教案大学物理.doc

教 案

大 学 物 理

(05 春)

大学物理教研室

[第一次]
【引】本学期授课内容、各篇难易程度、各章时间安排、考试时间及形式等
绪 论
1、物理学的研究对象
2、物理学的研究方法
3、物理学与技术科学、生产实践的关系

第一章 质点运动学

【教学目的】
☆ 理解质点模型和参照系等概念
☆ 掌握位置矢量、位移、速度、加速度等描述质点运动和运动变化的物理量
☆ 能借助于直角坐标系熟练地计算质点在平面内运动时的速度和加速度，能熟练地计算质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。
【重点、难点】
※ 本章重点：位置矢量、位移、速度、加速度、圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。
▲ 本章难点：切向加速度和法向加速度
【教学过程】
·描述质点运动和运动变化的物理量 2学时
·典型运动、圆周运动 2学时
·相对运动 2学时

《 讲 授 》
一、基本概念
1 质点
2 参照系和坐标系
x
y
z
O
图 1-1

（1）直角坐标系（如图1-1）：

图 1-2
τ
n
图 1-2
τ
n

（2）自然坐标系（如图1-2）：
3 时刻与时间
二、描述质点运动的基本量
1位置矢量
表示运动质点位置的量。如图1－1所示。

（1－1）
矢径r的大小由下式决定：
（1－2）
矢径r的方向余弦是
（1－3）

运动方程 描述质点的空间位置随时间而变化的函数。称为运动方程，可以写作
x = x（t），y = y（t），z = z（t） （1－4a）
或
r = r（t） （1－4b）
轨道方程 运动质点在空间所经过的路径称为轨道．质点的运动轨道为直线时，称为直线运动．质点的运动轨道为曲线时，称为曲线运动．从式（1一4a）中消去t以后，可得轨道方程。
例：设已知某质点的运动方程为
x
y
z
O
图 1-3位 移

从x、y两式中消去t后，得轨道方程：

2 位移
表示运动质点位置移动的量。如图1－3所示。

（1—5）
在直角坐标系中，位移矢量的正交分解式为
（1－6）
式中；；是的沿坐标轴的三个分量。
位移的大小由下式决定
（1－7）
位移的方向余弦是
；； （1－8）

路程 路程是质点在运动过程中实际通过的路径的长度。路程是标量。
3 速度：描述质点运动的快慢和方向的量．
（1）平均速度： （1－9）
（2）瞬时速度（速度）：
（1－10）
直角坐标系中，速度矢量也可表示为
（1－11）
其中、、分别是速度v的沿坐标轴的三个分量。
速度的大小由下式决定
（1－12）
速度的方向余弦是
；； （1－13）

速率 速率等于质点在单位时间内所通过的路程。
平均速率
（1－14）
瞬时速率（简称速率）
（1－15）
4 加速度：描述质点速度改变的快慢和方向的量。
（1）平均加速度
（1－16）
（2）瞬时速度（速度）：
（1－17）
在直角坐标系中，加速度矢量a的正交分解式为
（1－18）
其中、、分别是加速度a的沿坐标轴的三个分量。

[第二次]

三、几种典型的质点运动
1 直线运动
（1） 匀变速直线运动（略）
（2） 变加速直线运动
［例1－1］ 潜水艇在下沉力不大的情况下，自静止开始以加速度铅直下沉（A、为恒量），求任一时刻的速度和运动方程。
解：以潜水艇开始运动处为坐标原点O，作铅直向下的坐标轴Ox，按加速度定义式，有
或 ①
今取潜水艇开始运动的时刻作为计时零点，按题意， 时，，。将代入上式①，积分：

