2019年河南省重点中学中考数学模拟试卷(3月份)(解析版).doc

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2019 年河南省重点中学中考数学模拟试卷（ 3 月份）
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请把正确
答案的代号填在下表中．
1．下面的图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A ． B．
C． D．
2．下列事件为必然事件的是（ ）
A ．小王参加本次数学考试，成绩是 500 分
B．某射击运动员射靶一次，正中靶心
C．打开电视机， CCTV 第一套节目正在播放新闻
D．口袋中装有 2 个红球和 1 个白球，从中摸出 2 个球，其中必有红球
2
3．若 x＝1 是方程 ax + bx+c＝0 的解，则（ ）
A ．a+ b+ c＝1 B．a﹣b+ c＝0 C．a+b+ c＝0 D．a﹣b﹣c＝0
4．如图是一根空心方管，它的俯视图是（ ）
A ． B． C． D．
2
5．如图，在平面直角坐标系中，过点 A 且与 x 轴平行的直线交抛物线 y＝ （x+1）

于 B，C 两点，
若线段 BC 的长为 6，则点 A 的坐标为（ ）
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A ．（0，1） B．（0，4.5） C．（0，3） D．（0，6）
6．如图，在平面直角坐标系中， ⊙P 过 O（0，0），A（3，0），B（0，﹣4）三点，点 C 是 上
的点（点 O 除外），连接 OC，BC，则 sin∠OCB 等于（ ）
A ． B． C． D．
7．现有 6 张卡片，卡片的正面分别写有“我”“们”“的”“四”“十”“年”，它们除此之外完
全相同， 把这 6 张卡片背面朝上洗匀， 从中随机抽取两张， 则这两张卡片正面的汉字刚好组成 “我
们”的概率是（ ）
A ． B． C． D．
8．如图，斜面 AC 的坡度（ CD 与 AD 的比）为 1：2，AC＝ 米，坡顶有旗杆 BC，旗杆顶端 B
点与 A 点之间有一条彩带相连．若 AB＝13 米，则旗杆 BC 的高度为（ ）
A ． （ +1）米 B．5 米 C．9.5 米 D．12 米
9．已知直角三角形纸片的两直角边 AC 与 BC 的比为 3：4，首先将△ ABC 如图 1 所示折叠，使点 C
落在 AB 上，折痕为 BD，然后将△ ABD 如图 2 所示折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则
sin∠DEA 的值为（ ）
A ． B． C． D．
10．如图，在半径为 6 的⊙O 中，正六边形 ABCDEF 与正方形 AGDH 都内接于 ⊙O，则图中阴影部
分的面积为（ ）
A ．27﹣9 B．18 C．54﹣18 D．54
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11．若点 P（4，﹣5）和点 Q（a，b）关于原点对称，则 a 的值为 ．
12． 如图，△ ABC 与△A1B1C1 为位似图形，点 O 是它们的位似中心，位似比是 1：2，已知△ ABC
的面积为 3，那么△ A1B1C1 的面积是 ．
13．如图，正方形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，点 P 在劣弧 上不同于点 C 的任意一点，则∠ BPC
的度数是 度．
14．如图， 6 个形状、大小完全相同的菱形组成网格，已知菱形的一个角∠ O 为 60° ，A，B，C 都
在格点上，则 tan∠ABC 的值为 ．
15．如图，矩形 ABCD 的边长 AB＝3cm，AC＝3 cm，动点 M 从点 A 出发，沿 AB 以 1cm/s 的速度
向点 B 匀速运动，同时动点 N 从点 D 出发，沿DA 以 2cm/s 的速度向点 A 匀速运动．若△ AMN
与△ ACD 相似，则运动的时间 t为s．
三、解答题（本大题共8 个小题，满分 75 分）
16．（ 8 分）如图， AB为⊙ O 的直径， C、D 是⊙ O 上的两点，且 BD∥OC，求证： ＝ ．
17．（ 9 分）如图，△ ABC 由△ EDC绕C 点旋转得到， B、C、E 三点在同一条直线上，∠ ACD ＝∠
B．求证：△ ABC 是等腰三角形．
18．（ 9 分）如图，在一居民楼 AB 和塔 CD 之间有一棵树 EF，从楼顶 A处经过树顶 E 点恰好看到
塔的底部 D 点，且俯角 α为38°．从距离楼底 B 点 2 米的 P处经过树顶 E 点恰好看到塔的顶部
C 点，且仰角 β为28°．已知树高 EF＝8 米，求塔 CD 的高度．
（参考数据： sin38°≈ 0.6，cos38°≈ 0.8， tan38°≈ 0.8，sin28°≈ 0.5，cos28°≈ 0.9，tan28°
≈ 0.5）
19．（ 9 分）已知，如图所示直线 y＝kx+2（ k≠0）与反比例函数 y＝ （m≠0）分别交于点 P，与
y 轴、 x 轴分别交于点 A 和点 B，且 cos∠ABO＝ ，过P 点作 x 轴的垂线交于点 C，连接AC，
（1）求一次函数的解析式．
