数值计算方法期末考试题.doc

一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A4和3 B3和2 C3和4 D4和42. 已知求积公式，则（ ）A B C D3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（ ） A0， B 0， C1， D 1，4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A超线性 B平方 C线性 D三次5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A B C D 单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设, 则 ， .2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足 ，所以在区间内有根。5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式 .填空题答案 1. 9和 2. 3. 4. 5. 三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值.计算题1.答案 1. 解 ， ，所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组（1） 写出雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案 1.解 原方程组同解变形为雅可比迭代公式为高斯塞德尔迭代法公式用雅可比迭代公式得用高斯塞德尔迭代公式得3. 用牛顿法求方程在之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案 3. 解 ， ，故取作初始值迭代公式为， ， 方程的根 4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.计算题4.答案 4 解 梯形公式 应用梯形公式得 辛卜生公式为 应用辛卜生公式得 四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案 证明：求积公式中含有三个待定系数，即，将分别代入求积公式，并令其左右相等，得 得，。所求公式至少有两次代数精确度。又由于 故具有三次代数精确度。一、 填空（共20分，每题2分）1. 设 ，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商 ， 则二阶差商 3. 设, 则 ， 。4求方程 的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么 5解初始值问题 近似解的梯形公式是 6、 ，则A的谱半径 。 7、设 ，则 和 。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为 。10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成 。 填空题答案1、2.31502、3、6 和 4、1.55、6、7、8、 收敛9、10、二、计算题 （共75 分，每题15分）1设 （1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式使满足 以升幂形式给出。（2）写出余项 的表达式计算题1.答案 1、（1） （2） 2已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使 0，1收敛？计算题2.答案 2、由 ，可得 ， 3 试确定常数A，B，C和 a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？计算题3.答案 3、 ，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的 4 推导常微分方程的初值问题 的数值解公式：（提示： 利用Simpson求积公式。）计算题4.答案 4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 在区间 上积分，得，记步长为h, 对积分 用Simpson求积公式得 所以得数值解公式： 5利用矩阵的LU分解法解方程 组 计算题5.答案 5、解：三、证明题 （5分）1设 ，证明解 的Newton迭代公式是线性收敛的。证明题答案 1、一、填空题（20分）(1).设是真值的近似值，则有 位有效数字。(2). 对, 差商( )。(3). 设, 则 。(4).牛顿柯特斯求积公式的系数和 。 填空题答案（1）3 （2）1 （3）7 （4）1二、计算题1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。计算题1.答案 1）2).（15分）用二分法求方程区间内的一个根，误差限。计算题2.答案 2) 3).（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。计算题3.答案 3）迭代公式 4).（15分）求系数。计算题4.答案 4）5). (10分)对方程组 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由计算题5.答案 5) 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取,经7步迭代可得：.三、简答题1)（5分）在你学过的线性方程组的解法中, 你最喜欢那一种方法,为什么?2)（5分）先叙述Gauss求积公式, 再阐述为什么要引入它。简答题答案 1）凭你的理解去叙述。2）参看书本99页。一、填空题（20分）1. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有( )位有效数字.2. 是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则 ( ).3. 设f (x)可微，则求方程的牛顿迭代格式是( ).4. 迭代公式收敛的充要条件是 。5. 解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b不为0) 的迭代格式中的B称为( ). 给定方程组，解此方程组的雅可比迭代格式为( )。填空题答案132.3.4. 5.迭代矩阵， 二、判断题（共10分）1. 若，则在内一定有根。 ( )2. 区间a,b上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。 ( )3. 若方阵A的谱半径，则解方程组Ax=b 的Jacobi迭代法收敛。 ( )4. 若f (x)与g (x) 都是n次多项式，且在n+1个互异点上，则 。 ( )5. 用近似表示产生舍入误差。 ( )判断题答案 1. 2. 3. 4. 5.三、计算题（70分）1. （10分）已知f (0)1，f (3)2.4，f (4)5.2，求过这三点的二次插值基函数l1(x)=( )，=( ), 插值多项式P2(x)=( ), 用三点式求得( ).计算题1.答案 12. （15分） 已知一元方程。1）求方程的一个含正根的区间；2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。