由此可求得潜水艇在任一时刻的速度为
②
再由直线运动的速度定义式，将上式写作
或
O
A
B

图 1-4
根据上述初始条件，对上式求定积分，有

由此便可求得潜水艇在任一时刻的位置坐标，即运动方程为
③
2 抛体运动（略）

3 圆周运动
（1）匀速圆周运动

其加速度为

加速度的大小：

从图1－4中看出，

所以

因v和R均为常量，可取出于极限号之外，得

因为时，所以

故得
（1－19）
再讨论加速度的方向：加速度的方向是→0时的极限方向。由图1一8可看出与间的夹角为；当→0时，这个角度趋于，即a与垂直。所以加速度a的方向是沿半径指向圆心，这就是读者所熟知的向心加速度。
（2）变速圆周运动

O
A
B

图 1-5
如图1一5所示的。

这个角度也可能随时间改变。通常将加速度a分解为两个分加速度，一个沿圆周的切线方向，叫做切向加速度，用表示，只改变质点速度的大小；一个沿圆周的法线方向，叫做法向加速度，用表示，只改变质点速度的方向；即
（1－20）
a的大小为
A
B
θ1
θ2
图1－6
式中，
a的方向角为
（3）圆周运动的角量描述
① 角坐标θ
② 角位移Δθ=θ1-θ2
③ 角速度ω

④ 角加速度β

4 曲线运动
如果质点在平面内作一般的曲线运动，其加速度也可分解为
（1－39）
上式中，为切向加速度，为法向加速度，其量值分别为
； （1－22）
［例1－2］ 一质点沿半径为R的圆周运动，其路程用圆弧s表示，s随时间t的变化规律是，其中、都是正的常数，求（1）时刻质点的总加速度。（2）总加速度大小达到值时，质点沿圆周已运行的圈数。

解：（1）由题意可得质点沿圆周运动的速率为

再求它的切向和法向加速度，切向加速度为

法向加速度为
于是，质点在时刻的总加速度大小为

其方向与速度间夹角为

（2）总加速度大小达到值时，所需时间可由

求得
代入路程方程式，质点已转过的圈数

[第三次]

Ⅰ相对运动
Ⅱ习题
1—2、34、5、6、8、10、11

【本章作业】1—2；1—3；1—8；1—11
【本章小结】
1 坐标系：直角坐标系、自然坐标系
2 四个基本量：位置（运动方程）、位移、速度、加速度
3 圆周运动：角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度
【参考书】： 程守珠、江之永 普通物理学（第五版）；
张三慧 大学物理学（第二版）
赵近芳 大学物理学（第二版）

[第四次]

第二章 质点动力学
【教学目的】
☆掌握牛顿三定律及其适用条件。
☆理解万有引力定律。
☆了解力的种类、物理学量刚、惯性系与非惯性系。
【重点、难点】
※ 本章重点：牛顿运动定律的应用。
▲ 本章难点：变力作用下牛顿运动定律的应用。
【教学过程】
牛顿定律、力的种类、惯性系与非惯性系败 2学时

《 讲 授 》
一、牛顿运动定律

第一运动定律：
第二运动定律：物体受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，并与物体的质量成反比；加速度的方向与合外力的方向相同。
第三运动定律：
应用第二定律时，应注意下述几点：
（1）瞬时性、方向性、叠加性
（2）分量式：
直角坐标系： （2—4a）
或
（2—4b）
圆周轨道或曲线轨道： （2—5）
式中和分别代表法向合力和切向合力；是曲线在该点的曲率半径。
（3）是物体所受的一切外力的合力，但不能把ma误认为外力．
二、力的种类
1 常见的力
重力、弹性力、摩擦力
2 四种自然力
现代物理学按物体之间的相互作用的性质把力分为四类：万有引力、电磁力、强相互作用和弱相互作用．

三、力学的单位制和量纲（了解）

四、惯性系和非惯性系（了解）

例题

2—13 质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：
（1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；
（2）子弹进入沙土的最大深度．
2—14 公路的转弯处是一半径为 200m 的圆形弧线，其内外坡度是按车速60km/h设计的，此时轮胎不受路面左右方向的力，雪后公路上结冰，若汽车以40km/h 的速度行驶，问车胎与路面间的摩擦系数至少多大，才能保证汽车在转弯时不至滑出公路？
2—15 质量为m的小球，在水中受的浮力为常力F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f = kv（k为常数）．证明小球在水中竖直沉降的速度值v与时间t的关系为V= ，式中t为从沉降开始计算的时间。

