极坐标与参数方程题型及解题方法.pdf

1一、复一、复习习提提问问1、极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？2、如何把极坐标系转化为直角坐标系？答：将极坐标的极点 O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系 x 轴的正半轴。如果点 P 在直角坐标系下的坐标为，在极坐标系下的坐标为，则有),(yx),(下列关系成立：，xcosysin3、参数方程表示什么曲线？sincosryrx4、圆 的参数方程是什么？222)()(rbyax5、极坐标系的定义是什么？答：取一个定点，称为极点，作一水平射线，称为极轴，在上规定单位长度，OOxOx这样就组成了一个极坐标系设OP，又.和的值确定了，则点的OPxOPP位置就确定了。叫做点的极半径，叫做点的极角，叫做点的极坐标（规PP),(P定写在前，写在后）。显然，每一对实数决定平面上一个点的位置.),(6、参数方程的意义是什么？二、题型与方法归纳二、题型与方法归纳1、题型与考点题型与考点（1）极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化 （2）参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化2 (3)利用参数方程求值域参数方程的几何意义2、解题方法及步骤、解题方法及步骤（1 1）、参数方程与普通方程的互化、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数，先确定一个关系（或，再代入普通方程t xf t()yg t，求得另一关系（或）.一般地，常选择的参数有角、有向,0F x y()yg t xf t线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例例 1 1、方程（为参数）表示的曲线是（）ttttyx2222tA.双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆解析：注意到t与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可2t2t消去含 的项，即有，又注意到 t4)22()22(2222ttttyx422 yx，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为02 t222222tttt2y，显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选 B.)2(422yyy练习 1、与普通方程等价的参数方程是（）（为能数）210 xy t解析：所谓与方程等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一210 xy 致而且的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.,x y对于化为普通方程为；A 2101101xyxy ，对于化为普通方程为；B210(1xyxRy ，对于化为普通方程为;C2100)(1xyxy ，对于化为普通方程为.D 2101101xyxy ，而已知方程为显然与之等价的为.210(1xyxRy ，B练习 2、设是椭圆上的一个动点，则的最大值是 ，最小值为 .P222312xy2xy分析：注意到变量的几何意义，故研究二元函数的最值时，可转化为几),(yx2xy何问题.若设，则方程表示一组直线，（对于 取不同的值，方程表示2xyt2xytt不同的直线），显然既满足，又满足，故点是方程组),(yx222312xy2xyt),(yx的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一2223122xyxyt元二次方程的判别式问题.0 解析：令，对于既满足，又满足，故点2xyt,x y222312xy2xyttytxA2cossintytxB2tan1tantytxC1tytxD2sincos3是方程组的公共解，依题意得，由),(yx2223122xyxyt221182120yt yt，解得：，所以的最大值为22644 112120tt 2222t 2xy，最小值为.2222（2 2）、极坐标与直角坐标的互化、极坐标与直角坐标的互化 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点xP 的直角坐标为，它的极坐标为，则或；若把直),(yx),(sincosyxxyyxtan222角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点所在的象限（即角的终边的位置），以P便正确地求出角.例例 2 2、极坐标方程表示的曲线是（）52sin42 A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由，化为直角坐标系方程为21 cos4sin422 cos522，化简得.显然该方程表示抛物线，故选 D.22225xyx22554yx练习 1、已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是22)4sin(解析：极点的直角坐标为，对于方程，)0,0(O22)cossin(22)4sin(可得，化为直角坐标方程为，因此点到直线的距离为1sincos10 xy 22练习练习 2 2、极坐标方程转化成直角坐标方程为（）0cos2A B C D1022yyx或1x 1022xyx或1y 分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.