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第一章习题
1.1沿水平方向前进的枪弹，通过某一距离s的时间为t，而通过下一等距离s的时间为.试证明枪弹的减速度（假定是常数）为
1.2 某船向东航行，速率为每小时15km,在正午某一灯塔。另一船以同样速度向北航行，在下午1时30分经过此灯塔。问在什么时候，两船的距离最近？最近的距离是多少？
1.3 曲柄以匀角速绕定点O转动。此曲柄借连杆AB使滑块B沿直线运动。求连杆上点的轨道方程及速度。设，。
第1.3题图
1.4 细杆绕点以角速转动，并推动小环C在固定的钢丝上滑动。图中的为已知常数，试求小球的速度及加速度的量值。
1.5 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：
式中及为常数，试求运动开始秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。
1.6 一质点沿位失及垂直于位失的速度分别为及，式中及是常数。试证其沿位矢及垂直于位失的加速度为
1.7 试自
出发，计算及。并由此推出径向加速度及横向加速度。
1.8 直线在一给定的椭圆平面内以匀角速绕其焦点转动。求此直线与椭圆的焦点的速度。已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为
式中为椭圆的半长轴，为偏心率，都是常数。
1.9 质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量v与加速度矢量a正交。
1.10 一质点沿着抛物线运动其切向加速度的量值为法向加速度量值的倍。如此质点从正焦弦的一端以速度出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率。
1.11 质点沿着半径为的圆周运动，其加速度矢量与速度矢量间的夹角保持不变。求质点的速度随时间而变化的规律。已知出速度为。
1.12 在上题中，试证其速度可表为
式中为速度矢量与轴间的夹角，且当时，。
1.13 假定一飞机从处向东飞到处，而后又向西飞回原处。飞机相对于空气的速度为，而空气相对于地面的速度为。与之间的距离为。飞机相对于空气的速度保持不变。
假定，即空气相对于地面是静止的，试证来回飞行的总时间为
假定空气速度为向东（或向西），试证来回飞行的总时间为
假定空气的速度为向北（或向南），试证来回飞行的总时间为
1.14 一飞机在静止空气中每小时的速率为100千米。如果飞机沿每边为6千米的正方形飞行，且风速为每小时28千米，方向与正方形的某两边平行，则飞机绕此正方形飞行一周，需时多少？
1.15 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2米的甲板，篷高4米。但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3米。如果雨点的速度为8米/秒，求轮船的速率。
1.16 宽度为的河流，其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为。一小船以相对速度沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。
1.17 小船被水冲走后，由一荡桨人以不变的相对速度朝岸上点划回。假定河流速度沿河宽不变，且小船可以看成一个质点，求船的轨迹。
1.18 一质点自倾角为的斜面上方点，沿一光滑斜槽下降。如欲使此质点到达斜面上所需的时间为最短，问斜槽与竖直线所成之角应为何值？
1.19 将质量为的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即。如上抛时的速度为，试证此质点又落至投掷点时的速度为
1.20 一枪弹以仰角、初速度自倾角为的斜面的下端发射。试证子弹击中斜面的地方和发射点的距离（沿斜面量取）及此距离的最大值分别为
。
1.21 将一质点以初速抛出，与水平线所成之角为。此质点所受到的空气阻力为其速度的倍，为质点的质量，为比例系数。试求当此质点的速度与水平线所成之角又为时所需的时间。
1.22 如向互相垂直的匀强电磁场、中发射一电子，并设电子的初速度与及垂直。试求电子的运动规律。已知此电子所受的力为，式中为电场强度，为电子所带的电荷，为任一瞬时电子运动的速度。
1.23 在上题中，如
，则电子的轨道为在竖直平面的抛物线；
如，则电子的轨道为半径等于的圆。试证明之。
