江苏省南通市2020年中考数学模拟试卷(解析版).doc

江苏省南通市2020年中考数学模拟试卷
一．选择题（共10小题）
1．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为（　　）
A．5.8×1010 B．5.8×1011 C．58×109 D．0.58×1011
2．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．三棱柱 B．圆柱 C．六棱柱 D．圆锥
3．在式子，，，中，x可以取到3和4的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A．2a•3a＝6a B．（﹣a3）2＝a6
C．6a÷2a＝3a D．（﹣2a）3＝﹣6a3
5．如图所示，已知直线a，b，其中a∥b，点C在直线b上，∠DCB＝90°，若∠1＝75°，则∠2＝（　　）

A．25° B．15° C．20° D．30°
6．已知关于x的方程mx+3＝4的解为x＝1，则直线y＝（2m﹣1）x﹣3一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．一个圆锥的高为，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（　　）
A．9π B．18π C．27π D．39π
8．2015年1月份，无锡市某周的日最低气温统计如下表，则这七天中日最低气温的众数和中位数分别是（　　）
日期
19
20
21
22
23
24
25
最低气温/℃
2
4
5
3
4
6
7
A．4，4 B．5，4 C．4，3 D．4，4.5
9．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作半圆⊙O与边BC交于点D，过D作半圆的切线与边AC交于点E，过E作EF∥AB，与BC交于点F．若AB＝20，OF＝7.5，则CD的长为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
10．如图，点P为函数y＝（x＞0）的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，⊙P半径为2，A（3，0），B（6，0），点Q是⊙P上的动点，点C是QB的中点，则AC的最小值是（　　）

A．2 B．2 C．4 D．2
二．填空题（共8小题）
11．八边形的外角和是　 　．
12．如图，在△ABC中，DE∥AB，DE分别与AC，BC交于D，E两点．若，AC＝3，则DC＝　 　．

13．因式分解：a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝　 　．
14．京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施，考虑到不同路段的特殊情况，将根据不同的运行区间设置不同的时速．其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时．按此运行速度，地下隧道运行时间比地上大约多2分钟（小时），求清华园隧道全长为多少千米．设清华园隧道全长为x千米，依题意，可列方程为　 　．
15．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是　 　．
16．已知A1，A2，A3是抛物线y＝x2+1（x＞0）上的三点，且A1，A2，A3三点的横坐标为连续的整数，连接A1A3，过A2作A2Q⊥x轴于点Q，交A1A3于点P，则线段PA2的长为　 　．
17．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC．
如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝　 　°．

18．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝3，CD＝2，点P从点B出发沿线段BC的方向移动到点C停止，过点P作PQ⊥BC，交折线BA﹣AC于点Q，连接DQ、CQ，若△ADQ与△CDQ的面积相等，则线段BP的长度是　 　．

三．解答题（共10小题）
19．（1）计算：（）﹣1+3tan30°+|﹣2|
（2）解不等式组
20．先化简，再求代数式的值：，其中m＝1．
21．我校为了了解九年级学生身体素质测试情况，随机抽取了本校九年级部分学生的身体素质测试成绩为样本，按A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图，如图，请你结合图表所给信息解答下列问题：

（1）将条形统计图在图中补充完整；
（2）扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数是　 　；
（3）若我校九年级共有2000名学生参加了身体素质测试，试估计测试成绩合格以上（含合格）的人数为　 　人；
22．车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中一个通过．
（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是　 　．
（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．
23．如图，某测量船位于海岛P的北偏西60°方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处，求测量船从A处航行到B处的路程（结果保留根号）．

24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠BAD＝45°，AC＝3，AB＝，求BD的长．

25．已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c和一次函数g（x）＝﹣bx，其中a、b、c，满足a＞b＞c，a+b+c＝0．
（1）求证：这两个函数的图象交于不同的两点；
（2）设这两个函数的图象交于A，B两点，作AA1⊥x轴于A1，BB1⊥x轴于B1，求线段A1B1的长的取值范围．
26．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．

27．以点P为端点竖直向下的一条射线PN，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线PN1，PN2，我们规定：∠N1PN2为点P的“摇摆角”，射线PN摇摆扫过的区域叫作点P的“摇摆区域”（含PN1，PN2）．
在平面直角坐标系xOy中，点P（2，3）．
（1）当点P的摇摆角为60°时，请判断O（0，0）、A（1，2）、B（2，1）、C（2+，0）属于点P的摇摆区域内的点是　 　（填写字母即可）；
（2）如果过点D（1，0），点E（5，0）的线段完全在点P的摇摆区域内，那么点P的摇摆角至少为　 　°；
（3）⊙W的圆心坐标为（a，0），半径为1，如果⊙W上的所有点都在点P的摇摆角为60°时的摇摆区域内，求a的取值范围．

