勾股定理练习题整理及答案解析.doc

勾股定理
一、 勾股定理及证明
1.勾股定理基础
2.简单的计算
3.几何图形中的计算
4.勾股定理的几何证明
二、 勾股定理的逆定理
三、 勾股定理的应用

一、 勾股定理及证明

1.勾股定理基础

1. 【易】（初二数学下期末复习）在中，，、、分别表示、、的对边，则下列各式中，不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D

2. 【易】（2010实验初二上期中）下列说法正确的是（　　）
A．若、、是的三边，则
B．若、、是的三边，则
C．若、、是的三边，，则
D．若、、是的三边，，则
【答案】C

3. 【易】（沈阳）在下列说法中正确的是（　　）
A．在中，
B．在中，若，，则
C．在中，两直角边长都为15，则斜边长为
D．在直角三角形中，若斜边长为10，则可求出两直角边的长
【答案】C

4. 【易】(2010年北京西城外期中)将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
【答案】B

5. 【易】（深圳中学初二上期中）把直角三角形的两直角边同时扩大到原来倍，则其斜边扩大到原来的（　　）倍，所得的三角形仍为直角三角形
A． B． C． D．
【答案】B

6. 【易】直角三角形的两直角边同时扩大为原来的倍，其斜边扩大到原来的（　　）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】A

7. 【易】（人大附中2013年第二学期期中初二年级数学练习）某校办工厂要制作一些等腰三角形的模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照底长、腰长和底边上高的顺序进行了记录，其中记录有错误的是（　　）
A．10，26，24 B．16，10，6 C．30，17，8 D．24，13，5
【答案】A

8. 【易】(2013年理工分校第二学期初二数学期中练习)在中，，周长为60，斜边与一条直角边之比为，则这个三角形三边长分别是（　　）
A．5、4、3 B．13、12、5 C．10、8、6 D．26、24、10
【答案】D

9. 【易】（2013年理工分校第二学期初二数学期中练习）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（　　）
A．8m B．10m C．12m D．14m
【答案】C
【解析】解：由题意得，为旗杆的高，，米．

已知，根据勾股定理得
解得米

10. 【易】美丽的人造平面珊瑚礁图案．图中的三角形都是直角三角形，图中的四边形都是正方形．如果图中所有的正方形的面积之和是980cm2．问：最大的正方形的边长是_______．

【答案】14cm
图中所有正方形的面积之和等于5倍的最大的正方形的面积，980÷5=196cm

11. 【易】（2013年第二学期五十七中初二年级数学学科期中试卷）
已知，如果以，的长为直角边作一个直角三角形，那么这个直角三角形的斜边长为（　　）
A． B．5 C． D．
【答案】C

12. 【易】(2013年理工分校第二学期初二数学期中练习)如图，在四边形中，，，，且，试求的度数．

【答案】连结，

在中，，，
∴，，
∴，∴，
∴

13. 【易】（2013年第二学期八年级数学学科期中统练试卷）如图所示的一块地，已知，，，，，求这块地的面积．

【答案】
【解析】连接

在中，，，，
∴，，
∴，
∴

14. 【易】看下列两组勾股数
⑴ ⑵
3 4 5 4 3 5
5 12 13 6 8 10
7 24 25 8 15 17
9 40 41 10 24 26
11 60 61 12 35 37
… … … … … …
从以上的勾股数的表中，你发现了什么规律？
【答案】所给的勾股数（），当为奇数时，；
当为偶数时，

15. 【中】(江苏省竞赛题)对如下的3个命题:
命题1：边长为连续整数的直角三角形是存在的．
命题2：边长为连续整数的锐角三角形是存在的．
命题3：边长为连续整数的钝角三角形是存在的．
正确命题的个数为（　　）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
3，4，5；4，5，6；2，3，4的三角形显然存在，且分别为直角、锐角、钝角三角形．

16. 【中】(3,4,5)是一组最简单的勾股数，由此提出下列问题
⑴ 三边长为连续整数的直角三角形有多少个？
⑵ 三边长为连续整数的钝角三角形存在吗？如果存在，有多少个？
⑶ 三边长为连续整数的锐角三角形存在吗？如果存在，有多少个？
【答案】三边长为连续整数的直角三角形是存在的，并且只有一个；三边长为连续整数
的钝角三角形也只有一个，它的三边长为2,3,4；三边长为连续整数的锐角三角形有无数个.