1.24 质量为与的两质点，为一不可伸长的轻绳所联结，绳挂在一光滑的滑轮上。在的下端又用固有长度为、倔强系数为的弹性绳挂上另外一个质量为的质点。在开始时，全体保持竖直，原来的非弹性绳拉紧，而有弹性的绳则处在固有的长度上。由此静止状态释放后，求证这运动是简谐的，并求出其振动周期及任何时刻两段绳中的张力及。
1.25 滑轮上系一不可伸长的绳，绳上悬一弹簧，弹簧另一端挂一重为的物体。当滑轮以匀速转动时，物体以匀速下降。如将滑轮突然停住，试求弹簧的最大伸长及最大张力。假定弹簧受的作用时的静伸长为。
1.26 一弹性绳上端固定，下端悬有及两质点。设为绳的固有长度，为加后的伸长，为加后的伸长。今将任其脱离而下坠，试证质点在任一瞬时离上端的距离为
1.27 一质点自一水平放置的光滑固定圆柱面凸面的最高点自由滑下。问滑至何处，此质点将离开圆柱面？假定圆柱体的半径为。
1.28 重为的不受摩擦而沿半长轴为、半短轴为的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直的。如小球自长2轴的端点开始运动时，其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。
1.29 一质量为的质点自光滑圆滚线的尖端无初速地下滑。试证在任何一点的压力为，式中为水平线和质点运动方向间的夹角。已知圆滚线方程为
1.30 在上题中，如圆滚线不是光滑的，且质点自圆滚线的尖端自由下滑，达到圆滚线的最低点时停止运动，则摩擦系数应满足下式
试证明之。
1.31 假定单摆在有阻力的媒质中振动，并假定振幅很小，故阻力与成正比，且可写为，式中是摆锤的质量，为摆长，为比例系数。试证当＜时，单摆的振动周期为
1.32 光滑楔子以匀加速度沿水平面运动。质量为的质点沿楔子的光滑斜面滑下。求质点的相对加速度和质点对楔子的压力。
1.33 光滑钢丝圆圈的半径为，其平面为竖直的。圆圈上套一小环，其中为。如钢丝圈以匀加速度沿竖直方向运动，求小环的相对速度及圈对小环的反作用力。
1.34 火车质量为，其功率为常数。如果车所受的阻力为常数，则时间与速度的关系为：
如果和速度成正比，则
式中为初速度，试证明之。
1.35 质量为的物体为一锤所击。设锤所加的压力，是均匀地增减的。当在冲击时间的一半时，增至极大值，以后又均匀减小至零。求物体在各时刻的速率以及压力所作的总功。
1.36 检验下列的力是否是保守力。如是，则求出其势能。
，，
1.37 根据汤川核力理论，中子与质子之间的引力具有如下形式的势能：
＜0
试求
中子与质子间的引力表达式，并与平方反比定律相比较；
求质量为的粒子作半径为的圆运动的动量矩及能量。
1.38 已知作用在质点上的力为
式中系数都是常数。问这些应满足什么条件，才有势能存在？如这些条件满足，试计算其势能。
1.39 一质点受一与距离次方成反比的引力作用在一直线上运动。试证此质点自无穷远到达时的速率和自静止出发到达时的速率相同。
1.40 一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动，求其达到点所需的时间。
1.41 试导出下面有心力量值的公式：
式中为质点的质点，为质点到力心的距离，常数，为力心到轨道切线的垂直距离。
1.42 试利用上题的结果，证明：
如质点走一圆周，同时力心位于此圆上，则力与距离五次方成反比。
如一质点走一对数螺线，而其质点即力心，则力与距离立方成反比。
1.43 质点所受的有心力如果为
式中及都是常数，并且＜，则其轨道方程可写成
试证明之。式中（为积分常数）。
1.45 如及为质点在远日点及近日点处的速率，试证明
﹕=﹕
1.46 质点在有心力作用下运动。此力的量值为质点到力心距离的函数，而质点的速率则与距离成反比，即。如果＞，求点的轨道方程。设当时，。
1.47 某彗星的轨道为抛物线，其近日点距离为地球轨道（假定为圆形）半径的。则此彗星运行时，在地球轨道内停留的时间为一年的
倍，试证明之。
试再证任何作抛物线轨道的彗星停留在地球轨道（仍假定为圆形）内的最长时间为一年的倍，或约为76日。
1.48 试根据§1.9中所给出的我国第一颗人造地球卫星的数据，求此卫星在近地点和远地点的速率及以及它绕地球运行的周期（参看79页）。
1.49 在行星绕太阳的椭圆运动中，如令，式中为周期，为半长轴，为偏心率，为一个新的参量，在天文学上叫做偏近点角。试由能量方程推出下面的开普勒方程：
1.50 质量为的质点在有心斥力场中运动，式中为质点到力心的距离，为常数。当质点离很远时，质点的速度为，而其渐进性与的垂直距离则为（即瞄准距离）。试求质点与的最近距离。
第一章习题解答
1.1 由题可知示意图如题1.1.1图:
设开始计时的时刻速度为,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为.