28．已知抛物线C：y＝（x+2）[t（x+1）﹣（x+3）]，其中﹣7≤t≤﹣2，且无论t取任何符合条件的实数，点A，P都在抛物线C 上．
（1）当t＝﹣5 时，求抛物线C的对称轴；
（2）当﹣60≤n≤﹣30 时，判断点（1，n）是否在抛物线C上，并说明理由；
（3）如图，若点A在x轴上，过点A作线段AP的垂线交y轴于点B，交抛物线C于点D，当点D的纵坐标为m+时，求S△PAD的最小值．

参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为（　　）
A．5.8×1010 B．5.8×1011 C．58×109 D．0.58×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将580 0000 0000用科学记数法表示应为5.8×1010．
故选：A．
2．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．三棱柱 B．圆柱 C．六棱柱 D．圆锥
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：由俯视图可知有六个棱，再由主视图即左视图分析可知为六棱柱，
故选：C．
3．在式子，，，中，x可以取到3和4的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：中x≠3，不符合题意；
中x≠4，不符合题意；
中x﹣3≥0即x≥3，符合题意；
中x﹣4≥0，即x≥4，不符合题意；
故选：C．
4．下列计算正确的是（　　）
A．2a•3a＝6a B．（﹣a3）2＝a6
C．6a÷2a＝3a D．（﹣2a）3＝﹣6a3
【分析】A：根据单项式乘单项式的方法判断即可．
B：根据积的乘方的运算方法判断即可．
C：根据整式除法的运算方法判断即可．
D：根据积的乘方的运算方法判断即可．
【解答】解：∵2a•3a＝6a2，
∴选项A不正确；
∵（﹣a3）2＝a6，
∴选项B正确；
∵6a÷2a＝3，
∴选项C不正确；
∵（﹣2a）3＝﹣8a3，
∴选项D不正确．
故选：B．
5．如图所示，已知直线a，b，其中a∥b，点C在直线b上，∠DCB＝90°，若∠1＝75°，则∠2＝（　　）

A．25° B．15° C．20° D．30°
【分析】先根据对顶角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝75°，∠1与∠3是对顶角，
∴∠3＝∠1＝75°，
∵a∥b，点C在直线b上，∠DCB＝90°，
∴∠2+∠DCB+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠DCB＝180°﹣75°﹣90°＝15°．
故选：B．

6．已知关于x的方程mx+3＝4的解为x＝1，则直线y＝（2m﹣1）x﹣3一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】关于x的方程mx+3＝4的解为x＝1，于是得到m+3＝4，求得m＝1，得到直线y＝x﹣3，于是得到结论．
【解答】解：∵关于x的方程mx+3＝4的解为x＝1，
∴m+3＝4，
∴m＝1，
∴直线y＝（2m﹣1）x﹣3为直线y＝x﹣3，
∴直线y＝（2m﹣1）x﹣3一定不经过第二象限，
故选：B．
7．一个圆锥的高为，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（　　）
A．9π B．18π C．27π D．39π
【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长＝底面周长得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形可求得圆锥底面半径和母线长，进而可求得圆锥的侧面积．
【解答】解：设展开图的扇形的半径为R，圆锥的底面半径为r，则有2πr＝πR，即R＝2r，由勾股定理得，
R2＝4r2＝r2+（3）2，
∴r＝3，R＝6，底面周长＝6π，圆锥的侧面积＝×6π×6＝18π．
故选：B．
8．2015年1月份，无锡市某周的日最低气温统计如下表，则这七天中日最低气温的众数和中位数分别是（　　）
日期
19
20
21
22
23
24
25
最低气温/℃
2
4
5
3
4
6
7
A．4，4 B．5，4 C．4，3 D．4，4.5
【分析】众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解．
【解答】解：将一周气温按从小到大的顺序排列为2，3，4，4，5，6，7，
中位数为第四个数4；
4出现了2次，故众数为4．
故选：A．
9．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作半圆⊙O与边BC交于点D，过D作半圆的切线与边AC交于点E，过E作EF∥AB，与BC交于点F．若AB＝20，OF＝7.5，则CD的长为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】连结AD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再根据切线长定理得到ED＝EA，则∠ADE＝∠2，于是利用等角的余角相等得∠1＝∠C，则AE＝DE＝CE，则可判断EF为△ABC的中位线，得到BF＝CF，接着可判断OF为△ABC的中位线，得到OF∥AE，所以AE＝OF＝7.5，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理计算出BC＝25，再证明△CDA∽△CAB，于是利用相似比可计算出CD．
【解答】解：连结AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠1+∠ADE＝90°，∠2+∠C＝90°，
∵DE为切线，
∴ED＝EA，
∴∠ADE＝∠2，
∴∠1＝∠C，
∴ED＝EC，
∴CE＝AE，
∵EF∥AB，
∴EF为△ABC的中位线，
∴BF＝CF，
而BO＝AO，
∴OF为△ABC的中位线，
∴OF∥AE，
∴AE＝OF＝7.5，
∴AC＝2AE＝15，
在Rt△ACD中，BC＝＝＝25，
∵∠DCA＝∠ACB，
∴△CDA∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴CD＝9．
故选：C．