解析：，或，因此选 C.0cos2022yx0cos x练习练习 3、点的直角坐标是，则点的极坐标为（）M(1,3)M4A B C D(2,)3(2,)32(2,)3(2,2),()3kkZ 解析：都是极坐标，因此选 C.2(2,2),()3kkZ（3 3）、参数方程与直角坐标方程互化、参数方程与直角坐标方程互化例例 3：已知曲线1C的参数方程为sin10cos102yx（为参数），曲线2C的极坐标方程为sin6cos2 （1）将曲线1C的参数方程化为普通方程，将曲线2C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线1C，2C是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由解：（1）由sin10cos102yx得，10)2(22yx曲线1C的普通方程为，10)2(22yx，sin6cos2sin6cos22，222yx cosxsinyyxyx6222，即，10)2(22yx曲线2C的直角坐标方程为；10)2(22yx（2）圆1C的圆心为)0,2(，圆2C的圆心为，)3,1(10223)30()12(C2221C两圆相交，设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21C C，22d，公共弦长为22222)10()223()2(d练习练习 1 1、坐标系与参数方程.已知曲线 C：（为参数，)，sin21cos23yx20（）将曲线化为普通方程；（）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极x坐标方程5D DA AF FE EO OB BC C解析：（）023222yxyx（）sincos32（4 4）利用参数方程求值域）利用参数方程求值域例题例题 4、在曲线：上求一点，使它到直线：1C）yx为参数(sincos12C的距离最小，并求出该点坐标和最小距离.12 22(112xttyt 为参数）解：直线化成普通方程是，设所求的点为，2C122 yxsin,cos1P则 C 到直线的距离，2C2|122sincos1|d|2)4sin(|当时，即时，取最小值 1，此时，点的坐标是.23445dP)22,221(练习练习 1 1、在平面直角坐标系中，动圆xOy08cos7sin6cos8222yxyx（）的圆心为，求的取值范.R),(yxPyx 2解：由题设得（为参数，），sin3cos4yxR于是，所以.)cos(73sin3cos82 yx73273yx练习练习 2 2、已知曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是Csin2L（为参数）tytx5453t （）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；C （）设直线与x轴的交点是，曲线上一动点，求的最大值.LMNC|MN解：（1）曲线的极坐标方程可化为：Csin22又，.222 yxcosxsiny6所以，曲线的直角坐标方程为：.C0222yyx （2）将直线的参数方程化为直角坐标方程得：，L)2(34xy 令 得即点的坐标为，0y2xM)0,2(又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径1 r，CC)1,0(则，.5|MC15|rMCMN（5 5）直线参数方程中的参数的几何意义）直线参数方程中的参数的几何意义例例5、已知直线l经过点，倾斜角6，)1,1(P写出直线l的参数方程;设l与圆422 yx相交与两点,A B，求点P到,A B两点的距离之积.解 （1）直线的参数方程为1cos61sin6xtyt ，即312112xtyt （2）把直线312112xtyt 代入422 yx，得22231(1)(1)4,(31)2022tttt，1 22t t ，则点P到,A B两点的距离之积为2 练习练习 1 1、求直线（）被曲线所截的弦长.tytx531541为参数t2cos()4解：将方程，分别化为普通方程：tytx5315412cos()4，圆心，半径为，3410 xy 022yxyx)21,21(C227圆心到直线的距离，弦长.101d571001212222drl（6 6）、参数方程与极坐标的简单应用、参数方程与极坐标的简单应用参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.例例 6 6、已知的三个顶点的极坐标分别为，ABC)3,5(A)2,5(B)3,34(C判断的形状，并计算其面积.ABC分析：判断的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容ABC易，不妨先计算边长.解析：如图，对于，3AOB65BOC65AOC又，由余弦定理得：5|OBOA34|OC 2222cosACOAOCOA OCAOC，22554 32 5 4 3 cos6 133，同理，133|AC133|BC|BCAC 所以为等腰三角形，又，ABC5|OBOAAB所以边上的高，AB22113 322hACAB.113 365 35224ABCS练习练习 1 1、如图，点在直线上移动，等腰的顶角为（，A5xOPAOPA0120OP按顺时针方向排列），求点的轨迹方程.AP解析：取为极点，正半轴为极轴，建立极坐标系，Ox则直线的极坐标方程为，5xcos5设，因点在直线上，),(00A),(PAcos5 为等腰三角形，00cos51 OPAQ且，而，0120OPAA|OP0|OA以及，30POA，把代入，003302，且得点的轨迹的极坐标方程为：.P3 cos305 三、趁热打铁三、趁热打铁1把方程化为以 参数的参数方程是（）1xy t B A O x C y P A O x 8A B C D 1212xtytsin1sinxtytcos1cosxtyttan1tanxtyt解析：D，取非零实数，而 A，B，C 中的的范围有各自的限制.1xy xx2曲线与坐标轴的交点是（）25()1 2xttyt 为参数A B C