北师大版高中数学必修5解三角形教案(集体备课).doc

玉山县樟村中学2015－2016学年度第二学期备课稿
高一 年级 数学 学科 主备人 孙晶晶
课　题
1.1正弦定理
第 1 课时
教学目标

1、在创设日常生活的问题情境中，让学生从已有的几何知识和处理几何图形的常用方法出发，由简单到复杂，步步推进，探索和证明正弦定理。
2、能运用正弦定理解决三角形的两类基本问题，并初步认识用正弦定理解三角形时，会有一解、两解、无解三种情况。
重点难点

重点：正弦定理的探索与证明；正弦定理的基本应用。
难点：正弦定理的探索与证明。
教学准备
PPT,三角板
教学方法
以学生为中心，以教师为主导，启发式教学。

教
学
过
程
[创设情景]
固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点动。

思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？
[探索研究]
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,
则
从而在直角三角形ABC中，
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,
则 同理可得，
从而
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即
[理解定理]:（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]:
例1：某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，其一角已破损，现测得如下数据：，， 。为了复原，请计算原玉佩两边的长（结果精确到）
分析：将分别延长相交于一点，在中，已知的长度和角与，可以通过正弦定理求的长
解：将分别延长交于一点，在中，，，，
因为，所以，
答：原玉佩两边的长分别约为
例2：台风中心位于某市正东方向300处，正以的速度向西北方向移动，距离台风中心范围内将会受其影响。如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间（结果精确到）？
分析：台风沿着运动时，由于，所以开始台风影响不了城市，由点到台风移动路径的最小距离
所以台风在运动过程中肯定要影响城市，这就要在上求影响的始点和终点，然后根据台风的速度计算台风从到持续的时间
解：设台风中心从点向西北方向沿射线移动，该市位于点的正西方向处的点，假设经过，台风中心到达点，则在中，
由正弦定理得知
利用计算器得角
当时，
所以，
同理：当时，，
答：约后将要遭受台风影响，持续约
思考：通过这个问题的解决我们发现，如果已知两边和其中一边的对角，解三角形时会出现两解的情况，还会出现其他情况吗？为什么有两个解？你还能用其他方法解决这个问题吗？
已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:
⑴若A为锐角时:

⑵若A为直角或钝角时:

无解 一解
课堂小结：
（1）正弦定理：
（2）正弦定理的证明
（3）正弦定理的应用范围
①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边和角
②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边和角
（4）解三角形时根的个数数问题
课堂练习：
1、已知在
解： ∴
由 得 由得

2、在
解：∵
∴

3、
解：

，

[课堂小结]（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：；
或，，
（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

二次备课

板书设计

课内外作业
布置作业：
教学反思

玉山县樟村中学2015－2016学年度第二学期备课稿
高一 年级 数学 学科 主备人 孙晶晶
课　题
1.2余弦定理
第 1 课时
教学目标

一、知识与技能
1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；
2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；
二、过程与方法
通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性
三、情感、态度与价值观
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；
重点难点

重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
教学准备
教学用具：多媒体、实物投影仪.
教学方法

教
学
过
程
[创设情景]
如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和C，求边c
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
设，，，那么，则

从而
同理可证
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）
从余弦定理，又可得到以下推论：

[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

例题:例1．在ABC中，已知，，，求b及A
⑴解：∵
=cos
== 8 ∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos ∴
解法二：∵sin又∵＞
＜∴＜， 即＜＜ ∴
评述：解法二应注意确定A的取值范围。

例2．在ABC中，已知，，，解三角形
解：由余弦定理的推论得：
cos ；
cos ；

[随堂练习]第51页练习第1、2、3题。
[补充练习]在ABC中，若，求角A（答案：A=120）

[课堂小结]（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，
勾股定理是余弦定理的特例；
（2） 余弦定理的应用范围：
①．已知三边求三角；
②．已知两边及它们的夹角，求第三边。

二 次 备 课

板书设计

课内外作业
布置作业：
教学反思

玉山县樟村中学2015－2016学年度第二学期备课稿
高一 年级 数学 学科 主备人 孙晶晶
课　题
§2三角形中的几何计算
第 1 课时
教学目标

1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
重点难点

教学重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
教学难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
教学准备
多媒体、实物投影仪
教学方法
启发引导式

教
学
过
程

例题讲解：
例1. 在△ABC中，已知求边c。
解析：解法1（用正弦定理）

又
当A＝60°时，C＝75°

当A＝120°时，C＝15°

解法二：

即
解之，得
点评：此类问题求解需要注意解的个数的讨论，比较上述两种解法，解法2较简单。
例2. 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状。
解析：解法一
由正弦定理，得
∵B＝60°，∴A+C＝120°
A＝120°－C，代入上式，得

展开，整理得：

∴C＝60°，故A＝60°
∴△ABC为正三角形
解法二
由余弦定理，得

整理，得
从而a＝b＝c
∴△ABC为正三角形
点评：在边角混合条件下判断三角形形状时，可考虑利用边化角，从角的关系判断，也可考虑角化边，从边的关系判断。
例3. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长。

解析：在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°
由正弦定理，得

∵AD//BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC
于是
同理，在△ABD中，AB＝5，
∠ADB＝45°
解得 故BD的长为
点评：求解三角形中的几何计算问题时，要首先确定与未知量之间相关联的量，把所要求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来。

小结：
先由学生自己总结解题所得。
通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力
二 次 备 课

板书设计

课内外作业
布置作业：
教学反思

玉山县樟村中学2015－2016学年度第二学期备课稿
高一 年级 数学 学科 主备人 孙晶晶
课　题
§3 解三角形的实际应用举例
第 1 课时
教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
过程与方法 ：根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正
情感与价值：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。
重点难点

教学重点:由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图
教学准备
多媒体、实物投影仪
教学方法
启发引导式

教
学
过
程
一、复习引入
1、正弦定理：
2、余弦定理：

，
二、例题讲解
引例：我军有A、B两个小岛相距10海里，敌军在C岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B岛和C岛间的距离，请你算算看。
解： ∴
由正弦定理知
海里
例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）．
分析：这个问题就是在中，已知AB=1.95m，AC=1.4m,求BC的长，由于已知的两边和它们的夹角，所以可根据余弦定理求出BC。
解：由余弦定理，得

答：顶杠BC长约为1.89m.
解斜三角形理论应用于实际问题应注意：
1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。
2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如视角，仰角，俯角，方位角等等。
3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决。
练1.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东, 30分钟后航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东方向上,求灯塔S和B处的距离.（保留到0.1）
解：
由正弦定理知
海里
答：灯塔S和B处的距离约为海里
例2.测量高度问题
如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C，D两处，测得烟囱的仰角分别是和, Ｃ、Ｄ间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m.求烟囱的高。
图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？
分析：因为，又所以只要求出即可
解：在中，
，
由正弦定理得：

从而：
因此：
答：烟囱的高约为
练习：在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得点的俯角，已知铁塔部分高米，求山高。
解：在△ABC中，∠ABC=30°，
∠ACB =135°，
∴∠CAB =180°－(∠ACB+∠ABC)
=180°－(135°+30°)=15°
又BC=32,
由正弦定理
得：
课堂小结
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。
掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。
2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余弦定理解题。
3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程
图可表示为：
画图形
数学模型
实际问题

解三角形
检验（答）

实际问题的解
数学模型的解

二 次 备 课

板书设计

课内外作业
布置作业：
教学反思