江苏十年高考试题汇编第二部分+三角函数与解三角形.doc

第二部分 三角函数与解三角形
一．填空题（共20小题）
1．（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为　 　．
2．（2013•新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx
取得最大值，则cosθ=　 　．
3．（2011•江苏）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，
A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=　 　．
4．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是　 　．
5．（2010•江苏）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为　 　．
6．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移　 　个单位长度得到．
7．（2008•北京）若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为　 　．
8．（2012•江苏）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为　 　．
9．（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为　 　．
10．（2017•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=　 　．
11．（2013•上海）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）=　 　．
12．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是　 　．
13．（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是　 　．
14．（2014•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2
且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为　 　．
15．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为　 　．
16．（2011•新课标）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为　 　．
17．（2010•江苏）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，
则+的值是　 　．
18．（2009•湖南）在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于　 　，
AC的取值范围为　 　．
19．（2008•江苏）满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是　 　．
20．（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=　 　．
二．解答题（共10小题）
21．（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．
（1）若，求x的值；
（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．

22．（2012•江苏）在△ABC中，已知．
（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．

23．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．
（1）证明：B﹣A=；（2）求sinA+sinC的取值范围．

24．（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．

25．（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．
（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．

26．（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．
（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．

27．（2016•四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．
（1）证明：sinAsinB=sinC；（2）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．

28．（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（1）求C； （2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

29．（2015•山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．

第二讲 三角函数与解三角形
参考答案与试题解析
一．填空题（共20小题）
1．（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为　π　．
【解答】解：∵函数表达式为y=3sin（2x+），
∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π
故答案为：π

2．（2013•新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=　﹣　．
【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），
∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，
∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，
又sin2θ+cos2θ=1，
联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．
故答案为：﹣

3．（2011•江苏）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=　　．

【解答】解：由的图象可得函数的周期T满足
=
解得T=π=
又∵ω＞0，故ω=2
又∵函数图象的最低点为（，﹣）
故A=
且sin（2×+φ）=﹣
即+φ=
故φ=
∴f（x）=sin（2x+）
∴f（0）=sin=
故答案为：

4．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是　7　．
【解答】解：法1：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：
由图可知，共7个交点．
法2：依题意，sin2x=cosx，即cosx（2sinx﹣1）=0，故cosx=0或sinx=，
因为x∈[0，3π]，故x=，，，，，，，共7个，
故答案为：7．

5．（2010•江苏）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为　　．
【解答】解：线段P1P2的长即为sinx的值，
且其中的x满足6cosx=5tanx，即6cosx=，化为6sin2x+5sinx﹣6=0，解得sinx=．线段P1P2的长为
故答案为．

6．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移　　个单位长度得到．
【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），
∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），
令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），
则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），
即φ=﹣2kπ（k∈Z），
当k=0时，正数φmin=，
故答案为：．

7．（2008•北京）若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为　　．
【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，﹣2），
∴
故答案为：．

8．（2012•江苏）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为　　．
【解答】解：设β=α+，
∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，
∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．
故答案为：．

9．（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为　3　．
【解答】解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，
可知tan（α+β）==，
即=，
解得tanβ=3．
故答案为：3．

10．（2017•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=　　．
【解答】解：∵tan（α﹣）===
∴6tanα﹣6=tanα+1，
解得tanα=，
故答案为：．

11．（2013•上海）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）=　　．
【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=，∴cos（x﹣y）=．
∵sin2x+sin2y=，
∴sin[（x+y）+（x﹣y）]+sin[（x+y）﹣（x﹣y）]=，
∴2sin（x+y）cos（x﹣y）=，
∴，
∴sin（x+y）=．
故答案为．

12．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是　8　．
【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，
可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①
由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，
在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，
又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，
则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，
由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，
令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，
由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，
tanAtanBtanC=﹣=﹣，
=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，
因此tanAtanBtanC的最小值为8，
另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，
sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，
两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，
∵﹣tanA=tan（B十C）=，
∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，
∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，
令tanAtanBtanC=x＞0，
即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．
当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，
解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．

13．（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是　　．
【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），
由余弦定理得cosC===
=≥=，
当且仅当时，取等号，
故≤cosC＜1，故cosC的最小值是．
故答案为：．

14．（2014•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为　　．
【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC
⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c
⇒2a﹣b2=c2﹣bc，
又因为：a=2，
所以：，
△ABC面积，
而b2+c2﹣a2=bc
⇒b2+c2﹣bc=a2
⇒b2+c2﹣bc=4
⇒bc≤4
所以：，即△ABC面积的最大值为．
故答案为：．

15．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为　﹣　．
【解答】解：在△ABC中，
∵b﹣c=a ①，2sinB=3sinC，
∴2b=3c ②，
∴由①②可得a=2c，b=．
再由余弦定理可得 cosA===﹣，
故答案为：﹣．