D21(0,)(,0)52、11(0,)(,0)52、(0,4)(8,0)、5(0,)(8,0)9、解析：B，当时，而，即，得与轴的交点为；0 x 25t 1 2yt 15y y1(0,)5当时，而，即，得与轴的交点为.0y 12t 25xt 12x x1(,0)23直线被圆截得的弦长为（）12()2xttyt 为参数229xyA B C D 12512559559105解析：B ，把直线代入21512521155xtxtytyt 122xtyt 得，229xy222(12)(2)9,5840tttt，弦长为2212121 281612()4()555ttttt t1212555tt4若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（）(3,)PmF24()4xttyt 为参数PFA B C D 2345解析：C 抛物线为，准线为，为到准线的距离，24yx1x PF(3,)Pm1x 即为.45已知曲线上的两点对应的参数分别为，22()2xpttpypt 为参数,为正常数,M N12,tt和9，那么=_。120tt且MN解析：，显然线段垂直于抛物线的对称轴。即轴，14p tMNx121222MNp ttpt6圆的参数方程为，则此圆的半径为_。3sin4cos()4sin3cosxy为参数解析：由得 故半径为 5.3sin4cos4sin3cosxy2225xy7分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：1()cos21()sin2ttttxeeyee（1）为参数，为常数；（2）为参数，为常数；tt解：（1）当时，即；0t 0,cosyx1,0 xy且 当时，0t cos,sin11()()22ttttxyeeee 而，即；22sincos12222111()()44ttttxyeeee（2）当时，即；,kkZ0y 1()2ttxee 1,0 xy且当时，即；,2kkZ0 x 1()2ttyee 0 x 当时，得，即,2kkZ2cos2sinttttxeeyee222cossin222cossinttxyexye得，即.222222()()cossincossinttxyxyee22221cossinxy8过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，)0,210(P22121xy,M N10求的值及相应的的值.PMPN解：设直线为，代入曲线并整理得10cos()2sinxttyt为参数，则，223(1 sin)(10cos)02tt1 22321 sinPMPNt t所以当时，即，的最小值为，此时.2sin12PMPN3429参数方程表示什么曲线？cos(sincos)()sin(sincos)xy为参数解：显然，则，tanyx222222111,coscos1yyxx 2222112tancossincossin2coscos221tanx即，222222222111,(1)12111yyyyxxxxyyyxxxxx得，即.21yyxxx220 xyxy四、温故强化四、温故强化1下列在曲线上的点是（）sin2()cossinxy为参数A B C D1(,2)23 1(,)4 2(2,3)(1,3)解析：B 转化为普通方程：，当时，.21yx 34x 12y 2将参数方程化为普通方程为（）222sin()sinxy 为参数A B C D2yx2yx2(23)yxx2(01)yxy解析：C 转化为普通方程：，但是.2yx2,3,0,1xy113.若，则|AB|=_，_（其中 O 是极点）)3,3(A)6,3(BAOBS解析：在极坐标系中画出点 A、B，易得，0150AOB在中，由余弦定理得：，AOBAOBOBOAOBOAABcos2222，)26(23323150cos33233|022 ABB 所以.49150sin3321sin21AOBOBOASOAB4直线被圆截得的弦长为_122()112xttyt 为参数224xy解析：直线为，圆心到直线的距离，弦长的一半为1410 xy 1222d，得弦长为.222142()22145.直线（t 为参数）上任一点 P 到的距离为_xxtyyt003Pxy000，解析：所求距离为 2|t|（把直线的参数方程化为标准形式）6.若、是椭圆的焦点，为椭圆上不在 轴上的点，则的重心FFxyPxPF FG12221225161的轨迹方程为_。解析：设，而，),(yxG)sin4,cos5(P)0,3(1F)0,3(2F 由重心坐标公式，得：（为参数），3sin4300sin43cos5333cos5yx 消参，得点 G 的轨迹方程为.925916122xy7.若方程的曲线是椭圆，求实数的取值范围.0cos6sin3cos22mm12解析：将方程两边同乘以，化为：，0cos6)sin(3)cos(22m即，整理得，若方程表示椭圆，06322xymx139)3(222mymmx则须满足：，.mmmmm3903092230mm且，330Um8.求椭圆上一点与定点之间距离的最小值.14922yxP)0,1(解析：（先设出点的坐标，建立有关距离的函数关系），设，则到P)sin2,cos3(PP定点的距离为：)0,1(5cos6cos5)0sin2()1cos3()(222d，当时，取最小值.516)53(cos5253cos)(d554 9在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值.1121622yx2120 xy解析：设椭圆的参数方程为，4cos2 3sinxy4cos4 3sin125d 4 54 5cos3sin32cos()3553 当时，此时所求点为.cos()13min4 55d(2,3)10求直线和直线的交点的坐标，及点11:()53xtltyt 为参数2:2 30lxyPP与的距离.(1,5)Q13解析：将代入得，153xtyt 2 30 xy2 3t 得，而，得.(12 3,1)P(1,5)Q22(2 3)64 3PQ