把条形统计图补充完整；
（2）由题意可得×360°=72°，喜欢阅读“营养美食”类图书的人数占全班人数的百分比：4÷40=10%；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2名学生中恰好有1名男生和1名女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵喜欢阅读小说的有12人，占30%，
∴该班的学生人数为：12÷30%=40（人），
故答案为：40；
∴喜欢漫画的有：40﹣4﹣12﹣16=8（人），
如图：

（2）在扇形统计图中，表示“漫画”类所对圆心角是×360°=72°，
喜欢阅读“营养美食”类图书的人数占全班人数的百分比：4÷40=10%；
故答案为：72，10%；

（3）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，选出的2名学生中恰好有1名男生和1名女生的有6种情况；
∴P（1男生1女生）==．

21．已知点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F．
（1）如图1，当点P为AB的中点时，连接AF，BE．求证：四边形AEBF是平行四边形；
（2）如图2，当点P不是AB的中点，取AB的中点Q，连接EQ，FQ．试判断△QEF的形状，并加以证明．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）结合已知证明△BFQ≌△AEQ，进一步得到对角线互相平分即可；
（2）延长FQ交AE于点D，证明△FBQ≌△DAQ，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可．
【解答】证明：（1）如图1，

∵点Q为AB中点，∴AQ=BQ．
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ．
在△BFQ和△AEQ中，
，
∴△BFQ≌△AEQ（AAS）．
∴QE=QF．
∴四边形AEBF是平行四边形；
（2）△QEF是等腰三角形，如图2，

延长FQ交AE于点D，
由（1）知AE∥BF，
∴∠QAD=∠FBQ．
在△FBQ和△DAQ中，
，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD．
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，即QE=QF，
∴△QEF是等腰三角形．

22．在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，若设花园平行于墙的一边长为x（m），花园的面积为y（m2）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由；
（3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）设花园靠墙的一边长为x（m），另一边长为，用面积公式表示矩形面积；
（2）就是已知y=200，解一元二次方程，但要注意检验结果是否符合题意；即结果应该是0＜x≤15．
（3）由于0＜x≤15，对称轴x=20，即顶点不在范围内，y随x的增大而增大．∴x=15时，y有最大值．
【解答】解：（1）根据题意得：y=x•，
即y=﹣x2+20x（0＜x≤15）
（2）当y=200时，即﹣x2+20x=200，
解得x1=x2=20＞15，
∴花园面积不能达到200m2．
（3）∵y=﹣x2+20x的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x=20，
∴当0＜x≤15时，y随x的增大而增大．
∴x=15时，y有最大值，
y最大值=﹣×152+20×15=187.5m2
即当x=15时，花园的面积最大，最大面积为187.5m2．

23．综合与实践：“四扇纸风车”的制作
阅读“四扇纸风车”的制作过程，解决下列问题：“四扇纸风车”是如何制作的呢？如图1，首先，裁剪一块边长为12cm的正方形纸张；将花纹面朝下，使用你的尺子，画两条对角线（或沿其对角线对折）；找到对角线的交点O，用按钉按下做个标记；在被交点O所分成的四条线段上靠近交点O的三等分点处分别做标记；如图2，然后由正方形的每个角开始延对角线剪开，到记号处停下；这样就有8个可折叠的角，将不相邻的四个角（不相邻指两角中间隔一角）折向中心；再用铁丝或钉子把它固定在一根木棍上就制作好了．

任务一：
（1）如图2是制作过程中在对角线上做好标记的示意图，请求出正方形每个角处沿对角线剪开的长度；
（2）求出标记点E到正方形ABCD的顶点B的距离．
任务二：
若将“距交点O的处做标记”改为“距交点O的处做标记”并将不相邻的四个角折叠、压平，使角的顶点与交点O重合，其余条件不变．
（1）请在图3中，把“四扇纸风车”的示意图补充完整，并将重叠部分图上阴影；
（2）求出（1）中补充完整后的“四扇纸风车”示意图中重叠部分的面积．
【考点】几何变换综合题．
【分析】任务一：
（1）根据四边形的性质得出AC⊥BD，∠ABO=45°，解直角三角形求得OA，即可求得；
（2）连接BE，求得OE=2，然后根据勾股定理求得BE，从而求得标记点E到正方形ABCD的顶点B的距离．
任务二：
（1）画出如图所示图形；
（2）求得一块重叠部分的面积，从而求得中重叠部分的面积．
【解答】解：任务一：
（1）如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠ABO=45°
在Rt△AOB中，，
∴OA=AB•sin45°=6，
∴
∴正方形每个角处沿对角线剪开的长度为cm；
（2）如图2，连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，，
∴OE=6﹣4=2
∴BE==4，
∴标记点E到正方形ABCD的顶点B的距离为4cm；
任务二：
（1）如图所示：
；
（2）由题意可知：重叠部分三角形是等腰直角三角形，且四个三角形的面积相等．
其中一块重叠部分的面积为：，
所以，“四扇纸风车”示意图中重叠部分的面积为：4×9=36cm2．

24．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线解析式可得出b、c的值，继而得出抛物线解析式，利用待定系数法可求出AC的函数解析式；
（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到N点关于直线x=3的对称点N′，连接N'D，N'D与直线x=3的交点即是点M的位置，继而求出m的值．
（3）设出点E的坐标，分情况讨论，①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质表示出F的坐标，将点F的坐标代入抛物线解析式可得出x的值，继而求出点E的坐标．
【解答】解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3），可得：，
解得：，
故抛物线为y=﹣x2+2x+3，
设直线AC解析式为y=kx+n，将点A（﹣1，0）、C（2，3）代入得：，
解得：，
故直线AC为y=x+1．

（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），
可求出直线DN′的函数关系式为y=﹣x+，
当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
则m=﹣×3+=．

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）
点E在直线AC上，设E（x，x+1），
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3=﹣x2+2x+3
解得，x=0或x=1（舍去），
则点E的坐标为：（0，1）．
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），
∵点F在抛物线上，
∴x﹣1=﹣x2+2x+3，
解得x=或x=，
即点E的坐标为：（，）或（，）
综上可得满足条件的点E为E（0，1）或（，）或（，）．

22