则有:
由以上两式得
再由此式得
证明完毕.
1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1.2.1图.
设船经过小时向东经过灯塔,则向北行驶的船经过小时经过灯塔任意时刻船的坐标
，
船坐标，
则船间距离的平方
即
对时间求导
船相距最近，即，所以
即午后45分钟时两船相距最近最近距离
km
1.3 解 如题1.3.2图
由题分析可知，点的坐标为
又由于在中，有（正弦定理）所以
联立以上各式运用
由此可得
得
得
化简整理可得
此即为点的轨道方程.
（2）要求点的速度，分别求导
其中
又因为
对两边分别求导
故有
所以
1.4 解 如题1.4.1图所示，
绕点以匀角速度转动，在上滑动，因此点有一个垂直杆的速度分量
点速度
又因为所以 点加速度
1.5 解 由题可知，变加速度表示为
由加速度的微分形式我们可知
代入得
对等式两边同时积分
可得 ：
（为常数）
代入初始条件：时，，故
即
又因为
所以
对等式两边同时积分，可得：
1.6 解 由题可知质点的位矢速度
①
沿垂直于位矢速度
又因为 ， 即
即
（取位矢方向，垂直位矢方向）
所以
故
即 沿位矢方向加速度
垂直位矢方向加速度
对③求导
对④求导
把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得
1.7 解 由题可知
①②
对①求导
③
对③求导
④
对②求导
⑤
对⑤求导
⑥
对于加速度，我们有如下关系见题1.7.1图
即
⑦--⑧
对⑦⑧俩式分别作如下处理：⑦，⑧
即得
⑨--⑩
⑨+⑩得
⑾
把④⑥代入 ⑾得
同理可得
1.8解 以焦点为坐标原点，运动如题1.8.1图所示]
则点坐标
对两式分别求导
故
如图所示的椭圆的极坐标表示法为
对求导可得（利用）又因为
即
所以
故有
即
（其中为椭圆的半短轴）
1.9证 质点作平面运动，设速度表达式为
令为位矢与轴正向的夹角，所以
所以
又因为速率保持为常数，即
为常数
对等式两边求导
所以
即速度矢量与加速度矢量正交.
1.10解 由题可知运动轨迹如题1.10.1图所示，
则质点切向加速度
法向加速度，而且有关系式
①
又因为
②
所以
③
④
联立①②③④
⑤
又
把两边对时间求导得
又因为
所以
⑥
把⑥代入⑤
既可化为
对等式两边积分
所以
1.11解 由题可知速度和加速度有关系如图1.11.1所示
两式相比得
即
对等式两边分别积分
即
此即质点的速度随时间而变化的规律.
1.12证 由题1.11可知质点运动有关系式
①②
所以 ，联立①②，有
又因为
所以 ，对等式两边分别积分，利用初始条件时，
1.13 证（）当，即空气相对地面上静止的，有.式中
质点相对静止参考系的绝对速度， 指向点运动参考系的速度， 指运动参考系相对静止参考系的速度.
可知飞机相对地面参考系速度：=，即飞机在舰作匀速直线运动.所以飞机来回飞行的总时间
.
（）假定空气速度向东，则当飞机向东飞行时速度
飞行时间
当飞机向西飞行时速度
飞行时间
故来回飞行时间
即
同理可证，当空气速度向西时，来回飞行时间
（c）假定空气速度向北.由速度矢量关系如题1.13.1图
所以来回飞行的总时间
同理可证空气速度向南时，来回飞行总时间仍为
1.14解 正方形如题1.14.1图。
由题可知设风速,,当飞机
，
故飞机沿此边长6正方形飞行一周所需总时间
1.15 解 船停止时，干湿分界线在蓬前3，由题画出速度示意图如题.15.1图
故
又因为，所以
由图可知
所以
=8
1.16解 以一岸边为轴，垂直岸的方向为轴.建立如题1.16.1图所示坐标系.