计算题2.答案 2.（1）（2）（3）3. （15分）确定求积公式 的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.计算题3.答案 4. （15分）设初值问题 .(1) 写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；(2) 写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解，保留两位小数。计算题4.答案 4.5. （15分）取节点，求函数在区间上的二次插值多项式，并估计误差。计算题5.答案 5 =1+2( ， 一、填空题( 每题4分，共20分)1、数值计算中主要研究的误差有 和 。2、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则 ； 。3、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ；插值型求积公式中求积系数 ；且 。4、辛普生求积公式具有 次代数精度，其余项表达式为 。5、则。填空题答案1.相对误差 绝对误差 2. 13. 至少是n b-a 4. 3 5. 1 0二、计算题1、已知函数的相关数据由牛顿插值公式求三次插值多项式，并计算的近似值。计算题1.答案 解：差商表由牛顿插值公式：2、（10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长，。计算题2.答案 解：3、（15分）确定求积公式。中待定参数的值，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。计算题3.答案 解：分别将，代入求积公式，可得。令时求积公式成立，而时公式不成立，从而精度为3。4、（15分）已知一组试验数据如下 ：求它的拟合曲线（直线）。计算题4.答案 解：设则可得 于是，即。5、（15分）用二分法求方程在区间内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。计算题5.答案 解：6次；。6、（15分）用列主元消去法解线性方程组计算题6.答案 解：即一、填空题（25分）1).设x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，则x*有 位有效数字。2). ， 。3).求方程根的牛顿迭代格式是 。4).已知,则 , 。5). 方程求根的二分法的局限性是 。 填空题答案1）4； 2）1，0； 3）； 4）7, 6；5）收敛速度慢，不能求偶重根。 二、计算题1).（15分）已知(1)用拉格朗日插法求的三次插值多项式；(2)求， 使。计算题1.答案 解：2).（15分）试求使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度。 计算题2.答案 解：由等式对精确成立得：,解此方程组得又当时 左边右边 此公式的代数精度为2 3).（15分）取步长h=0.2, 用梯形法解常微分方程初值问题 计算题3.答案 3）梯形法为即迭代得4). （15分）用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值.计算题4.答案 解：先选列主元，2行与1行交 换得消元；3行与2行交换；消元；回代得解；行列式得5). （15分）用牛顿(切线)法求的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。计算题5.答案 5). 解：是的正根，牛顿迭代公式 为， 即 取x0=1.7, 列表如下：一、填空题( 每题4分，共20分)1、辛普生求积公式具有 次代数精度，其余项表达式为 。2、则。3、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ；插值型求积公式中求积系数 ；且 。4、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则 ； 。5、按四舍五入原则数2.7182818与8.000033具有五位有效数字的近似值分别为 和 。 填空题答案1、3 2、 3、 14、至少是n 5、 二、计算题1、（10分）已知数据如下：求形如拟合函数。计算题1.答案 解：2、（15分）用二次拉格朗日插值多项式计算。插值节点和相应的函数值如下表。计算题2.答案 解：过点的二次拉格朗日插值多项式为代值并计算得 。3、（15分）利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长。计算题3.答案 解：4、（15分）已知(1)推导以这三点为求积节点在上的插值型求积公式；(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算。计算题4.（1）答案 计算题4.（2）&（3）答案 （2）所求的求积公式是插值型，故至少具有2次代数精度，再将代入上述公式，可得故代数精度是3次。（3）由（2）可得：。(1)所求插值型的求积公式形如：。5、（15分）讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。其中.计算题5.答案 解： 三、简述题（本题 10 分）叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么？简述题答案 解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。 误差分析的原则有：1）要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；2）要避免两近数相减；3）要防止大数吃掉小数：4）注意简化计算步骤，减少运算次数。 一、 填空（共25分，每题5分）1、，则A的谱半径 2、设则 和 3、若 x = 1.345678, ，则x*的近似数具有 位有效数字. 4、抛物线求积公式为 . 5、设可微，求方程根的牛顿迭代公式是 。 填空题答案1、； 2、；3、4；4、；5、.二、计算题1).（15分）设 （1）试求在上的三次Hermite插值多项式使满足, 以升幂形式给出。（2）写出余项的表达式计算题1.答案 （1）（2）2).（15分）设有解方程的迭代法: , （1） 证明,均有（为方程的根）；（2） 取用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。 计算题2.答案 （1）（2）取，则有各次迭代值 取，其误差不超过（3） 故此迭代为线性收敛。3). (15分) 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度 .计算题3.答案 令代入公式精确成立，得；解得，得求积公式对；故求积公式具有2次代数精确度。4).（15分）用Gauss消去法求解下列方程组计算题4.答案 本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。；故. 5).（15分） 已知方程组，其中（1） 试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性。（2） 若有迭代公式，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛。计算题5.答案 （1），因此两种迭代法均收敛。（2）当时，该迭代公式收敛。