（2）若 AC 是△PCB 的中线，求反比例函数的关系式．
20．（9 分）有一家网红私人定制蛋糕店， 她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做 40 只蛋糕，
且每日做好的蛋糕全部订售一空．已知做 x 只蛋糕的成本为 R 元，售价为每只 P 元，且 R、P 与
x 的关系式为 R＝500+30 x，P＝170﹣2x，设她家每日获得的利润为 y 元．
（1）销售 x 只蛋糕的总售价为 元（用含 x 的代数式表示），并求 y 与 x 的函数关系式；
（2）当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为 1500 元？
（3）当每日做多少只蛋糕时，每日所获得的利润最大？最大日利润是多少元？
21．（10 分）如图，在△ ABC 中，AB＝8，∠CBA＝30° ，以 AB 为直径作半圆 O，半圆 O 恰好经
过点 C，点 D 在线段 AB 上运动，点 E 与点 D 关于 AC 对称， DF⊥DE 于点 D，并交 EC 的延长
线于点 F．
（1）求证： CE＝CF
（2）填空： ① 若 DF 与半圆 O 相交于点 P，则当点 D 与点 O 重合时， 的长为
② 在点 D 的运动过程中，当 EF 与半圆 O 相切时， EF 的长为 ．
2 2
﹣mb+ c． 22．（10 分）已知抛物线 y＝ax + bx+ c（a≠0）上的一点 A（m﹣b，n）（m≠b），且 n＝m
2
（1）若 a＝b，c＝0，求抛物线 y＝ax
+bx +c 与 x 轴的交点坐标
2
（2）若抛物线 y═ax
+bx+c 与 x 轴只有一个交点，求 b 与 c 的数量关系
2
（3）在（ 2）的条件下，若抛物线 y═ax
+bx+c 经过点（﹣ 1，0），则当 m 为何值时， n 有最小
值？
23．（11 分）若△ABC 绕点 A 逆时针旋转 α后，与△ADE 构成位似图形， 则我们称△ ABC 与△ ADE
互为“旋转位似图形”．
（1）知识理解：
如图 1，△ABC 与△ADE 互为“旋转位似图形”．
① 若 α＝25° ，∠ D＝100° ，∠ C＝28° ，则∠ BAE＝ ；
② 若 AD＝6，DE＝7，AB＝4，则 BC＝
（2）知识运用：
如图 2，在四边形 ABCD 中，∠ ADC ＝90° ， AE⊥BD 于点 E，∠DAC＝∠DBC ，求证：△ ACD
与△ABE 互为“旋转位似图形”．
（3）拓展提高：
如图 3，△ABG 为等边三角形，点 C 为 AG 的中点，点 F 是 AB 边上的一点，点 D 为 CF 延长线
上的一点，点 E 在线段 CF 上，且△ ABD 与△ ACE 互为“旋转位似图形”．若 AB＝6，AD＝4，
求 的值．
2019 年河南省重点中学中考数学模拟试卷（ 3 月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请把正确
答案的代号填在下表中．
1．【分析】 根据中心对称图形的概念和各图的特点解答即可求解．
【解答】 解： A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项正确；
故选： D．
【点评】 此题主要考查了中心对称图形，注意把握：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180
度后与原图重合．
2．【分析】 根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可．
【解答】 解： A、是不可能事件，故本选项错误；
B、是随机事件，故本选项错误；
C、是随机事件，故本选项错误；
D、是必然事件，故本选项正确；
故选： D．
【点评】 本题考查的是事件的分类，即事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件
又分为必然事件和不可能事件，熟知以上知识是解答此题的关键．
3．【分析】 一元二次方程的根就是一元二次方程的解， 就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；
即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将 x＝1 代入原方程可以求得 a、b、c 的关系．
2
【解答】 解：把 x＝1 代入 ax
+bx+c＝0，
可得： a+b+ c＝0；
故选： C．
【点评】 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
4．【分析】 俯视图是从物体的上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表
示．
【解答】 解：如图所示：俯视图应该是 ．
故选： B．
【点评】 本题考查了作图﹣三视图，注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．画物体的三
视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等
5．【分析】 设 A（0，b），B（x1，b），C（x2，b），把 y＝b 代入 y＝ （x+1）