【本章作业】2—7、8、9
【本章小结】第二定律分量式
1 直线运动：
2 圆周轨道或曲线轨道：
【参考书】： 程守珠、江之永 普通物理学（第五版）；
张三慧 大学物理学（第二版）
赵近芳 大学物理学（第一版）

[第五次]

第三章 功和能
【教学目的】
☆ 掌握功的概念。能计算直线运动情况下变力的功。
☆ 掌握保守力作功的特点及势能概念，会计算势能。
☆ 掌握质点的动能定理并能用它分析、解决质点在平面内运动时的简单力学问题。
☆ 掌握机械能守恒定律及适用条件。掌握运用它分析问题的思想方法。能分析简单系统在平面内运动的力学问题。
【重点、难点】
※ 本章重点：功、势能、动能定理、机械能守恒定律
▲ 本章难点：变力的功、动能定理、机械能守恒定律
【教学过程】
1 功的概念、动能定理 2学时
2 势能、功能原理、机械能守恒定律 2学时

《 讲 授 》
一、功和功率
1 功的定义
（1）恒力的功（图3-1）
①A = F s ② A = （3-1）

α
s
F
s
F
图 3-1

【注】
功有正负．当α＜时，功为正值，也就是力对物体作正功。当α=时，功为零，也就是力对物体不作功。当α＞时，功为负值，也就是力对物体作负功，或者说，物体反抗外力而作功．功本身是标量，没有方向的意义．
a
b
α
F
ds
图3-2
（2）变力的功（图3-2）

在曲线运动中，我们必须知道在曲线路程上每一位移元处，力和位移元之间的夹角，所以微功和总功A分别为

或把总功用积分式表示为
（3－2）
式中a、b表示曲线运动的起点和终点．
（3）合力的功
假如有许多力同时作用于同一物体，我们不难证明合力的功等于各分力的功的代数和．
在国际单位制中，功的单位是牛顿·米（N·m），称为焦耳（符号J）；在工程制中，是千克力·米，没有专门名称．
（4）功率
平均功率

瞬时功率

或
（3－3）
上式说明瞬时功率等于力的速度方向的分量和速度大小的乘积．
在国际单位制中，功率的单位是焦耳·秒―1（J•s―1），称为瓦特（符号W）。
［例1］ 一质点受力（SI）作用，沿X轴正方向运动。从x=0到x=2m过程中，力作功为 J
［例2］ 质量为m＝0.5kg 的质点，在XOY坐标平面内运动，其运动方程为x＝5t，y＝0.5t2 (SI)，从t＝2s 到t＝4s 这段时间内，外力对质点作的功为 J

二、动能、动能定理
1 动能
2 质点的动能定理
（1）推导： （3－4）
（2）合外力对物体所作的功等于物体的动能的增量．这一结论称为动能定理．
3 系统的动能定理
（1）系统内力 系统外力。
（2）系统的动能定理的形式
（3－5）
和分别表示系统在终态和初态的总动能，A表示作用在各物体上所有的力所作的功的总和．

[第六次]

三、保守力作功 势能
a
b
h1
h2
h
α
mg
ds
图3-3
1 重力作功的特点

式中就是在位移元ds中物体上升的高度．所以重力所作的功是

可见物体上升时（>），重力作负功（A＜0）；物体下降时（<），重力作正功（A>0）。
从计算中可以看出重力所作的功只与运动物体的始末位置（和）有关，而与运动物体所经过的路径无关。
重力势能