所以水流速度
又因为河流中心处水流速度为
所以。当时，即
①--②
得，两边积分
③
联立②③，得
④
同理，当时，即
⑤
由④知，当时，代入⑤得
有
，
所以船的轨迹
船在对岸的了；靠拢地点，即时有
1.17 解 以为极点，岸为极轴建立极坐标如题.17.1图.
船沿垂直于的方向的速度为，船沿径向方向的速度为和沿径向的分量的合成，即
①--②
②/①得 ，对两积分：
设为常数，即
代入初始条件时，.设有得
1.18 解 如题1.18.1图
质点沿下滑，由受力分析我们可知质点下滑的加速度为.设竖直线，斜槽，易知，由正弦定理
即
①
又因为质点沿光滑面下滑，即质点做匀速直线运动.
所以
②
有①②
欲使质点到达点时间最短，由可知，只需求出的极大值即可，令
把对求导
极大值时，故有
由于是斜面的夹角，即
所以
1.19 解 质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段.取向上为正各力示意图如题1.19.1图，
上升时 下降时
题1.19.1图
则两个过程的运动方程为：
上升
①
下降：
②
对上升阶段:
即
对两边积分
所以
③
即质点到达的高度.
对下降阶段：
即
④
由③=④可得
1.20解 作子弹运动示意图如题1.20.1图所示.
题1.20.1图
水平方向不受外力，作匀速直线运动有
①
竖直方向作上抛运动，有
②
由①得
③
代入化简可得
因为子弹的运动轨迹与发射时仰角有关，即是的函数，所以要求的最大值.把对求导，求出极值点.
即
所以，代入的表达式中可得：
此即为子弹击中斜面的地方和发射点的距离的最大值
1.21 解 阻力一直与速度方向相反，即阻力与速度方向时刻在变化，但都在轨道上没点切线所在的直线方向上，故用自然坐标比用直角坐标好.
轨道的切线方向上有：
①
轨道的法线方向上有：
②
由于角是在减小的，故
③
由于初末状态由速度与水平方向夹角来确定，故我们要想法使①②变成关于的等式
由①
即
④
把代入可得
⑤
用④⑤可得
即，两边积分得
⑥
代入初始条件时，即可得
代入⑥式，得
⑦
又因为
所以
⑧
把⑦代入⑧
积分后可得
1.22 各量方向如题1.22.1图.
电子受力
则电子的运动微分方程为
②-③-④
由②，即
⑤
代入③整理可得
⑥
对于齐次方程的通解
非齐次方程的特解
所以非齐次方程的通解
代入初始条件：时，得
时，得,故
⑦
同理，把⑦代入⑤可以解出
把⑦代入⑤
代入初条件时，，得.所以
）
1.23证 （a）在1.22题中，时，则电子运动受力电子的运动微分方程
①-②-③
对②积分
④
对④再积分
又
故
（为一常数）
此即为抛物线方程.
当时
则电子受力
则电子的运动微分方程为
①-②-③
同1.22题的解法，联立①-②解之，得
于是
及电子轨道为半径的圆.
1.24 解以竖直向下为正方向，建立如题1.24.2图所示坐标，
题1.24.1图 题1.24.2图
以①开始所在位置为原点.设①-②-③处物体所处坐标分别为，则3个物体运动微分方程为：
①-②-③
由②于③与、之间是，即不可伸长轻绳连接，所以有，即
④
之间用倔强系数弹性绳联结.
故有
⑤
由①⑤得
⑥
由②③④得
⑦
代入①，有
⑧
代入⑥，有
⑨
此即为简谐振动的运动方程.
角频率
所以周期
解⑨得
以初始时③为原点，时，.所以
⑩
代入①得
联立-③④⑧⑩得
1.25解，选向下为正方向，滑轮刚停时物体所在平衡位置为坐标原点.建立如题.25.1图所示坐标系.
题2.15.1图
原点的重力势能设为0.设弹簧最大伸长.整个过程中，只有重力做功，机械能守恒：
①-②
联立①②得
弹簧的最大张力即为弹簧伸长最长时的弹力，为最大张力，即
1.26解 以绳顶端为坐标原点.建立如题1.26.1图所示坐标系.