10．如图，点P为函数y＝（x＞0）的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，⊙P半径为2，A（3，0），B（6，0），点Q是⊙P上的动点，点C是QB的中点，则AC的最小值是（　　）

A．2 B．2 C．4 D．2
【分析】易求点P（4，4），连接OP交⊙P于点Q′，连接BQ′．因为OA＝AB，CB＝CQ，所以AC＝OQ，所以当OQ最小时，AC最小，Q运动到Q′时，OQ最小，由此即可解决问题．
【解答】解：∵点P为函数y＝（x＞0）的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，
∴可设P（x，x）（x＞0），则x＝，解得x＝±4（负值舍去），
∴点P（4，4）．
如图，连接OP交⊙P于点Q′，连接BQ′，取BQ′的中点C′，连接AC′，此时AC′最小．
∵A（3，0），B（6，0），点C是QB的中点，
∴OA＝AB，CB＝CQ，
∴AC＝OQ．
当Q运动到Q′时，OQ最小，
此时AC的最小值AC′＝OQ′＝（OP﹣PQ′）＝2﹣1．
故选：A．

二．填空题（共8小题）
11．八边形的外角和是　360°　．
【分析】任何凸多边形的外角和都是360度．
【解答】解：八边形的外角和是360度．
故答案为：360°．
12．如图，在△ABC中，DE∥AB，DE分别与AC，BC交于D，E两点．若，AC＝3，则DC＝　2　．

【分析】由DE∥AB可得出△DEC∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出＝（）2＝，再结合AC＝3即可求出DC的长度．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴△DEC∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴＝．
又∵AC＝3，
∴DC＝2．
故答案为：2．
13．因式分解：a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝　（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）　．
【分析】直接提取公因式（x﹣y），进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．
14．京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施，考虑到不同路段的特殊情况，将根据不同的运行区间设置不同的时速．其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时．按此运行速度，地下隧道运行时间比地上大约多2分钟（小时），求清华园隧道全长为多少千米．设清华园隧道全长为x千米，依题意，可列方程为　　．
【分析】设清华园隧道全长为x千米，根据“，地下隧道运行时间比地上大约多2分钟（小时）”列出方程．
【解答】解：设清华园隧道全长为x千米，则地上区间全长为（11﹣x）千米，
依题意得：．
故答案是：．
15．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是　8　．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a+b＝﹣1，ab＝﹣1，
a2+a＝1，
∴原式＝3（1﹣a）﹣b+
＝3﹣3a﹣b+
＝3﹣2a﹣（a+b）+
＝3﹣2a+1+
＝4﹣2a+
＝4+
＝4+
＝4+4
＝8，
故答案为：8．
16．已知A1，A2，A3是抛物线y＝x2+1（x＞0）上的三点，且A1，A2，A3三点的横坐标为连续的整数，连接A1A3，过A2作A2Q⊥x轴于点Q，交A1A3于点P，则线段PA2的长为　　．
【分析】设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n﹣1、n、n+1，代入函数解析式就可以求出三个点的坐标，再根据待定系数法就可以求出直线A1A3的解析式．求出直线PQ与A1A3的交点坐标，进而求出PA2的长．
【解答】解：设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n﹣1、n、n+1，
则A1M＝（n﹣1）2+1，
A2Q＝n2+1，
A3N＝（n+1）2+1，
设直线A1A3的解析式为y＝kx+b．
∴
解得，
∴直线A1A3的解析式为y＝nx﹣n2+．
∴PB2＝n2﹣n2+＝n2+
∴PA2＝PB2﹣A2Q＝n2+﹣n2﹣1＝，
故答案为．