17. 【中】在锐角三角形中，已知某两边那么第三边的变化范围是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D 设第三边长为,则

18. 【中】(绵阳市中考题)若是直角三角形的三条边长，斜边上的高的长是，给出下列结论：①以的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以的长为边的三条线段能组成直角三角形.其中所有正确结论的序号为______.
【答案】②③④ 即

2.简单的计算

19. 【易】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为__________
【答案】6，8，10

20. 【易】（2012昆山一模）一个直角三角形的两边长分别为4与5，则第三边长为（　　）
A．3 B． C．或 D．不确定
【答案】C

21. 【易】在中，，若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B

22. 【易】若直角三角形中，有两边长是和，则第三边长的平方为（　　）
A． B．或 C．或 D．
【答案】B

23. 【易】（2013年黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（　　）
A．5 B． C． D．5或
【答案】D

24. 【易】（2010年北京月坛期中）在中，，若，，则（　　）
A． B． C． D．都不对
【答案】A

25. 【易】已知，三角形的三边长为，则这个三角形最长边上的高是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D

26. 【易】（2010年北京文汇期中）在中，，，边上的高，则的长为（　　）
A． B． C．或 D．不能确定
【答案】C

27. 【易】在中，，，， 则的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A

28. 【易】（2013年乐亭县一模）已知直角三角形的两直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的斜边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C

29. 【易】（安徽省中考题）如图，在△中，点为的中点，⊥于点，则等于（　　）．

A． B． C． D．
【答案】C

30. 【易】（北京市西城区2013学年度第二学期期末试卷八年级数学）如图，每个小正方形的边长为1，的三个顶点，，在格点上，那么三边，，的大小关系是（　　）

A．
B．
C．
D．
【答案】D

31. 【易】（2013山东滨州中考）在中，，，，则边的长为______________．
【答案】

32. 【易】（2010年北京四中期中）如果直角三角形的三边长为、、，则最短边上的高为____________．
【答案】或

33. 【易】（北京西城外国语学校2011初二数学期中）三角形三条边长分别为，，，那么最短边上的高是_______________．
【答案】

34. 【易】（初二数学下期末复习）若正方形的面积为，则正方形对角线长为______。
【答案】

35. 【易】（2011深圳中学初二上期末）直角三角形的两直角边的长分别是和，则斜边上的高为__________．
【答案】

36. 【易】如图，已知是的斜边上的高，其中，，那么等于______．

【答案】

37. 【易】在中，，，，则______．
【答案】

38. 【易】（初二上期中模拟）在中，，其中，，则______．
【答案】

39. 【易】（2010年北京七中期中）已知直角三角形的两直角边长分别为和，则第三边长为______
【答案】

40. 【易】求图中直角三角形中未知的长度：______．

【答案】

41. 【易】（巴中市二○一三年高中阶段教育学校招生考试数学试卷）若直角三角形两直角边长分别为，且满足，则该直角三角形的斜边长为______________
【答案】

42. 【中】（初二数学下期末复习）一直角三角形的一直角边长为，斜边长比另一直角边长大，则斜边的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C

43. 【中】（初二下期末综合练习（三））已知一直角三角形的木板，三边的平方和为，则斜边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B

44. 【中】（初二上期中模拟）已知直角三角形中，，，，现将绕点旋转，得，其中的对应点为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B

45. 【中】一直角三角形的两边长是和，则第三边边长的平方是______．
【答案】或

46. 【中】（2010年北京文汇期中）三角形的两边长分别为和，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是______．
【答案】或

47. 【中】（北京市第三十五中学2011学年度第二学期期中初二）若直角三角形的两边长分别为和，则第三边长为____________．
【答案】或

48. 【中】（2010年北京五中期中）有一个直角三角形的两边为、，要使三角形为直角三角形，则第三边等于______．
【答案】

49. 【中】（2010年北京鲁迅期中）若一个直角三角形的两边长分别为和，则此三角形的第三边长为______．
【答案】或

50. 【中】（初二下期末综合复习）已知直角三角形的两边长、满足，则第三边长为______
【答案】或或

51. 【中】在中，，，高，则三角形的周长是______．
【答案】或

52. 【中】已知直角三角形的三边长为、、，则以为边的正方形的面积为______．
【答案】或

53. 【中】（2013年清华附中初二第二学期期中试卷数学）
如图，在中，平分，平分，且交于，若，则______________．

【答案】100

54. 【中】（初二周测）在中，，，，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D

55. 【中】（2010年北京七中期中）在，
⑴已知，，求的值
⑵已知，，求长度
【答案】⑴∵，
设
∴
∴
∴
⑵，，
∴
∴

56. 【中】（2012年全国初中数学联赛题）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的斜边长.
【答案】设直角三角形三边长分别为(≤<),则
由≤<得,
由+>得,
∵为整数，∴11≤≤14.
∵，把代入并化简得.
∴.
∵均为整数，且≤，∴只可能是
解得从而=13.