题1.26.1图
设绳的弹性系数为,则有
①
当 脱离下坠前，与系统平衡.当脱离下坠前，在拉力作用下上升，之后作简运.运动微分方程为
②
联立①② 得
③
齐次方程通解
非齐次方程③的特解
所以③的通解
代入初始条件：时，得；故有
即为在任一时刻离上端的距离.
1.27解对于圆柱凸面上运动的质点受力分析如图1-24.
运动的轨迹的切线方向上有:
①
法线方向上有：
②
对于①有（为运动路程，亦即半圆柱周围弧长）即
又因为
即
③
设质点刚离开圆柱面时速度，离开点与竖直方向夹角，对③式两边积分
④
刚离开圆柱面时即
⑤
联立④⑤ 得
即为刚离开圆柱面时与竖直方向夹角.
1.28解 建立如题1.28.1图所示直角坐标.
椭圆方程
①
从滑到最低点，只有重力做功.机械能守恒.即
②
设小球在最低点受到椭圆轨道对它的支持力为则有：
③
为点的曲率半径.
的轨迹：
得
；
又因为
所以
故根据作用力与反作用力的关系小球到达椭圆最低点对椭圆压力为
方向垂直轨道向下.
1.29 解质点作平面直线运动，运动轨迹方程为
①-②
由曲线运动质点的受力分析，我们可以得到：
③-④
因为曲线上每点的曲率
⑤
所以
⑥
⑦
把⑥⑦代入曲率公式⑤中
所以
⑧
由④
即，又有数学关系可知，即所以
⑨
把⑧⑨代入①
1.30 证当题1.29所述运动轨迹的曲线不光滑时，质点的运动方程为：
①②③④⑤
由1.29题可知
②
由数学知识知
③
把①③④代入②
⑤
这是一个非齐次二阶微分方程.解为
当时，得
即
当，时，即
故有
1.31证：单摆运动受力分析如图1.31.1图所示。
因为
①
即
所以
又单摆摆角很小，有=
上式即化为：
②
此即为一个标准的有阻尼振动方程。
设为固有频率，又由于，即阻力很小的情况。方程②的解为
所以单摆振动周期
结论得证。
1.32 解：设楔子的倾角为，楔子向右作加速度的匀加速运动，如图1.32.1图。
我们以楔子为参考系，在非惯性系中来分析此题，则质点受到一个大小为的非惯性力，方向与相反。
质点在楔子这个非惯性系中沿斜面 下滑，沿斜面的受力分析：
①
垂直斜面受力平衡：
②
联立①②得
此即楔子相对斜面的加速度。
对斜面的压力与斜面对的支持力等大反方向。同理可得当楔子向左作加速度为的匀加速运动时，质点的和楔子对斜面的压力为
综上所述可得
1.33
解 设钢丝圆圈以加速度向上作匀加速运动如题1.33.1图，
我们以钢丝圆圈作参考系，在圆圈这个非惯性系里来分析此题。
圆圈上的小环会受到一个大小为方向与相反的惯性力的作用，则圆环运动到圆圈上某点，切线方向受力分析：
①
法线方向受力分析有：
②
对①
两边同乘以
即
两边同时积分
③
把③代入②可解得
同理可解出，当钢丝圆圈以加速度竖直向下运动时小环的相对速度
综上所述，小环的相对速度
圈对小环的反作用力
1.34证：（1）当火车所受阻力为常数时，因为功率与牵引力有如下关系：
所以
即
对两边积分
（2） 当阻力和速度成正比时，设=，为常数。同理由（1）可知
即
对两边积分
1.35 解 锤的压力是均匀增加的，设，为常数，由题意可知，得
，
所以
，
即
故
两边同时积分
得
，①
又因为当增至极大值后，又均匀减小到0，故此时有为常数，
所以
即
②
由①得
③
整个过程压力所做功
又因为
即
对上式两边分段积分
得
1．36
解 （a）保守力满足条件对题中所给的力的表达式 ，代入上式
即
所以此力是保守力，其势为
(b)同（a），
由
所以此力是保守力，则其势能为
1.37 解 （a）因为质子与中子之间引力势能表达式为
故质子与中子之间的引力
（b）质量为的粒子作半径为的圆运动。
动量矩
由（a）知
提供粒子作圆周运动的向心力，方向是沿着径向，
故
当半径为的圆周运动
两式两边同乘以
即
又因为
有
做圆周运动的粒子的能量等于粒子的动能和势能之和。