17．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC．
如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝　60　°．

【分析】如图2，连接OA、OC、OE，先计算得到AD＝BD+BC＝7，则根据阿基米德折弦定理得到点E为弧ABC的中点，即弧AE＝弧CE，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOE＝∠COE，接着利用圆周角得到∠AOC＝2∠ABC＝120°，则可得到∠AOE＝∠COE＝120°，然后再利用圆周角定理得到∠CAE的度数．
【解答】解：如图2，连接OA、OC、OE，
∵AB＝8，BC＝6，BD＝1，
∴AD＝7，BD+BC＝7，
∴AD＝BD+BC，
而ED⊥AB，
∴点E为弧ABC的中点，即弧AE＝弧CE，
∴∠AOE＝∠COE，
∵∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，
∴∠AOE＝∠COE＝120°，
∴∠CAE＝∠COE＝60°．
故答案为60°．

18．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝3，CD＝2，点P从点B出发沿线段BC的方向移动到点C停止，过点P作PQ⊥BC，交折线BA﹣AC于点Q，连接DQ、CQ，若△ADQ与△CDQ的面积相等，则线段BP的长度是　或4　．

【分析】分两种情况计算：①点Q在AB边上时，先求出△ABD的面积，设BP＝x，再将△DCQ和△AQD的面积用x表示出来，由面积相等建立方程求解即可；②当Q在AC上时，由面积相等可得点Q'是AC中点，进而得出点P'是CD的中点，从而求出DP'，则可得BP的长．
【解答】解：①点Q在AB边上时，
∵AD⊥BC，AD＝BD＝3，CD＝2，
∴S△ABD＝BD•AD＝×3×3＝，∠B＝45°，
∵PQ⊥BC，
∴BP＝PQ，
设BP＝x，则PQ＝x，
∵CD＝2，
∴S△DCQ＝×2x＝x，
S△AQD＝S△ABD﹣S△BQD
＝﹣×3×x
＝﹣x
∵△ADQ与△CDQ的面积相等，
∴x＝﹣x，
解得x＝；
②如图

当Q在AC上时，记为Q'，过点Q'作Q'P'⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴Q'P'∥AD，
∵△ADQ与△CDQ的面积相等，
∴AQ'＝CQ'，
∴AQ'＝CQ'，
∴DP'＝CP'＝CD＝1，
∵AD＝BD＝3，
∴BP'＝BD+DP'＝4，
综上所述，线段BP的长度是或4．
故答案为：或4．
三．解答题（共10小题）
19．（1）计算：（）﹣1+3tan30°+|﹣2|
（2）解不等式组
【分析】（1）根据负整数指数幂、平方根的意义和特殊角的三角函数值，绝对值的性质进行计算；
（2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2++2﹣
＝5﹣2；

（2），
解①得x≥﹣1，
解②得x＜3，
所以不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
20．先化简，再求代数式的值：，其中m＝1．
【分析】根据分式的混合运算法则化简，然后代入计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝，
当m＝1时，原式＝﹣0.5．
21．我校为了了解九年级学生身体素质测试情况，随机抽取了本校九年级部分学生的身体素质测试成绩为样本，按A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图，如图，请你结合图表所给信息解答下列问题：

（1）将条形统计图在图中补充完整；
（2）扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数是　72°　；
（3）若我校九年级共有2000名学生参加了身体素质测试，试估计测试成绩合格以上（含合格）的人数为　1800　人；
【分析】（1）首先根据两种统计图中的B级的人数和所占的百分率求得总人数，然后即可求的A级的人数，从而补全统计图；
（2）求的A级所占的百分比后乘以360°即可求的其圆心角的度数；
（3）用总人数乘以合格的百分率即可求的合格的人数．
【解答】解：（1）A所占的百分比是1﹣40%﹣30%﹣10%＝20%，
抽取的总人数是：＝100（人），
A的人数有100×20%＝20（人），补图如下：

（2）扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数是360°×20%＝72°；
故答案为：72°；

（3）根据题意得：
2000×（1﹣10%）＝1800（人），
答：测试成绩合格以上（含合格）的人数为1800人．
22．车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中一个通过．
（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是　　．
（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．
【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图即可得到结论．
【解答】解：（1）选择A通道通过的概率＝，
故答案为：；
（2）设两辆车为甲，乙，