16．（2011•新课标）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为　2　．
【解答】解：设AB=c AC=b BC=a
由余弦定理
cosB=
所以a2+c2﹣ac=b2=3
设c+2a=m
代入上式得
7a2﹣5am+m2﹣3=0
△=84﹣3m2≥0 故m≤2
当m=2时，此时a=，c=符合题意
因此最大值为2
另解：因为B=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°，
由正弦定理，有
====2，
所以AB=2sinC，BC=2sinA．
所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（120°﹣A）+4sinA
=2（sin120°cosA﹣cos120°sinA）+4sinA
=cosA+5sinA
=2sin（A+φ），（其中sinφ=，cosφ=）
所以AB+2BC的最大值为2．
故答案为：2

17．（2010•江苏）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是　4　．
【解答】解：∵+=6cosC，
由余弦定理可得，
∴
则+==
===
==
故答案为：4

18．（2009•湖南）在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于　2　，AC的取值范围为　（）　．
【解答】解：（1）根据正弦定理得：=，
因为B=2A，化简得=即=2；
（2）因为△ABC是锐角三角形，C为锐角，
所以，由B=2A得到A+2A＞且2A=，从而解得：，
于是，由（1）的结论得2cosA=AC，故．
故答案为：2，（，）

19．（2008•江苏）满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是　2　．
【解答】解：设BC=x，则AC=x，
根据面积公式得S△ABC=AB•BCsinB
=×2x，
根据余弦定理得cosB=
==，
代入上式得
S△ABC=x=，
由三角形三边关系有，
解得2﹣2＜x＜2+2．
故当x=2时，S△ABC取得最大值2．

20．（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=　　．
【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，
2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosB=，
∵0＜B＜π，
∴B=，
故答案为：

二．解答题（共10小题）
21．（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．
（1）若，求x的值；
（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，
∴﹣cosx=3sinx，
∴tanx=﹣，
∵x∈[0，π]，
∴x=，
（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），
∵x∈[0，π]，
∴x+∈[，]，
∴﹣1≤cos（x+）≤，
当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，
当x=时，f（x）有最小值，最小值﹣2．

22．（2012•江苏）在△ABC中，已知．
（1）求证：tanB=3tanA；
（2）若cosC=，求A的值．
【解答】解：（1）∵•=3•，
∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB，
由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB，
又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，
在等式两边同时除以cosAcosB，可得tanB=3tanA；
（2）∵cosC=，0＜C＜π，
sinC==，
∴tanC=2，
则tan[π﹣（A+B）]=2，即tan（A+B）=﹣2，
∴=﹣2，
将tanB=3tanA代入得：=﹣2，
整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0，即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0，
解得：tanA=1或tanA=﹣，
又cosA＞0，∴tanA=1，
又A为三角形的内角，
则A=．

23．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．
（Ⅰ）证明：B﹣A=；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，
∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）
又B为钝角，∴+A∈（，π），
∴B=+A，∴B﹣A=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，
∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）
=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A
=﹣2（sinA﹣）2+，
∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，
∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤
∴sinA+sinC的取值范围为（，]

24．（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC的长；
（2）求sin2C的值．
【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，
所以BC=．
（2）由正弦定理可得：，则sinC===，
∵AB＜BC，BC=，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，
∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0则cosC===．
因此sin2C=2sinCcosC=2×=．

25．（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．
（1）求AB的长；
（2）求cos（A﹣）的值．
【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，
∴sinB=，
∵，
∴AB==5；
（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．
∵A为三角形的内角，
∴sinA=，
∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．

26．（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．
（1）求sin（+α）的值；
（2）求cos（﹣2α）的值．
【解答】解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=
（1）sin（+α）=sincosα+cossinα==﹣；
∴sin（+α）的值为：﹣．
（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣
∴cos（﹣2α）=coscos2α+sinsin2α==﹣．
cos（﹣2α）的值为：﹣．

27．（2016•四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．
【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，
∴由正弦定理得：，
∴=，
∵sin（A+B）=sinC．
∴整理可得：sinAsinB=sinC，
（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．
sinA=，=
+==1，=，
tanB=4．

28．（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，
即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC
2cosCsinC=sinC
∴cosC=，
∴C=；
（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，
∴（a+b）2﹣3ab=7，
∵S=absinC=ab=，
∴ab=6，
∴（a+b）2﹣18=7，
∴a+b=5，
∴△ABC的周长为5+．

29．（2015•山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣
=sin2x﹣
=sin2x﹣
由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；
由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；
所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；
（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，
由题意知A为锐角，所以cosA=，
由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，
可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．
因此S=bcsinA≤，
所以△ABC面积的最大值为．

30．（2013•江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，
从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==
由正弦定理，得AB===1040m．
所以索道AB的长为1040m．
（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得
d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，
因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．
（3）由正弦定理，得BC===500m，
乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C．
设乙步行的速度为 v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内．

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