或
（3－6）
上式说明：重力的功等于重力势能的增量的负值。
2 弹性力的功 弹性势能
弹性力也具有保守力的特点．我们以弹簧的弹性力为例来说明．
根据胡克定律，在弹性限度内，弹簧的弹性力F的大小与弹簧的伸长量x成正比①，即
F = kx
k称为弹簧的倔强系数．因弹性力是一变力，所以计算弹性力作功时，须用积分法或图解法．
得
弹性势能
则 （3－7）
和重力作功完全相似，上式说明：弹性力所作的功等于弹性势能的增量的负值。
3 万有引力的功 引力势能

推导得：
或
（3－8）
通常，取m离M为无限远时的势能为零势能参考位置，亦即在上式中令
rb→∞，＝0，这样
引力势能 （3－9）
四、功能原理 机械能守恒定律
1 功能原理
现在我们对系统的动能定理

作进一步的讨论。对于几个物体组成的系统来说，上式中A包括一切外力的功和一切内力的功．内力之中，又应将保守内力和非保守内力加以区分．所以式
（3一10）
式（3一10）是适用于一个系统的动能定理．
而 （3－11）
至于非保守内力的功，可以是正功（例如系统内的爆炸冲力），也得
或 （3－12）
上式说明：系统机械能的增量等于外力的功和非保守内力的功的总和，通常称为系统的功能原理．
2 机械能守恒定律
显然，在外力和非保守内力都不作功或所作的总功为零（或根本没有外力和非保守内力的作用）的情形下，由上式得
恒量 （3－13）
亦即系统的机械能保持不变．这一结论称为机械能守恒定律．
［例3－2］ （学生自学）
［例3－4］ 如图（见教材），有一小车沿圆形无摩擦轨道经过A、B、C、D各点，若轨道的圆心为O，半径为R，∠COD==60°，，小车质量为m。求小车在D点所受的轨道压力N。
解：要求正压力，应采用牛顿第二定律；正压力在半径方向，因此只须用法向分量式；设过D点时小车的速率为v，则法向加速度为；小车除受压力N外，还受重力作用；取向心的方向为法线的正向，得牛顿第二定律的法向分量式为：

欲求N，应先求速率v，因重力是保守力，正压力不作功，摩擦力可忽略，故运动中机械能应守恒。因已知，故选取小车过A、D二点时为二状态，并取过A点的水平面为参照面；则在状态A，物体组（小车与地球）的动能为，势能为零；在状态D，动能为，势能为。由机械能守恒定律，得：

在上二式中消去v后求N，得：

将和的值代入上式后化简，得：

［例3－5］ 如图所示，一钢制滑板的雪橇满载木材，总质量，当雪橇在倾角的斜坡冰道上从高度h=10m的A点滑下时，平顺地通过坡底B，然后沿平直冰道滑到C点停止。设雪橇与冰道间的摩擦系数为，求雪橇沿斜坡下滑到坡底B的过程中各力所作的功和合外力的功。
解：雪橇沿斜坡AB下滑时，受重力，斜面的支承力和冰面对雪橇的滑动摩擦力作用，方向如图所示，的大小为。下滑的位移大小为。
按功的定义式（3－1），由题设数据，可求出重力对雪橇所作的功为

斜坡的支承力对雪橇所作的功为

摩擦力对雪橇所作的功为

在下滑过程中，合外力对雪橇作功为

【本章作业】3—7、8、10
【本章小结】
1 基本概念：⑴功和功率 ⑵势能和动能
2 基本原理：
⑴质点的动能定理：
⑵ 功能原理：
⑶ 机械能守恒定律：恒量
【参考书】： 程守珠、江之永 普通物理学（第五版）；
张三慧 大学物理学（第二版）
赵近芳 大学物理学（第一版）

[第七次]

第四章 动 量
【教学目的】
☆ 掌握的冲量概念。会计算变力的冲量
☆ 掌握质点动量定理，并能用它分析、解决质点在平面内运动时的简单力学问题。
☆ 掌握动量守恒定律及适用条件。掌握运用它分析问题的思想方法。
【重点、难点】
※ 本章重点：冲量、动量定理、动量守恒定律、碰撞。
▲ 本章难点：变力的冲量、动量定理、动量守恒定律。
【教学过程】
1 冲量、动量定理 2学时
2 动量守恒定律、碰撞 2学时

