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第6章平行四边形
一、选择题
1.下列命题中，正确的是 （ ）
A. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是菱形
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是（ ）
A. ∠ABC=90° B. AC=BD C. OA=OB D. OA=AB
3.已知下列命题中：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；其中正确的有（ ）.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
4.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）.
A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 矩形 D. 菱形
5.在△ABC中，点E、D、F分别在AB、BC、AC上且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中不正确的是（ ）
A. 四边形AEDF是平行四边形 B. 如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形
C. 如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是菱形 D. 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
6.如图，在□ABCD中，如果EF∥AD ， GH∥CD ， EF与GH相交与点O ， 那么图中的平行四边形一共有（ ）.
A. 4个 B. 5个 C. 8个 D. 9个
7.已知▱ABCD的周长为32,AB=4,则BC等于( )
A. 4 B. 12 C. 24 D. 28
8.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A. 选①② B. 选①③ C. 选②④ D. 选②③
9.下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. 两组对边分别平行 B. 一组对边平行，另一组对边相等
C. 两组对边分别相等 D. 一组对边平行且相等
10.如图所示，在平行四边形ABCD中，∠ABE=∠AEB，AE∥DF，DC是∠ADF的角平分线．下列说法正确的是（ ）
①BE=CF ②AE是∠DAB的角平分线 ③∠DAE+∠DCF=120°．
A. ① B. ①② C. ①②③ D. 都不正确
11.如图，D、E、F分别为Rt△ABC中AB、AC、BC的中点，AB=2， 则DC和EF的大小关系是（ ）
A. DC＞EF B. DC＜EF C. DC=EF D. 无法比较
12.如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90º，AE∥CD交BC于E，O是AC的中点，AB=，AD=2，BC=3，下列结论：
①∠CAE=30º；②AC=2AB；③S△ADC=2S△ABE；④BO⊥CD，其中正确的是（）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④
二、填空题
13.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC+BD=16，则该矩形的面积为________
14.如图，剪两张等宽对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是________．
15.如图，▱ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为13，则▱ABCD的两条对角线长度之和为________．
16.如图，▱ABCD中，∠A=50°AD⊥BD，沿直线DE将△ADE翻折，使点A落
在点A′处，AE交BD于F，则∠DEF=________
17.已知菱形的两条对角线长为8和6，那么这个菱形面积是________，菱形的高________．
18.将2017个边长为2的正方形，按照如图所示方式摆放，O1 ， O2 ， O3 ， O4 ， O5 ， …是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于________．
19.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为________．
20.四边形ABCD中，如果AB=DC，当AB________ DC时，四边形ABCD是平行四边形；当AD________ BC时，四边形ABCD是平行四边形.
21.如图，△ABC中，AD=BD，AE=EC，BC=6，则DE=________．
22.如图，菱形ABCD的边长为5cm，对角线BD的长为6cm，则菱形ABCD的面积为________ cm2 ．
三、解答题
23.已知：如图，E、F分别为▱ABCD中AD、BC的中点，分别连接AF、BE交于G，连接CE、DF交于点H．求证：EF与GH互相平分．
24.如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O、M、N分别为OB、OC的中点． （Ⅰ）求证：MD和NE互相平分；
（Ⅱ）若BD⊥AC，EM=2 ，OD+CD=7，求△OCB的面积．
25.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论 。
26.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连结PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
参考答案
一、选择题
B D C D C D B D B C C D
二、填空题
13. 16
14. 菱形
15. 16
16. 65°
17. 24；
18. 2016
19.
20. 平行；=
21. 3
22. 24
三、解答题
23. 证明：∵E为AD的中点，F为BC的中点， ∴AE= AD，CF= BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴AE∥CF，AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥CE，
同理可证：BE∥DF，
∴四边形GFHE是平行四边形，
∴EF与GH互相平分
24. （Ⅰ）证明：连接ED、MN，∵CE、BD是△ABC的中线，
∴E、D是AB、AC中点，
∴ED∥BC，ED= BC，
∵M、N分别为OB、OC的中点，
∴MN∥BC，MN= BC，
∴ED∥MN，ED=MN，
∴四边形DEMN是平行四边形，
∴MD和NE互相平分；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得DN=EM=2 ，
∵BD⊥AC，
∴∠ODC=90°，
∵N是OC的中点，
∴OC=2DN=4 （直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∵OD2+CD2=OC2=32，
（OD+CD）2=OD2+CD2+2OD×CD=72=49，
2OD×CD=49﹣32=17，
OD×CD=8.5，
∵OB=2OM=2OD，
∴S△OCB= OB×CD=OD×CD=8.5．
25. 解：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OF，
∴OE=OF；
（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．
如图AO=CO，EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ACB，
同理，∠ACF=∠ACG，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）=×180°=90°，
∴四边形AECF是矩形；
（3）△ABC是直角三角形
∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，
∵MN∥BC，
∴∠BCA=∠AOM，
∴∠BCA=90°，
∴△ABC是直角三角形．
26. （1）解：当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，即：t=8﹣t， 解得t=4．
答：当t=4时，四边形ABQP是矩形
（2）解：设t秒后，四边形AQCP是菱形 当AQ=CQ，即 =8﹣t时，四边形AQCP为菱形．
解得：t=3．
答：当t=3时，四边形AQCP是菱形
（3）解：当t=3时，CQ=5，则周长为：4CQ=20cm， 面积为：4×8﹣2× ×3×4=20（cm2）
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