2

2
得，x
+2x+1﹣
2
3b＝0，然后根据根与系数的关系，得出（﹣ 2）
﹣4（1﹣3b）＝36，解得即可．
【解答】 解：设 A（0，b），B（x1，b），C（x2，b），

2
把 y＝b 代入 y＝ （x+1）

2
得，x
+2x+1﹣3b＝0，
∴x1+x2＝﹣ 2，x1?x2＝1﹣3b，
∵BC＝6，
∴x2﹣x1＝6，

∴（x1+x2）

2
﹣4x1?x2＝36，
∴（﹣ 2）2﹣4（1﹣3b）＝36，
解得 b＝3，
∴A（0，3）
故选： C．
【点评】 本题考查了以及二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，平行于 x 轴上
的两点之间的距离，比较简单．
6．【分析】 连接 AB，由圆周角定理得出∠ OCB＝∠ OAB，求出 OA＝3，OB＝4，由勾股定理得出
AB＝5，则 sin∠OAB＝ ＝ ，即可得出结果．
【解答】 解：连接 AB，则∠ OCB＝∠ OAB，如图所示：
∵O（0，0），A（3，0），B（0，﹣4），
∴OA＝3，OB＝4，
在 Rt△AOB 中，AB＝ ＝ ＝5，
sin∠OAB＝ ＝ ，
∴sin∠OCB ＝ ；
故选： A．
【点评】 本题考查了圆周角定理、坐标与图形性质、勾股定理、三角函数等知识，熟练掌握圆周
角定理与勾股定理是关键．
7．【分析】 画树状图所有 30 种等可能的结果数，找出这两张卡片正面的汉字刚好组成“我们”的
结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】 解：画树状图为：
共有 30 种等可能的结果数，其中这两张卡片正面的汉字刚好组成“我们”的结果数为 2，
所以这两张卡片正面的汉字刚好组成“我们”的概率＝ ＝ ．
故选： A．
【点评】 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从
中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率．
8．【分析】 设 CD ＝x 米，根据坡度的定义用 x 表示出 AD，根据勾股定理列式求出 x，求出 AD、
CD 的长，根据勾股定理求出 BD，计算即可．
【解答】 解：设 CD＝x 米，
∵斜面 AC 的坡度为 1：2，
∴AD＝2x，