如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，
∴选择不同通道通过的概率＝＝．
23．如图，某测量船位于海岛P的北偏西60°方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处，求测量船从A处航行到B处的路程（结果保留根号）．

【分析】将AB分为AE和BE两部分，分别在Rt△BEP和Rt△BEP中求解．要利用30°的角所对的直角边是斜边的一半和等腰直角三角形的性质解答．
【解答】解：∵AB为南北方向，
∴△AEP和△BEP分别为直角三角形，
在Rt△AEP中，
∠APE＝90°﹣60°＝30°，
AE＝AP＝×100＝50海里，
∴EP＝100×cos30°＝50海里，
在Rt△BEP中，
BE＝EP＝50海里，
∴AB＝（50+50）海里．
答：测量船从A处航行到B处的路程为（50+50）海里．

24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠BAD＝45°，AC＝3，AB＝，求BD的长．

【分析】作辅助线，设DE＝a，根据等积法可以得到BD与a的关系，利用勾股定理列方程可得BD的长．
【解答】解：过D作DE⊥AB于点E，如图所示，
∵∠BAD＝45°，
∴∠EAD＝∠EDA＝45°，
∴AE＝DE，
设DE＝a，则BE＝AB﹣AE＝3﹣a，
∵AC＝3，AB＝，∠C＝90°，
∴S△ABD＝，
∴，BD＝a，
Rt△BED中，由勾股定理得：BD2＝BE2+DE2，
∴，
解得：a＝﹣3（舍）或，
∴BD＝a＝5，
即BD的长是5．

25．已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c和一次函数g（x）＝﹣bx，其中a、b、c，满足a＞b＞c，a+b+c＝0．
（1）求证：这两个函数的图象交于不同的两点；
（2）设这两个函数的图象交于A，B两点，作AA1⊥x轴于A1，BB1⊥x轴于B1，求线段A1B1的长的取值范围．
【分析】（1）首先将两函数联立得出ax2﹣2bx+c＝0，再利用根的判别式得出它的符号即可；
（2）利用线段AB在x轴上的射影A1B1长的平方，以及a，b，c的符号得出|A1B1|的范围即可．
【解答】解：（1）联立方程得：ax2+2bx+c＝0，
△＝4（a2+ac+c2），
∵a＞b＞c，a+b+c＝0，
∴a＞0，c＜0，
∴△＞0，
∴两函数的图象相交于不同的两点；

（2）设方程的两根为x1，x2，则
|A1B1|2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，
＝（﹣）2﹣＝＝，
＝4[（）2++1]，
＝4[（+）2+]，
∵a＞b＞c，a+b+c＝0，
∴a＞﹣（a+c）＞c，a＞0，
∴﹣2＜＜﹣，
此时3＜A1B12＜12，
∴＜|A1B1|＜2．
26．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．

【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB＝60°得到BP＝AB＝1，然后求得EP＝2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．
【解答】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB＝GD；

（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∴BP＝AB＝1，
AP＝＝，AE＝AG＝，
∴EP＝2，
∴EB＝＝＝，
∴GD＝．

27．以点P为端点竖直向下的一条射线PN，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线PN1，PN2，我们规定：∠N1PN2为点P的“摇摆角”，射线PN摇摆扫过的区域叫作点P的“摇摆区域”（含PN1，PN2）．
在平面直角坐标系xOy中，点P（2，3）．
（1）当点P的摇摆角为60°时，请判断O（0，0）、A（1，2）、B（2，1）、C（2+，0）属于点P的摇摆区域内的点是　B、C　（填写字母即可）；
（2）如果过点D（1，0），点E（5，0）的线段完全在点P的摇摆区域内，那么点P的摇摆角至少为　90　°；
（3）⊙W的圆心坐标为（a，0），半径为1，如果⊙W上的所有点都在点P的摇摆角为60°时的摇摆区域内，求a的取值范围．