所以
1.38 解 要满足势能的存在，即力场必须是无旋场，亦即力为保守力，所以
即
得
为常数满足上式关系，才有势能存在。
势能为：
1.39 证 质点受一与距离成反比的力的作用。
设此力为
①
又因为
即
②
当质点从无穷远处到达时，对②式两边分别积分：
当质点从静止出发到达时，对②式两边分别积分：
得
所以质点自无穷远到达时的速率和自静止出发到达时的速率相同。
1.40 解由题可知（因为是引力，方向与径向相反所以要有负号）
由运动微分方程
即
①
对上式两边积分
故
又因为与的方向相反，故取负号。
即
1.41证 画出有心力场中图示如题1.41.图，
我们采用的是极坐标。所以
又由于
常数
即
由图所示关系，又有，故即
由动能定理
沿方向
得
1.42 证 （）依据上题结论，我们仍然去极坐标如题1.42.1图。
质点运动轨迹为一圆周，则其极坐标方程为
①
由①②得
②
即
③
故
即力与距离5次方成正比，负号表示力的方向与径向相反。
（）质点走一对数螺旋线，极点为力心，我们仍采用极坐标。对数螺旋线为常数。有
根据题1.41，常数，有
故得证。
1.43证 由毕耐公式
质点所受有心力做双纽线运动
故
故
1.44证 由毕耐公式
将力带入此式
因为
所以
即
令
上式化为
这是一个二阶常系数废气次方程。
解之得
微积分常数，取，故
有
令
所以
1.45 证 由题意可知，质点是以太阳为力心的圆锥曲线，太阳在焦点上。
轨迹方程为
在近日点处
在远日点处
由角动量守恒有
所以
1.46解 因为质点速率
所以
又由于
即
又因为
所以
两边积分
即
1.47 证（）设地球轨道半径为。则彗星的近日点距离为。圆锥曲线的极坐标方程为
彗星轨道为抛物线，即。近日点时。故近日点有
即
①
又因为
所以
②
（彗星在单位时间内矢径扫过的面积）
扫过扇形面积的速度
③
又因为
故
两边积分
④
从数学上我们可以得到两轨道交点为地球轨道半径处。
即
即
⑤
又因为
所以
⑥
把⑤⑥代入④（ ⑥式代入时取“+”即可）
故彗星在地球轨道内停留的时间为
⑦
设地球绕太阳运动一周的时间为。
因为假定地球运动轨道为圆形，所以
又由于，有
地球绕太阳运动单位时间内矢径扫过的面积。
扫过扇形速度
⑧
（）由证明（）知
彗星在地球轨道内停留时间
对此式求极大值，即对求导，使
即
即
得
验证
故为极大值，代入⑧式可知
1.48 解 由§1.9给出的条件：
人造地球卫星近、远点距离分别为
地球半径
有椭圆运动中的能量方程可知：
①
②
为卫星运行的椭圆轨道的长轴
把代入①②有
近地点速率
远地点速率
运动周期
（参见1.47）
其中为运动轨道的半长轴
所以
1.49 证 由行星绕太阳作椭圆运动的能量方程为
为椭圆的半长轴。
令
又因为
，
上式化为：
因为
即
所以
①
又因为行星椭圆轨道运动周期
即
常数，
故
又因为
为正焦弦的一半
所以
②
由题意可知
即
③
把②③代入①可得
化简可得
即
两边积分，由题设
即
1.50解 质点在有心力场中运动，能量和角动量均守恒。无穷远处势能为零。
所以
①
②
任意一处
由②代入①
所以
第二章 质点组力学
第二章思考题
2.1一均匀物体假如由几个有规则的物体并合（或剜去）而成，你觉得怎样去求它的质心？
2.2一均匀物体如果有三个对称面，并且此三对称面交于一点，则此质点即均匀物体的质心，何故？
2.3在质点动力学中，能否计算每一质点的运动情况？假如质点组不受外力作用，每一质点是否都将静止不动或作匀速直线运动？
2.4两球相碰撞时，如果把此两球当作质点组看待，作用的外力为何？其动量的变化如何？如仅考虑任意一球，则又如何？
2.5水面上浮着一只小船。船上一人如何向船尾走去，则船将向前移动。这是不是与质心运动定理相矛盾？试解释之。