《 讲 授 》
一、冲量 动量 动量定理
1 冲量
（1）恒力的冲量
I=F（t2－t1） （4一1）
（2）变力的冲量
如果外力F是一变力，则把力的作用时间t2－t1分成许多极小的时间间隔，在时间中的冲量为

而在时间t2－t1中的冲量为

如果所取的时间为无限小，上式可改写为积分式
（4一2）
要注意到，与上式相应，在各坐标轴方向的分量式是
（4一3）
2 动量 动量定理
（1）动量（运动量）
（4—4）
（2）动量定理
可以证明，在合外力F是变力，物体作一般运动的情况下，有：
（4－5）
在坐标轴方向的三个相应的分量式是
（4－6）
［例4－1］ 一质量为2.5克的乒乓球以速度米/秒飞来,用板推挡后,又以=20米/秒的速度飞出。设推挡前后球的运动方向与板面的夹角分别为45°和60°，如图所示。
45°
60°
v1
v2
45°
60°
p1
p2
I

（a） （b）
图例4—1

（1）画出板对球的平均冲力的方向；
（2）求乒乓球得到的冲量大小；
（3）如撞击时间是0.01秒，求板施加于球上的平均冲力。

解：
（1）由动量定理：得：

可以画出冲量方向如图，平均冲力的方向与方向相同。
（2）将初、末两状态动量向x轴作分量
kgm·s-1
kgm·s-1
kgm·s-1
kgm·s-1
kgm·s-1
kgm·s-1
kgm·s-1
由动量定理：
N

[第八次]

三、动量守恒定律
1 两个物体相互正碰（高中）
按动量定理

牛顿第三运动定律指出：f1＝－f2，所以，以上两式相加后得

容易看出，碰撞前后，两物体的动量之和保持不变。
2 n个物体组成的系统
按牛顿第二运动定律和第三运动定律，可以证明：（1）系统内一切内力的矢量和等于零，（2）系统所受外力的矢量和等于系统总动量的时间变化率，即
（4－8）
式中为系统的总动量，是系统所受外力的矢量和．
如果该系统不受外力或所受外力的矢量和为零（即＝0），从式（4－8）可知：

于是
=恒量，（在＝0的条件下） （4－9）
这一结论称为动量守恒定律：在系统不受外力或外力矢量和为零时，系统的总动量守恒．
3 分量式

（4－10）
4 理解
（1）分方向守恒；（2）条件：外力与内力比较可忽略。

［例4－4］一长为l、质量为M的小车放置在平直轨道上，车的A端站有一质量为m的人，人和小车原来都静止不动。如果这人从车的A端走到B端，不计小车与轨道之间的摩擦，求小车和人各自的位移为多少？
解：当人开始启步时，将人和小车视作一系统．车对人作用的向前摩擦力（方向向左）、向上支承力和人对车作用的向后摩擦力（方向向右）、向下压力，都是系统内的人和车相互作用的内力．系统所受外力有：人的重力、车的重力G和地面对车的支承力N，它们沿水平方向的分量为零，因而，沿水平方向，系统动量守恒．今取人走动前，B端所在处为坐标原点O，x轴水平向右，人走动前，人和车原为静止，速度均为零；走动后，设人和小车相对于地面的速度分别为v和V，假设它们均与x轴正向同方向，则由动量守恒定律的表达式（4－10），有

于是得 ①
式中，负号表示人与小车运动的方向相反．
按直线运动的速度定义，可得时间dt内的位移为dx=vdt．因此，小车和人在时间dt内的位移分别为dx车=Vdt和dx人=vdt．将式①两边乘dt，即得
dx车人 ②
设人从A端走到B端时，小车的B端坐标从零变为x，则人的坐标从l相应地变为x，积分上式
车=人
得
解出上式中的x，得小车相对于地面的位移为