57. 【中】已知：线段、
求作：线段，使得（保留作图痕迹，不要求写作法和证明，但应在图中标示各线段的长并写明结论）

【答案】作法，以线段一端点为圆心，以长为半径作圆，仍过此端点作关于线段
的垂线，与圆交于两点，任意连接一点与线段的另一端点即为所求

3.几何图形中的计算

58. 【易】如图，一块直角三角形的纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　）

A． B． C． D．
【答案】B

59. 【易】(2013年绥化市初中毕业学业考试数学试卷)如图，在中，，，，在上，将沿直线翻折后，点落在点处，如果，那么的面积是（　　）

A．1 B． C． D．
【答案】A

60. 【易】如图，中，，两直角边，，三角形内有一点到各边的距离相等，则这个距离是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B

61. 【易】（第18届江苏省竞赛题）如图，梯子斜靠在墙面上，⊥，，当梯子的顶端沿方向下滑米时，梯子沿方向滑动米，则与的大小关系是（　　）
A. B. C. D.不确定

【答案】选B，设米，由勾股定理得
化简得.

62. 【易】(2013年理工分校第二学期初二数学期中练习)如图，一个机器人从点出发，拐了几个直角的弯后到达点位置，根据图中的数据，点和点的直线距离是________________．

【答案】

63. 【易】（2013年资阳）如图，点在正方形内，满足，，则阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C

64. 【易】（房山区2012学年度第一学期终结性检测试卷）图1中的字母所代表的正方形的面积是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C

65. 【易】(2012年泰安市中考题)如图，在△中，∠°，⊥于点，⊥于点，为中点，与分别交于点

⑴ 求证：
⑵ 求证:．
【答案】⑴ 证明△≌△．
⑵ 代换即可．

66. 【易】（北京三帆中学2012初二数学第二学期期中）直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与重合，折痕为，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C

67. 【易】如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形的面积是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B

68. 【易】（2013年郑州模拟）如图，在中，，为边上一动点，，，为中点，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B

69. 【易】（2010年初一下两部联考）如图，如果半圆的直径恰为直角三角形的一条直角边，那么半圆的面积为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B

70. 【易】如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为、、，则、、的关系是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A

71. 【易】（2012年咸丰县二模）如图，已知在中，，，分别以为直经作半圆，面积分别记为，则的值等于（　　）

A． B． C． D．
【答案】D

72. 【易】（2012年黔东南州）如图，矩形中，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点的坐标为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C

73. 【易】（深圳中学初二上期中）如图，三个正方形围成一个直角三角形，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形的边长是______

【答案】

74. 【易】（沈阳）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是____________．

【答案】

75. 【易】（2011深圳中学初二上期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为厘米，则图中所有正方形的面积之和为_____平方厘米．

【答案】

76. 【中】（2013年六合区一模）如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为3和4，则的面积为________

【答案】7

77. 【中】（2011深圳中学初二上期末）如图，在平面上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积从左到右依次是，，，则正放置的四个正方形的面积之和为________（可用，，表示）．

【答案】

78. 【中】（2011深圳中学初二上期末）如图，在中，，，，，则的面积为____________．

【答案】

79. 【中】（2012年第二学期初二数学期中）如图，已知中，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为，之间的距离为，则的长是（　　）

A． B． C． D．7
【答案】A

80. 【中】（北京一零一中2012年第二学期期中考试初二）图1中的“箭头”是以所在直线为对称轴的轴对称图形，．图2到图4是将“箭头”沿虚线剪拼成正方形的过程，则图1中的长为（　　）

A．1 B． C． D．
【答案】D

81. 【中】如图，在四边形中，，，，，的面积为，求的长．

【答案】

82. 【中】已知：如图，是和的公共边，、是直角，，，，求、的长．

【答案】（补全三角形）

83. 【中】已知在中，、分别是边上的高和中线，，，，求的长．

【答案】

84. 【中】（2012年第二学期初二数学期中）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边，现将直角边沿的角平分线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求出的长．

【答案】

85. 【中】如图，长为，长为，长为，求正方形的面积．（其中和都为直角）

【答案】

86. 【中】已知两个全等的直角三角形纸片、，如图⑴放置，点、重合，点在上，与交于点.，，．
⑴求证： 是等腰三角形；
⑵若纸片不动，问绕点逆时针旋转最小____度时，四边形成为以为底的梯形（如图⑵）．求此梯形的高．

【答案】⑴略
⑵；

87. 【中】如图所示，螺旋形是由一系列直角三角形组成，其中，表示第个三角形的面积。
⑴ 请你用的代数式表示
⑵ 求的值。

【答案】⑴
⑵

88. 【中】(市外2010期中)如图，设四边形是边长为1的正方形，以正方形的对角线为边作第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边作第三个正方形，如此下去…．
⑴记正方形的边长为，依上述方法所作的正方形的边长依次为，，，…，，求出，，的值．
⑵根据以上规律写出第个正方形的边长的表达式．

【答案】⑴，且在直角中，，
∴，
同理，
；
⑵由⑴结论可知：
，
，
；
…
故找到规律
．

89. 【中】（2012南充市中考题）如图，四边形中，∠=∠=90°，若四边形的面积为，则长为_______cm.