2.6为什么在碰撞过程中，动量守恒而能量不一定守恒？所损失的能量到什么地方去了？又在什么情况下，能量才也守恒？
2.7选用质心坐标系，在动量定理中是否需要计入惯性力？
2.8轮船以速度行驶。一人在船上将一质量为的铁球以速度向船首抛去。有人认为：这时人作的功为
你觉得这种看法对吗？如不正确，错在什么地方？
2.9秋千何以能越荡越高？这时能量的增长是从哪里来的？
2.10在火箭的燃料全部燃烧完后，§2.7（2）节中的诸公式是否还能应用？为什么？
2.11多级火箭和单级火箭比起来，有哪些优越的地方？
第二章思考题解答
2.1.答：因均匀物体质量密度处处相等，规则形体的几何中心即为质心，故先找出各规则形体的质心把它们看作质点组，然后求质点组的质心即为整个物体的质心。对被割去的部分，先假定它存在，后以其负质量代入质心公式即可。
2.2.答：物体具有三个对称面已足以确定该物体的规则性，该三平面的交点即为该物体的几何对称中心，又该物体是均匀的，故此点即为质心的位置。
2.3.答：对几个质点组成的质点组，理论上可以求每一质点的运动情况，但由于每一质点受到周围其它各质点的相互作用力都是相互关联的，往往其作用力难以预先知道；再者，每一质点可列出三个二阶运动微分方程，各个质点组有个相互关联的三个二阶微分方程组，难以解算。但对于二质点组成的质点组，每一质点的运动还是可以解算的。
若质点组不受外力作用，由于每一质点都受到组内其它各质点的作用力，每一质点的合内力不一定等于零，故不能保持静止或匀速直线运动状态。这表明，内力不改变质点组整体的运动，但可改变组内质点间的运动。
2.4.答：把碰撞的二球看作质点组，由于碰撞内力远大于外力，故可以认为外力为零，碰撞前后系统的动量守恒。如果只考虑任一球，碰撞过程中受到另一球的碰撞冲力的作用，动量发生改变。
2.5.答：不矛盾。因人和船组成的系统在人行走前后受到的合外力为零（忽略水对船的阻力），且开船时系统质心的初速度也为零，故人行走前后系统质心相对地面的位置不变。当人向船尾移动时，系统的质量分布改变，质心位置后移，为抵消这种改变，船将向前移动，这是符合质心运动定理的。
2.6.答：碰撞过程中不计外力，碰撞内力不改变系统的总动量，但碰撞内力很大，使物体发生形变，内力做功使系统的动能转化为相碰物体的形变能（分子间的结合能），故动量守恒能量不一定守恒。只有完全弹性碰撞或碰撞物体是刚体时，即相撞物体的形变可以完全恢复或不发生形变时，能量也守恒，但这只是理想情况。
2.7.答：设质心的速度，第个质点相对质心的速度，则，代入质点组动量定理可得这里用到了质心运动定理。故选用质心坐标系，在动量定理中要计入惯性力。但质点组相对质心的动量守恒。当外力改变时，质心的运动也改变，但质点组相对于质心参考系的动量不变，即相对于质心参考系的动量不受外力影响，这给我们解决问题带来不少方便。值得指出：质点组中任一质点相对质心参考系有 ，对质心参考系动量并不守恒。
2.8.答不对.因为人抛球前后球与船和人组成的系统的动量守恒，球抛出后船和人的速度不再是。设船和人的质量为，球抛出后船和人的速度为，则 球出手时的速度应是。人做的功应等于系统动能的改变，不是只等于小球动能的改变，故人做的功应为显然与系统原来的速度无关。
2.9.答：秋千受绳的拉力和重力的作用，在运动中绳的拉力提供圆弧运动的向心力，此力不做功，只有重力做功。重力是保守力，故重力势能与动能相互转化。当秋千荡到铅直位置向上去的过程中，人站起来提高系统重心的位置，人克服重力做功使系统的势能增加；当达到最高点向竖直位置折回过程中，人蹲下去，内力做功降低重心位置使系统的动能增大，这样循环往复，系统的总能不断增大，秋千就可以越荡越高。这时能量的增长是人体内力做功，消耗人体内能转换而来的。