人相对于地面的位移（即末位置与初位置的坐标之差）为

负号表示人的位移方向与x轴反向。
四、碰 撞
如果两个或两个以上的物体相遇，相遇时，物体之间的相互作用仅持续极为短暂的时间，这种相遇就是碰撞
1 分类
（1）弹性碰撞；（2）非弹性碰撞；（3）完全非弹性碰撞
2 对心碰撞（正碰）
如果两球碰撞前的速度在两球的中心连线上，那么，碰撞时相互作用的冲力和碰撞后的速度也都在这一连线上．这种碰撞称为对心碰撞（或称正碰撞）

［例4－5］ 设A、B两球的质量相等，B球静止在水平桌面上，A球在桌面上以向右的速度冲击B球，两球相碰后，A球沿与原来前进的方向成角的方向前进，B球获得的速度与A球原来运动方向成角。若不计摩擦，求碰撞后A、B两球的速率和各为多少？
A
B
A
B
x
y
v1
mA
mB
v1/
v2/
α
β

图例4—5

解：将相碰时的两球看作一个系统，碰撞时的冲力为内力，系统仅在铅直方向受重力和桌面支承力等外力的作用，它们相互平衡，因而，系统所受外力的矢量和为零，于是动量守恒，由式（4－10），有

沿的方向取x轴，与它相垂直的方向取y轴（见图），两轴都位于水平桌面上。于是上述矢量式的分量式为

以，，代入上两式，联立求解；由题设，得

［例4－8］ 利用完全非弹性碰撞原理可以测定高速飞行子弹的速率。如图所示装置就是测定子弹速率的原理图。质量为M的滑块静止于水平面上，轻弹簧处于自然状态，因此坐标原点选在滑块（视作质点）处。现求质量为m的子弹的飞行速率。
X
k
v1
m
M
·
O
图例4—8

解：
①子弹射入滑块过程可以认为是两个质点之间的完全非弹性碰撞过程。子弹进入滑块后一起以速度沿水平方向运动，列出动量守恒定律表达示：

②碰撞后（m+M）以速度沿X正方向运动，压缩弹簧，（m+M）的动能转换成系统的弹性势能，忽略滑块与水平面之间的摩擦力时，系统的机械能守恒，列出方程：

③x是弹簧的最大压缩量，可以通过测量获得。联立上述两式解得

若（kg），（kg），（N/m），（m），代入上述数据得（m/s）。
［例4－9］如图所示，设有轻绳，长为l，上端固定，下端悬质量为M的重砂箱。质量为m的子弹水平射入砂箱，并停留砂内，和砂箱一起，最远摆到悬绳与竖直线成角的位置，若空气阻力可被忽略，子弹、砂箱均可作质点处理，求子弹的速度。（学生自学）

【本章作业】：4—8、13、14
【本章小结】
1 基本概念：⑴冲量 ⑵动量
2 基本原理：
⑴动量定理：
⑵动量守恒定律：

【参考书】： 程守珠、江之永 普通物理学（第五版）；
张三慧 大学物理学（第二版）
赵近芳 大学物理学（第一版）

[第九次]
第五章 刚体的转动

【教学目的】
☆ 掌握刚体绕定轴转动定律，理解力矩、转动惯量、转动动能等概念。
☆ 理解动量矩（角动量）概念，通过质点在平面内运动和刚体绕定轴转动情况，理解动量矩守恒定律及其适用条件。能应用动量矩守恒定律分析、计算有关问题。
【重点、难点】
※ 本章重点：转动定律、力矩、转动惯量、转动动能、转动动能、角动量、动量矩守恒定律、
▲ 本章难点：转动定律、动量矩守恒定律应用
【教学过程】
1 力矩、转动定律、转动惯量 2学时
2 转动动能、动量矩、动量矩守恒定律 2学时
3 习题课 2学时