【答案】
延长至，使连接则△≌△，△为等腰直角三角形.

90. 【中】（2010年北京文汇期中）问题背景：
在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道量时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
⑴请你将的面积直接填写在横给上．
思维拓展：
⑵我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、、（），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的．并求出它的面积．
探索创新：
⑶若三边的长分别为、、（，，且），试运用构图法求出这三角形的面积．

【答案】⑴
⑵面积为
⑶面积为

91. 【中】(青岛市中考题)如图，是正△内的一点，且若将△绕点旋转后，得到与点之间的距离为_______，∠=_______.

【答案】6;150°

92. 【中】如图,在△中，，边上的中线，则的长为_______．

【答案】
延长至，使，连接，则又则∠° ．

93. 【中】(2012年四川省竞赛题)在△中，已知是边的中点，过点作延长线的垂线，垂足为，则线段的是_______．
【答案】 ∠°，2=，∠=∠=30°．

94. 【中】(2013年绥化市初中毕业学业考试数学试卷)如图，在中，于点，，，，求的长．

【答案】∵于点，

∴．
在中，
∵，，
∴
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．

4.勾股定理的几何证明

95. 【易】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为，较长直角边为，那么()的值为（　　）

A．13 B．19 C．25 D．169
【答案】C 由题意得,解得故

96. 【易】（人大附中2013年第二学期期中初二年级数学练习）下图中，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________．

图1 图2
【答案】

97. 【易】（2010年南浔区模拟）利用图中图形的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，此证明方法就是美国第二十任总统伽菲尔德最先完成的，人们为了纪念他，把这一证法称为“总统”证法．这个定理称为___________，该定理的结论其数学表达式是___________．

【答案】勾股定理，

98. 【易】（2008年湖州）利用图⑴或图⑵两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_____________，该定理的结论其数学表达式是_____________

【答案】勾股定理，

99. 【易】（2012年宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，，，点都在矩形的边上，则矩形的面积为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：如图，延长交于点，延长交于点，

所以，四边形是正方形，
边长，
所以，，
因此，矩形的面积为．

100. 【易】利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图，从图中可以看到：大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积．因而____+_____．化简后即为_______．

【答案】，

101. 【易】（初二下期末综合练习（三））2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由四个全等的直角三角形 与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，那么的值为____________.

【答案】41

102. 【易】（2011年温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值是____________

【答案】

103. 【中】（2010年北京丰台区期末）
⑴如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；
⑵如图2，，，且三点共线．
试证明；
a
b
b
a
图1
a
b
c
c
A
E
D
C
B
b
a
图2

⑶伽菲尔德（，1881年任美国第20届总统）利用⑴中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．
【答案】⑴这个公式为．
a
b
c
c
A
E
D
C
B
b
a

⑵∵，
∴．
∴．
由于共线，
∴

⑶梯形的面积为
另一方面，梯形可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成

所以，
即．

104. 【中】一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法．如图，火柴盒的一个侧面倒下到的位置，连接，设，请利用四边形的面积验证勾股定理：．

【答案】证明：四边形为直角梯形，
∴
又∵
∴．
∴；
∴
∴
∴

105. 【中】在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”，你知道它的意思吗？
它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：．
⑴ 请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？
⑵ 请你观察下列图形，直角三角形的两条直角边的长分别为，请你研究这个直角三角形的斜边的长的平方是否等于？

【答案】解：⑴边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证．分
别以这个直角三角形的三边为边向外作正方形，如图：，

，
即，
又∵，
∴．
⑵如图（图见题干中图）

106. 【中】（2009新疆）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是，斜边长为）和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
⑴ 画出拼成的这个图形的示意图．
⑵ 证明勾股定理．

【答案】⑴

⑵证明：由图得，
整理得，，
即，．

107. 【中】（新疆维吾尔自治区及新疆生产建设兵团初中毕业生学业考试）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
⑴ 画出拼成的这个图形的示意图．
⑵ 证明勾股定理．
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
c

【答案】方法一：
a
b
c
c
c
c
b
b
b
a
a
a

证明：∵大正方形的面积表示为
大正方形的面积也可表示为
∴

∴
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
方法二：
a
b
c

证明：∵大正方形的面积表示为：，
又可以表示为：
∴

∴
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
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