2
由勾股定理得， x
+（2x）

2
＝（ ）

2
，
解得， x＝ ，
∴CD＝x＝ ，AD＝2x＝5，
在 Rt△ABD 中，BD＝ ＝12，
∴BC＝BD﹣CD ＝9.5（米），
故选： C．
【点评】 本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的定义、勾股定理是解题
的关键．
9．【分析】 设 AC＝3x，BC＝4x，由勾股定理可求 AB＝5x，由折叠的性质可得∠ AED ＝2∠ABD ＝
∠ABC，即可求 sin∠DEA 的值．
【解答】 解：∵ AC 与 BC 的比为 3：4，
∴设 AC＝3x，BC＝4x，
∴AB＝ ＝5x
∵将△ ABC 如图 1 所示折叠，使点 C 落在 AB 上，
∴∠DBC＝∠ DBA＝ ∠ABC，
∵将△ ABD 如图 2 所示折叠，使点 B 与点 D 重合，
∴∠ABD＝∠BDE
∴∠AED＝2∠ABD＝∠ ABC
∴sin∠DEA ＝sin∠ABC＝
故选： A．
【点评】 本题考查了翻折变换，解直角三角形，证明∠ AED＝2∠ABD＝∠ABC 是本题的关键．
10．【分析】 设 EF 交 AH 于 M、交 HD 于 N，连接 OF 、OE、MN，根据题意得：△ EFO 是等边三
角形，△ HMN 是等腰直角三角形， dc1EF＝OF＝6，由三角函数求出△ EFO 的高为＝ 3 ，得出
MN＝2（6﹣3 ）＝12﹣6 ，求出 FM ＝3 ﹣3，由三角形面积公式即可得出阴影部分的面
积．
【解答】 解：设 EF 交 AH 于 M、交 HD 于 N，连接 OF、OE、MN ，如图所示：
根据题意得：△ EFO 是等边三角形，△ HMN 是等腰直角三角形，
∴EF＝OF＝6，
∴△EFO 的高为： OF ?sin60° ＝6× ＝3 ，MN ＝2（6﹣3 ）＝12﹣6 ，
∴FM ＝ （6﹣12+6 ）＝ 3﹣3，
∴阴影部分的面积＝ 4S△AFM＝4× （3﹣3）× 3 ＝54﹣18 ；
故选： C．
【点评】 本题考查了正多边形和圆，三角形的面积，解题的关键是知道阴影部分的面积等于 4 个
三角形的面积．
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11．【分析】 根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可
得答案．
【解答】 解：∵点 P（4，﹣5）和点 Q（a，b）关于原点对称，
∴点 Q 的坐标为（﹣4，5），即 a＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12．【分析】 由△ ABC 与△ A1B1C1 为位似图形，位似比是 1：2，即可得△ ABC 与△ A1B1C1 为相似
三角形，且相似比为 1：2，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
【解答】 解：∵△ ABC 与△ A1B1C1 为位似图形，
∴△ ABC∽△ A1B1C1，
∵位似比是 1：2，
∴相似比是 1：2，
∴△ ABC 与△ A1B1C1 的面积比为： 1：4，
∵△ ABC 的面积为 3，
∴△ A1B1C1 的面积是： 3×4＝12．
故答案为： 12．
【点评】 此题考查了位似图形的性质．注意位似图形是相似图形的特殊情况，注意相似三角形面
积的比等于相似比的平方定理的应用．
13．【分析】 连接OB，OC，由正方形的性质知，△ BOC 是等腰直角三角形，有∠ BOC＝90°，由
圆周角定理可以求出．
【解答】 解：连接OB，OC，如图所示：
∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠ BOC＝90°，
∴∠ P＝ ∠BOC＝ 45°．
故答案为： 45．
【点评】 本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质及圆周角定理求解．
14．【分析】 先证明∠ AEC＝90°，再根据 tan∠ABC＝ ，求出 AE、EB 即可解决问题．
【解答】 解：设菱形的边长为 a，由题意得∠ AEF＝ 30°，∠ BEF＝60°， AE＝ a，EB＝2a，
∴∠ AEC＝90°，
在 Rt△AEB 中， tan∠ ABC＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】 本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助
线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
15．【分析】 先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的 t 值即可说明存
在，反之则不存在．
【解答】 解：由题意得 DN ＝2t，AN＝6﹣2t， AM＝t，
若△ NMA∽△ ACD，
则有 ＝ ，即 ＝ ，
解得 t＝1.5，
若△ MNA∽△ ACD
则有＝ ，即 ＝ ，
解得 t＝2.4，
答：当 t＝1.5 秒或 2.4 秒时，△ AMN 与△ ACD 相似．
故答案为： 1.5 或 2.4．
【点评】 此题考查了相似三角形的性质， 矩形的性质， 熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8 个小题，满分 75 分）
16．【分析】 根据平行线的性质和圆心角、弧、弦的关系解答即可．
【解答】 证明：∵ OB＝ OD，
∴∠ D＝∠ B，
∵BD∥ OC，
∴∠ D＝∠ COD ，∠ AOC＝∠ B，
∴∠ AOC＝∠ COD，
∴ ＝ ．