【分析】（1）根据点P的摇摆区域的定义出图图形后即可作出判断；
（2）根据题意分情况讨论，然后根据对称性即可求出此时点P的摇摆角；
（3）如果⊙W上的所有点都在点P的摇摆角为60°时的摇摆区域内，此时⊙W与射线PN1相切，设直线PN1与x轴交于点M，⊙W与射线PN1相切于点N，P为端点竖直向下的一条射线PN与x轴交于点Q，根据特殊角锐角三角函数即可求出OM，OW的长度，从而可求出a的范围．
【解答】解：（1）根据“摇摆角”作出图形，如图所示，
将O、A、B、C四点在平面直角坐标系中描出后，
可以发现，B、C在点P的摇摆区域内，
故属于点P的摇摆区域内的点是B、C
（2）如图所示，当射线PN1过点D时，
由对称性可知，此时点E不在点P的摇摆区域内，
当射线PN2过点E时，
由对称性可知，此时点D在点P的摇摆区域内，
易知：此时PQ＝QE，
∴∠EPQ＝45°，
∴如果过点D（1，0），点E（5，0）的线段完全在点P的摇摆区域内，那么点P的摇摆角至少为90°
（3）如果⊙W上的所有点都在点P的摇摆角为60°时的摇摆区域内，
此时⊙W与射线PN1相切，
设直线PN1与x轴交于点M，⊙W与射线PN1相切于点N，P为端点竖直向下的一条射线PN与x轴交于点Q，
由定义可知：∠PMW＝60°，
∵NW＝1，PQ＝3，
∴sin∠PMW＝，tan∠PMW＝
∴MW＝，MQ＝，
∴OM＝2﹣，
∴OW＝OM+MW＝2﹣+＝2﹣
∴此时W的坐标为：（2﹣，0）
由对称性可知：当⊙W与射线PN2相切时，
此时W的坐标为：（2+，0）
∴a的范围为：2﹣≤a≤2+

28．已知抛物线C：y＝（x+2）[t（x+1）﹣（x+3）]，其中﹣7≤t≤﹣2，且无论t取任何符合条件的实数，点A，P都在抛物线C 上．
（1）当t＝﹣5 时，求抛物线C的对称轴；
（2）当﹣60≤n≤﹣30 时，判断点（1，n）是否在抛物线C上，并说明理由；
（3）如图，若点A在x轴上，过点A作线段AP的垂线交y轴于点B，交抛物线C于点D，当点D的纵坐标为m+时，求S△PAD的最小值．

【分析】（1）由条件求得抛物线解析式，即可求得其对称轴；
（2）把点代入抛物线解析式可得到n与t的关系式，由t的范围可求得n的取值范围，再与已知n的范围进行比较即可得出结论；
（3）过点P作PN⊥x轴于点N，可证得△PAN≌△ABO，可求得PA、OB的长，再证得△DAM∽△BAO，可用m表示出AD的长，则可表示出△PAD的面积，由A、B的坐标可求得直线AB的解析式，从而可用m表示出D点坐标，代入抛物线解析式可得到t与m的关系，利用t的范围可求得m的范围，再利用一次函数的性质可求得△PAD的最小值．
【解答】解：
（1）当t＝﹣5时，y＝﹣6x2﹣20x﹣16，
∵﹣＝﹣，
∴对称轴为x＝﹣；

（2）若（1，n）在抛物线上，将点（1，n）代入解析式，得n＝6t﹣12，
∵﹣7≤t≤﹣2，
∴﹣54≤n≤﹣24，
∵﹣60≤n≤﹣30，
∴当﹣60≤n＜﹣54时，点（1，n）不在抛物线C上；
当﹣54≤n≤﹣30时，点（1，n）在抛物线C上．

（3）由题得A（﹣2，0），P（﹣1，﹣2），
过点P作PN⊥x轴于点N，过D作DM⊥x轴于点M，
∴PN＝AO＝2，∠PNA＝∠AOB＝90°，

∵PA⊥AB，
∴∠PAN+∠BAO＝90°，
又∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠PAN＝∠ABO，
在△PAN和△ABO中

∴△PAN≌△ABO（AAS），
∴BO＝AN＝AO﹣NO＝2﹣1＝1，
∴PA＝AB＝，
∵∠DMA＝∠BOA＝90°，且∠DAM＝∠BAO，
∴△DAM∽△BAO，
∴＝，
∵点D的纵坐标为m+，
∴AD＝（m+），
∴S△PAD＝ AP•AD＝××（m+）＝（m+）＝m+
∵A（﹣2，0），B（0，1），
∴直线AB的解析式为y＝x+1，当y＝m+时，x＝2m﹣1，
∴D点坐标为（2m﹣1，m+），代入抛物线C的解析式可得t＝1+，
∵﹣7≤t≤﹣2，
∴﹣≤m≤﹣，且m+＞0，
∴S△PAD＝m+，
∵＞0，
∴S△PAD随m的增大而增大，
∴当m取最小值﹣时，S△PAD的最小值为．