江苏十年高考试题汇编第二部分+三角函数与解三角形.doc

第二部分 三角函数与解三角形一填空题（共20小题）1（2013江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为 2（2013新课标）设当x=时，函数f（x）=sinx2cosx取得最大值，则cos= 3（2011江苏）函数f（x）=Asin（x+），（A，是常数，A0，0）的部分图象如图所示，则f（0）= 4（2016江苏）定义在区间0，3上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 5（2010江苏）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为 6（2016新课标）函数y=sinxcosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移 个单位长度得到7（2008北京）若角的终边经过点P（1，2），则tan2的值为 8（2012江苏）设为锐角，若cos（+）=，则sin（2+）的值为 9（2015江苏）已知tan=2，tan（+）=，则tan的值为 10（2017江苏）若tan（）=则tan= 11（2013上海）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）= 12（2016江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 13（2014江苏）若ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是 14（2014新课标）已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC，则ABC面积的最大值为 15（2014天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bc=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为 16（2011新课标）在ABC中，B=60，AC=，则AB+2BC的最大值为 17（2010江苏）在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是 18（2009湖南）在锐角ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于 ，AC的取值范围为 19（2008江苏）满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是 20（2017新课标）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B= 二解答题（共10小题）21（2017江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，），x0，（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值22（2012江苏）在ABC中，已知（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值23（2015湖南）设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角（1）证明：BA=；（2）求sinA+sinC的取值范围24（2015江苏）在ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60（1）求BC的长；（2）求sin2C的值25（2016江苏）在ABC中，AC=6，cosB=，C=（1）求AB的长；（2）求cos（A）的值26（2014江苏）已知（，），sin=（1）求sin（+）的值；（2）求cos（2）的值27（2016四川）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=（1）证明：sinAsinB=sinC；（2）若b2+c2a2=bc，求tanB28（2016新课标）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c（1）求C； （2）若c=，ABC的面积为，求ABC的周长29（2015山东）设f（x）=sinxcosxcos2（x+）（1）求f（x）的单调区间；（2）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求ABC面积的最大值第二讲 三角函数与解三角形参考答案与试题解析一填空题（共20小题）1（2013江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为【解答】解：函数表达式为y=3sin（2x+），=2，可得最小正周期T=|=|=故答案为：2（2013新课标）设当x=时，函数f（x）=sinx2cosx取得最大值，则cos=【解答】解：f（x）=sinx2cosx=（sinxcosx）=sin（x）（其中cos=，sin=），x=时，函数f（x）取得最大值，sin（）=1，即sin2cos=，又sin2+cos2=1，联立得（2cos+）2+cos2=1，解得cos=故答案为：3（2011江苏）函数f（x）=Asin（x+），（A，是常数，A0，0）的部分图象如图所示，则f（0）=【解答】解：由的图象可得函数的周期T满足=解得T=又0，故=2又函数图象的最低点为（，）故A=且sin（2+）=即+=故=f（x）=sin（2x+）f（0）=sin=故答案为：4（2016江苏）定义在区间0，3上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7【解答】解：法1：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间0，3上的图象如下：由图可知，共7个交点法2：依题意，sin2x=cosx，即cosx（2sinx1）=0，故cosx=0或sinx=，因为x0，3，故x=，共7个，故答案为：75（2010江苏）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为【解答】解：线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，即6cosx=，化为6sin2x+5sinx6=0，解得sinx=线段P1P2的长为故答案为6（2016新课标）函数y=sinxcosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到【解答】解：y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinxcosx=2sin（x），f（x）=2sin（x+）（0），令2sin（x+）=2sin（x），则=2k（kZ），即=2k（kZ），当k=0时，正数min=，故答案为：7（2008北京）若角的终边经过点P（1，2），则tan2的值为【解答】解：角的终边经过点P（1，2），故答案为：8（2012江苏）设为锐角，若cos（+）=，则sin（2+）的值为【解答】解：设=+，sin=，sin2=2sincos=，cos2=2cos21=，sin（2+）=sin（2+）=sin（2）=sin2coscos2sin=故答案为：9（2015江苏）已知tan=2，tan（+）=，则tan的值为3【解答】解：tan=2，tan（+）=，可知tan（+）=，即=，解得tan=3故答案为：310（2017江苏）若tan（）=则tan=【解答】解：tan（）=6tan6=tan+1，解得tan=，故答案为：11（2013上海）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）=【解答】解：cosxcosy+sinxsiny=，cos（xy）=sin2x+sin2y=，sin（x+y）+（xy）+sin（x+y）（xy）=，2sin（x+y）cos（xy）=，sin（x+y）=故答案为12（2016江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8【解答】解：由sinA=sin（A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，由三角形ABC为锐角三角形，则cosB0，cosC0，在式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=tan（A）=tan（B+C）=，则tanAtanBtanC=tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA0，tanB0，tanC0，由式得1tanBtanC0，解得t1，tanAtanBtanC=，=（）2，由t1得，0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，tanA=tan（B十C）=，tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC2，令tanAtanBtanC=x0，即x2，即x8，或x0（舍去），所以x的最小值为8当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角13（2014江苏）若ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC=，当且仅当时，取等号，故cosC1，故cosC的最小值是故答案为：14（2014新课标）已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC，则ABC面积的最大值为【解答】解：因为：（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC（2+b）（ab）=（cb）c2ab2=c2bc，又因为：a=2，所以：，ABC面积，而b2+c2a2=bcb2+c2bc=a2b2+c2bc=4bc4所以：，即ABC面积的最大值为故答案为：15（2014天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bc=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为【解答】解：在ABC中，bc=a ，2sinB=3sinC，2b=3c ，由可得a=2c，b=再由余弦定理可得 cosA=，故答案为：16（2011新课标）在ABC中，B=60，AC=，则AB+2BC的最大值为2【解答】解：设AB=c AC=b BC=a由余弦定理cosB=所以a2+c2ac=b2=3设c+2a=m 代入上式得7a25am+m23=0=843m20 故m2 当m=2时，此时a=，c=符合题意因此最大值为2另解：因为B=60，A+B+C=180，所以A+C=120，由正弦定理，有=2，所以AB=2sinC，BC=2sinA所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（120A）+4sinA=2（sin120cosAcos120sinA）+4sinA=cosA+5sinA=2sin（A+），（其中sin=，cos=）所以AB+2BC的最大值为2故答案为：217（2010江苏）在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是4【解答】解：+=6cosC，由余弦定理可得，则+=故答案为：418（2009湖南）在锐角ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于2，AC的取值范围为（）【解答】解：（1）根据正弦定理得：=，因为B=2A，化简得=即=2；（2）因为ABC是锐角三角形，C为锐角，所以，由B=2A得到A+2A且2A=，从而解得：，于是，由（1）的结论得2cosA=AC，故故答案为：2，（，）19（2008江苏）满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是2【解答】解：设BC=x，则AC=x，根据面积公式得SABC=ABBCsinB=2x，根据余弦定理得cosB=，代入上式得SABC=x=，由三角形三边关系有，解得22x2+2故当x=2时，SABC取得最大值220（2017新课标）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=【解答】解：2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，sinB0，cosB=，0B，B=，故答案为：二解答题（共10小题）21（2017江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，），x0，（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值【解答】解：（1）=（cosx，sinx），=（3，），cosx=3sinx，tanx=，x0，x=，（2）f（x）=3cosxsinx=2（cosxsinx）=2cos（x+），x0，x+，1cos（x+），当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最小值222（2012江苏）在ABC中，已知（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值【解答】解：（1）=3，cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB，由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB，又0A+B，cosA0，cosB0，在等式两边同时除以cosAcosB，可得tanB=3tanA；（2）cosC=，0C，sinC=，tanC=2，则tan（A+B）=2，即tan（A+B）=2，=2，将tanB=3tanA代入得：=2，整理得：3tan2A2tanA1=0，即（tanA1）（3tanA+1）=0，解得：tanA=1或tanA=，又cosA0，tanA=1，又A为三角形的内角，则A=23（2015湖南）设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角（）证明：BA=；（）求sinA+sinC的取值范围【解答】解：（）由a=btanA和正弦定理可得=，sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，+A（，），B=+A，BA=；（）由（）知C=（A+B）=（A+A）=2A0，A（0，），sinA+sinC=sinA+sin（2A）=sinA+cos2A=sinA+12sin2A=2（sinA）2+，A（0，），0sinA，由二次函数可知2（sinA）2+sinA+sinC的取值范围为（，24（2015江苏）在ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60（1）求BC的长；（2）求sin2C的值【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC22ABACcosA=4+9223=7，所以BC=（2）由正弦定理可得：，则sinC=，ABBC，BC=，AB=2，角A=60，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，2，角C角A，角C为锐角sinC0，cosC0则cosC=因此sin2C=2sinCcosC=2=25（2016江苏）在ABC中，AC=6，cosB=，C=（1）求AB的长；（2）求cos（A）的值【解答】解：（1）ABC中，cosB=，sinB=，AB=5；（2）cosA=cos（C+B）=sinBsinCcosBcosC=A为三角形的内角，sinA=，cos（A）=cosA+sinA=26（2014江苏）已知（，），sin=（1）求sin（+）的值；（2）求cos（2）的值【解答】解：（，），sin=cos=（1）sin（+）=sincos+cossin=；sin（+）的值为：（2）（，），sin=cos2=12sin2=，sin2=2sincos=cos（2）=coscos2+sinsin2=cos（2）的值为：27（2016四川）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=（）证明：sinAsinB=sinC；（）若b2+c2a2=bc，求tanB【解答】（）证明：在ABC中，+=，由正弦定理得：，=，sin（A+B）=sinC整理可得：sinAsinB=sinC，（）解：b2+c2a2=bc，由余弦定理可得cosA=sinA=，=+=1，=，tanB=428（2016新课标）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c（）求C；（）若c=，ABC的面积为，求ABC的周长【解答】解：（）在ABC中，0C，sinC0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（A+B）=sinC2cosCsinC=sinCcosC=，C=；（）由余弦定理得7=a2+b22ab，（a+b）23ab=7，S=absinC=ab=，ab=6，（a+b）218=7，a+b=5，ABC的周长为5+29（2015山东）设f（x）=sinxcosxcos2（x+）（）求f（x）的单调区间；（）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求ABC面积的最大值【解答】解：（）由题意可知，f（x）=sin2x=sin2x=sin2x由2k2x2k，kZ可解得：kxk，kZ；由2k2x2k，kZ可解得：kxk，kZ；所以f（x）的单调递增区间是k，k，（kZ）；单调递减区间是：k，k，（kZ）；（）由f（）=sinA=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c22bccosA，可得：1+bc=b2+c22bc，即bc，且当b=c时等号成立因此S=bcsinA，所以ABC面积的最大值为30（2013江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解答】解：（1）在ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin（A+C）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=由正弦定理，得AB=1040m所以索道AB的长为1040m（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）22130t（100+50t）=200（37t270t+50）=20037（t）2+，因0t，即0t8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短（3）由正弦定理，得BC=500m，乙从B出发时，甲已经走了50（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C设乙步行的速度为 v m/min，由题意得33，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在范围内第21页