【点评】 此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据平行线的性质和圆心角、弧、弦的关系解
答．
17．【分析】 由旋转的性质可知∠ D＝∠ B，再根据已知条件证明 AC∥ DE，进而证明∠ ACB＝∠ A，
所以△ ABC 是等腰三角形．
【解答】 证明：由旋转知∠ D＝∠ B，
∵∠ ACD＝∠ B，
∴∠ ACD＝∠ D， AC∥DE，
∴∠ ACB＝∠ E，
又∵∠ A＝∠ E，
∴∠ ACB＝∠ A，
∴△ ABC 是等腰三角形．
【点评】 本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的判定， 对于旋转的性质用到最多的是： 旋转前、
后的图形全等．
18．【分析】 根据题意求出∠ EDF＝38°，通过解直角△ EFD 求得 FD ，在 Rt△PEH 中，利用特殊
角的三角函数值分别求出 BF，即可求得 PG，在 Rt△PCG 中，继而可求出 CG 的长度．
【解答】 解：由题意知，∠ EDF ＝α＝38°，
∴FD＝ ≈ ＝10（米）． EH＝ 8﹣2＝6（米）
在 Rt△PEH 中，∵ tanβ＝ ＝ ．
∴ ≈ 0.5．
∴BF＝12（米）
PG＝BD＝BF+ FD ＝12+10＝22（米）．
在直角△ PCG 中，∵ tanβ＝ ．
∴CG＝ PG?tanβ≈ 22×0.5＝11（米）．
∴CD＝ 11+2＝13（米）．
【点评】 本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是构造直角三角形，
利用三角函数的知识求解相关线段的长度．
19．【分析】 （1）由 cos∠ABO＝ ，可得到 tan∠ABO＝2，从而可得到 k＝ 2；
（2）先求得 A、B 的坐标，然后依据中点坐标公式可求得点 P 的坐标，将点 P 的坐标代入反比
例函数的解析式可求得 m 的值．
【解答】 解：（ 1）∵ cos∠ABO＝ ，
∴tan∠ABO ＝2．
∴k＝ 2．
∴一次函数的解析式为y＝2x+2．
（2）当 x＝ 0 时， y＝2，
∴A（0，2）．
当 y＝0 时， 2x+2＝0，解得： x＝﹣ 1．
∴B（﹣ 1， 0）．
∵AC 是△ PCB 的中线，
∴P（1，4）．
∴m＝xy＝1×4＝4，
∴反例函数的解析式为 y＝ ．
【点评】 本题主要考查的是反比例函数与一次函数的交点、锐角三角函数的定义、中点坐标公式
的应用，确定一次函数系数 k＝tan∠ABO 是解题的关键．
20．【分析】 （1）利用总售价＝销售单价×销售数量可得，再根据每日利润＝总售价﹣做 x 只蛋糕
的成本可得 y 关于 x 的解析式；
（2）求出 y＝1500 时 x 的值即可得；
（3）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得．
2
【解答】 解：（ 1）销售 x 只蛋糕的总售价为（ 170﹣2x）x＝﹣ 2x
+170x（元），
根据题意，得： y＝（﹣ 2x2+170 x）﹣（ 500+30x）＝﹣ 2x2+140 x﹣ 500，
故答案为：（﹣ 2x2+170 x）；
（2）当 y＝ 1500 时，得：﹣ 2x2+140 x﹣500＝1500，
解得： x1＝20、 x2＝ 50，
∵x≤ 40，
∴x＝ 20，
即当每日做 20 只蛋糕时，每日获得的利润为 1500 元；
（3） y＝﹣ 2x2+140x﹣500＝﹣ 2（ x﹣35）2+1950，
∵a＝﹣ 2＜0，
∴当 x＝35 时， y 取得最大值，最大值为 1950，
答：当每日做 35 只蛋糕时，每日所获得的利润最大，最大日利润是 1950 元．
【点评】 本题考查了二次函数的应用，掌握销售问题的数量关系销售收入＝售价×数量的运用，
二次函数的解析式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
21．【分析】 （1）由点 E 与点 D 关于 AC 对称可得 CE＝CD ，再根据 DF⊥DE 即可证到 CE＝CF；
（2）① 根据已知条件得到 DE⊥AC，推出 DF ⊥BC，得到∠ FDB ＝60°， 根据弧长的公式即可得
到结论；
② 连接OC，CD ，推出△ AOC 是等边三角形，根据切线的性质得到∠ ACE＝∠ B＝30°，得到∠
OCD ＝30° ，根据三角函数的定义得到 CD＝sin60° ?AC＝2 ，于是得到结论．
【解答】 解：（ 1）连接 CD ，如图 1 所示，
∵点 E 与点 D 关于 AC 对称，
∴CE＝CD ，
∴∠E＝∠CDE，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF ＝90° ，
∴∠E+∠F＝90° ，∠ CDE +∠CDF＝90° ，
∴∠F＝∠CDF，
∴CD＝CF，
∴CE＝CD ＝CF；
（2）① ∵点 E 与点 D 关于 AC 对称，
∴DE⊥AC，
∵∠ACB＝∠EDF ＝90° ，
∴DF⊥BC，
∴∠FDB ＝60° ，
当点 D 与点 O 重合时， 的长＝ ＝ ，
故答案为： ；
② 连接 OC，CD ，
∵∠CBA＝30° ，
∴∠AOC＝60° ，
∵OC＝OA，
∴△AOC 是等边三角形，
∵EF 与半圆 O 相切，
∴∠ACE＝∠B＝30° ，
∴∠ACD＝30° ，
∴∠ADC＝90° ，
∴∠OCD＝30° ，
∴CD＝sin60° ?AC＝2 ，
∵CE＝CD ＝CF，
∴EF＝2CD ＝4 ．
故答案为： 4 ．
【点评】 本题考查了切线的判定，圆周角定理，画出的计算，轴对称的性质．正确的作出辅助线
是解题的关键．
2
22．【分析】 （1）a＝b，c＝0 代入表达式得到 ax +ax＝0，即可求点；
（2）A（m﹣b，m2﹣mb+ c）代入表达式得 a＝1，△＝ b2﹣4c＝0 求关系式；