《 讲 授 》
一、刚体的定轴转动
1 刚体概念
2 刚体运动分类
（1）平动；（2）定轴转动；（3）平行平面运动；
（4）定点转动；（5）一般运动。
3 定轴转动
（1）轴；（2）转动平面；（3）角量描述
4 复习圆周运动
［例5－1］一砂轮在电动机驱动下，以每分种1800转的转速绕定轴作逆时针转动，如图所示。关闭电源后，砂轮均匀地减速，经时间s而停止转动。求：（1）角加速度；（2）到停止转动时，砂轮转过的转数；（3）关闭电源后s时砂轮的角速度以及此时砂轮边缘上一点的速度和加速度。设砂轮的半径为mm。
解：
（1）选定循逆时针转向的角量取正值（见图）；则由题设，初角速度为正，其值为

按题意，在s时，末角速度，由匀变速转动的公式得：

为负值，即与异号，表明砂轮作匀减速转动。
（2）砂轮从关闭电源到停止转动，其角位移及转数N分别为

（转）
（3）在时刻s时砂轮的角速度是

的转向与相同。
在时刻s时，砂轮边缘上一点的速度 的大小为

的方向如图所示，相应的切向加速度和法向加速度分别为

边缘上该点的加速度为；的方向和的方向相反（为什么？），的方向指向砂轮的中心。的大小为

的方向可用它与所成的夹角表示，则

二、力矩 转动定律
1 力矩
（1）力矩的定义 M=Fd （5－1）
（2） （5－2）
（3）力矩矢量式（一般式）．
M＝r×F （5－3）
2 转动定律
一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩（对该轴而言）等于零时，它将保持原有的角速度不变（原来静止的继续静止，原在转动的则作匀角速转动）．这就是转动刚体的第一定律
（1）内容
（5－5）
（2）推导
如图5－6所示，

O
P
β，ω
ri
fi
Fi
θi
φi
图5－6 推导转动定律用图

根据牛顿第二运动定律，
（1）
法向和切向分量的方程如下：
（2）
（3）
式中＝和＝分别是质点P的法向加速度和切向加速度，我们得到
（4）
式（4）左边的第一项是外力Fi对转轴的力矩，第二项是内力fi对转轴的力矩。
同理，对刚体中全部质点都可写出和式（4）相当的方程．把这些式子全部相加，则有：
（5）
因为等于零。这样，式（5）左边只剩下第一项，按定义，它是刚体所受全部外力对转轴OZ的力矩的总和，也就是合外力矩．用M表示合外力矩，由刚体的形状和相对转轴的质量分布所决定，称为刚体的转动惯量，以J表示，则式（5）可写成

证毕。
3 转动惯量
（1）定义 J =
连续刚体 （5－6b）
（2）理解
刚体的转动惯量决定于刚体各部分的质量对给定转轴的分布情况．
（3）计算
［例5－3］求质量为m、长为l的均匀细棒对下面（1）、（2）和（3）所给定的转轴的转动惯量。
（1）转轴通过棒的中心并与棒垂直；
（2）转轴通过棒的一端并与棒垂直；
（3）转轴通过棒上离中心为h的一点并与棒垂直。
4 定律应用
［例5－4］一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为和的物体，<，如图所示。设滑轮的质量为，半径为，其转动惯量可按计算（滑轮视为圆盘）。绳与轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。
解：按题意，滑轮具有一定的转动惯量，在转动中，两边绳子的张力不再相等。设这边的张力为、（），这边的张力为、（）。因>,向上运动，向下运动，而滑轮顺时针旋转。按牛顿运动定律和转动定律可列出下列方程：

式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度，，。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即

从以上各式即可解得

而

［例5－5］如图所示，质量为和的滑块用一根轻软绳系住后跨在定滑轮的两侧。定滑轮的质量为，半径为R。与斜面之间光滑接触，斜面角为。当沿斜面下滑时软绳带动定滑轮作转动，软绳与定滑轮之间无相对滑动。求滑块的加速度值与定滑轮的角加速度。（学生自学）