2.10.答：火箭里的燃料全部烧完后，火箭的质量不再改变，然而质量不变是变质量物体运动问题的特例，故§2.7（2）中诸公式还能适用，但诸公式都已化为恒质量系统运动问题的公式。
2.11.答：由知，要提高火箭的速度必须提高喷射速度或增大质量比。由于燃料的效能，材料的耐温等一系列技术问题的限制，不能过大；又由于火箭的外壳及各装置的质量相当大，质量比也很难提高，故采用多级火箭，一级火箭的燃料燃完后外壳自行脱落减小火箭的质量使下一级火箭开始工作后便于提高火箭的速度。
若各级火箭的喷射速度都为，质量比分别为，各级火箭的工作使整体速度增加，则火箭的最后速度
因每一个都大于1，故可达到相当大的值。
但火箭级数越多，整个重量越大，制造技术上会带来困难，再者级越高，质量比越减小，级数很多时，质量比逐渐减小趋近于1，速度增加很少。故火箭级数不能过多，一般三至四级火箭最为有效。
第二章习题.
2.1 求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为,所对的圆心角为2，并证半圆片的质心离圆心的距离为。
2.2 如自半径为的球上，用一与球心相距为的平面，切出一球形帽，求此球形冒的质心。
2.3 重为的人，手里拿着一个重为的物体。此人用与地平线成角的速度向前跳去，跳的距离增加了多少？
2.4 质量为的质点，沿倾角为的光滑直角劈滑下，劈的本身，质量为，又可在光滑水平面自由滑动。试求
质点水平方向的加速度；
劈的加速度；
劈对质点的反作用力；
水平面对劈的反作用力；
2.5 半径为，质量为的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速转动，求绕此轴的动量矩。
2.6 一炮弹的质量为，射出时的水平及竖直分速度为及。当炮弹达到最高点时，其内部的炸药产生能量，使此炸弹分为及两部分。在开始时，两者仍沿原方向飞行，试求它们落地时相隔的 距离，不计空气阻力。
2.7 质量为，半径为的光滑半球，其低面放在光滑的水平面上。有一质量为的 质点沿此半球面滑下。设质点的初位置与球心的连线和竖直向上的直线间所成之角为，并且起始时此系统是静止的，求此质点滑到它与球心的连线和竖直向上直线间所成之角为时之值。
2.8 一光滑球与另一静止的光滑球发生斜碰。如两者均为完全弹性体，且两球的质量相等，则两球碰撞后的速度互相垂直，试证明之。
2.9 一光滑小球与另一相同的静止小球相碰撞。在碰撞前，第一小球运动的方向与碰撞时两球的联心线成角。求碰撞后第一小球偏过的角度以及在各种值下角的最大值。设恢复系数为已知。
2.10 质量为的光滑球用一不可伸长的绳系于固定点。另一质量为的球以与绳成角的速度与正碰。试求与碰后开始运动的速度及。设恢复系数为已知。
2.11 在光滑的水平桌面上，有质量各为的两个质点，用一不可伸长的绳紧直相连，绳长为。设其中一质点受到一个为绳正交的冲量的作用，求证此后两质点各做圆滚线运动，且其能量之比为，式中为冲力作用的时间。
2.12 质量为的球以速度与质量为的静止球正碰。求碰撞后两球相对于质心的速度和又起始时，两球相对于质心的动能是多少？恢复系数为已知。
2.13 长为的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边缘垂直，此时链条的一半从桌上下垂。起始时，整个链条是静止的。试用两种不同的方法，求此链条的末端滑到桌子边缘时，链条的速度。
2.14 一柔软、无弹性、质量均匀的绳索，竖直地自高处下坠至地板上。如绳索的长度等于，每单位长度的质量等于。求当绳索剩在空中的长度等于＜时，绳索的速度及它对地板的压力。设开始时，绳索的速度为零，它的下端离地板的高度为。
2.15 机枪质量为M，放在水平地面上，装有质量为的子
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