2
（3）将点（﹣ 1，0）代入解析式， c＝1，b＝2 得到 n＝m ﹣mb+c＝（m﹣1）

2

即可求解；
【解答】 解：（ 1）∵a＝b，c＝0，
∴y＝ax2+ ax，
2
ax + ax＝0，
∴x＝0 或 x＝﹣ 1，
∴抛物线与 x 轴交点坐标（ 0，0），（﹣ 1，0）；
2
（2）∵ n＝m ﹣mb+ c，
∴A（m﹣b，m2﹣mb+ c），
2
将点 A 代入抛物线 y＝ax
+bx+ c，
∴a（m﹣b）2+b（m﹣b）+c＝m2﹣mb+ c，
整理，得（ m﹣b）2（a﹣1）＝0，
∵m≠b，
∴a＝1，
2
∴y＝ x
+ bx+ c，
2
△＝b ﹣4c＝0；
2
∴b ＝4c；
（3）∵ y＝x2+ bx+ c，
将点（﹣1，0）代入解析式，
∴b＝ 1+ c，
∴（ 1+c）2＝4c，
∴c＝ 1，b＝2，

2
∴n＝ m﹣mb+ c＝（ m﹣1）

2
，
当 m＝1 时， n 有最小值 0；
【点评】 本题考查二次函数的性质；掌握函数点与解析式之间的关系，函数图象与 x 轴交点的存
在条件，二次函数最值的求法是解题的关键．
23．【分析】 （1）① 依据△ ABC 和△ ADE 互为“旋转位似图形”，可得△ ABC∽△ ADE，依据相
似三角形的对应角相等，即可得到∠ BAE＝180°﹣100°﹣28°﹣25°＝ 27°；
② 依据△ ABC∽△ ADE，可得 ，根据 AD＝6，DE＝7，AB＝4，即可得出 BC＝ ；
（2）依据△ AOD∽△ BOC，即可得到 ，进而得到△ AOB∽△ DOC，再根据∠ 7＝∠ 8，∠
ADC ＝∠ AEB，即可得到△ ABE∽△ ACD ，进而得出△ ACD 和△ ABE 互为“旋转位似图形”；
（3）利用三角函数和勾股定理解答即可．
【解答】 解：（ 1）① ∵△ ABC 和△ ADE 互为“旋转位似图形”，
∴△ ABC∽△ ADE ，
∴∠ D＝∠ B＝100°，
又∵ α＝25°，∠ E＝28°，
∴∠ BAE＝180°﹣100°﹣25°﹣28°＝ 27°；
② ∵△ ABC∽△ ADE，
∴ ，
∵AD＝ 6，DE＝7， AB＝4，
∴ ，
∴BC＝ ，
故答案为： 27°； ；
（2）∵∠ DOA ＝∠ COB，∠ DAC ＝∠ DBC ，
∴△ DOA∽△ COB，
∴ ，即 ，
又∵∠ DOC ＝∠ AOB，
∴△ AOB∽△ DOC，
∴∠ DCA＝∠ EBA，
又∵∠ ADC＝ 90°， AE⊥ BD，
∴∠ ADC＝∠ AEB＝90°，
∴△ ABE∽△ ACD ，
∴∠ DAC＝∠ EAB，
∴△ AEB 绕点 A 逆时针旋转∠ DAE 的度数后与△ ADC 构成位似图形，
∴△ ACD 和△ ABE 互为“旋转位似图形”；
（3）∵ AC＝ AG＝ AB＝3，
由题意得：，
∵AD＝ 4，
∴AE＝2，
∵∠ DAE＝∠ FAC＝60°，
∴cos∠ DAE＝cos60°＝ ，
∴∠ DEA＝90°，
∴由勾股定理可得 CE＝ ，
∴DE＝ AE?tan∠DAE＝2 ，
∴ ．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定
及性质，勾股定理的综合运用．在解答时添加辅助线等腰直角三角形，利用相似形的对应边成比
例是关键．