[第十次]

三、力矩的功 转动动能 刚体定轴转动中的动能定理 机械能守恒
1 力矩的功
变力矩所作的功为
（5－8）
2 转动动能

（5－9）
3 刚体定轴转动中的动能定理
（5－10）
合外力矩对定轴刚体所作的功等于刚体转动动能的增量．这一关系称为刚体定轴转动中的动能定理。
4 机械能守恒
［例5－8］如图所示，一根长为l，质量为m的匀质细杆。一端与光滑的水平轴相连，可在竖直平面内转动；另一端固定一质量也是m的小球，且小球的半径R<<l。设杆由水平位置自由释放，求杆下摆至任意角度时的角加速度和角速度。
解：①题意分析：细杆在下摆过程中受到两个力矩作用。细杆的重力矩，重力的作用点在细杆的质心处；小球所受的重力矩，重力的作用点在小球处。两力矩的方向相同均指向纸面。
②列出刚体的转动方程：
（1）
③其中J是细杆和小球绕轴的转动惯量，
（2）
④代入（1）式后得出角加速度值
（3）
⑤根据角加速度是角速度的一阶导数的关系来求解角速度值。
，
最后得：
（4）
四、角动量 角动量守恒定律
1 角动量
（1）质点角动量
（5－12）
（2）刚体对轴的角动量
（5－13）
2 角动量定理
（1）冲量矩 与冲量相似，我们用冲量矩表示力矩在一段时间内的累积效应．冲量矩等于力矩乘以力矩所作用的时间．
（2）定理
刚体作定轴转动时，根据转动定律，可得
（5－14）
和
（5－15）
两边进行积分后，得
（5－16）
转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内转动物体角动量的增量，这一关系叫做角动量定理．
3 角动量守恒定律
（1）定律
由角动量定理可知，如果物体所受对某固定轴的合外力矩M恒等于零，那末根据式（5－17）得

所以
=恒量 （5－21）
亦即当物体所受的合外力矩等于零时，物体的角动量Jω保持不变．这一结论就是角动量守恒定律，也叫做动量矩守恒定律．
（2）实用范围
① 几个刚体组成的系统
② 质点与刚体组成的系统
③ 非刚体
④ 非刚体做非定轴转动
［例5－10］ 一水平圆形转台，质量为M，半径为r，可绕过中心的铅直光滑轴转动。质量为m的人，站在台边缘。设开始时人与转台均静止。如果人在台上以v的速率沿台边缘顺时针（从上往下看）方向奔跑，求此时转台转动的角速度

[第十一次]
刚体习题课

【内 容】

一、填空题：
1 一飞轮以600rev/min的转速旋转，转动惯量为2.5kg.m2，现加一恒定的制动力矩使飞轮在1s内停止转动，则该恒定制动力矩的大小为M= 。
2 一飞轮的转动惯量为J，在t = 0时角速度为ω0，此后飞轮经历制动过程。阻力矩M的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数k＞0。当ω=1/3ω0时，飞轮的角加速度β= 。从开始制动到ω=1/3ω0所经历的时间t = 。
3 动量矩定理的内容是 ，其数学表达式可写成 。动量矩守恒的条件是 。
4 一飞轮以角速度ω0 绕轴旋转，飞轮对轴的转动惯量为J1；另一静止飞轮突然被啮合到同一个轴上，该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍，啮合后整个系统的角速度ω＝ 。
二、选择题：
1 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度ω按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力 F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度ω
F
F
.
O
ω
（A） 必然增大；
（B） （B）必然减少；
（C）不会改变；
（D）如何变化，不能确定。
2 一刚体的转动惯量只决定于
（A）刚体的质量； （B）刚体的质量的空间分布；
（C）刚体的质量对给定转轴的分布；（D）转轴的位置。