甘肃省兰州市2013届高三第一次(3月)诊断考试数学(理)试题.doc

2013年高三诊断考试
数 学（理）

注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。试题前标注有（理）的试题理科考生作答，试题前标注有（文）的试题文科考生作答，没有标注的试题文理科考生均作答。
2．本卷满分150分，考试用时120分钟。
3．答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第I卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（理）设全集，已知的子集、满足集，，，则
A. B. C. D.
2.（理）设为虚数单位，复数为纯虚数，则实数为
A. B. C. D.
3.曲线在点P(1，12)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是
A.75 B. C. 27 D.
4.若点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
5.（理）已知命题：
：函数的最小值为；
：不等式的解集是;
： ，使得成立;
：，成立.
其中的真命题是
A. B. ， C. ， D. ，，
6.（理）数列满足，，且，则
A. B. C. D.

k<m

k=1,p=1
p=p(n-m+k)
k=k+1
输出p
输入n、m
开始

是
否
结束

7. 执行右面的程序框图，若输入的,
那么输出的是
A.120
B.240
C.360
D.720

3
2
4
8. 有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A.16
B.20
C.24
D.32
9.（理）已知动点到两定点、的距离和为8，且，线段的的中点为，过点的所有直线与点的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有
A.条 B.条 C.条 D.条
10.（理）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．若在[]上为增函数，则的最大值为
A．4 B．3 C．2 D．1
11.（理）已知函数是上的偶函数，且满足，在[0,5]上有且只有，则在[–2013,2013]上的零点个数为
A．808 B．806 C．805 D．804
12.（理）定义：.在区域内任取一点，则、 满足的概率为
A. B. C. D.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（理）已知向量，，为非零向量，若，则 .
14．（理）三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有 种.
15.已知三棱锥的所有顶点都在以为球心的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径,若三棱锥的体积为，则球的表面积为 .
16．（理）已知各项为正的数列中，（），则 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
在中，角、、的对边分别为、、，.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求的值．

18．（本小题满分12分）

（理）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．
P
A
B
D
C
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

19．（本小题满分12分）
（理）某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站.
（Ⅰ）若售报亭一天购进270份报纸，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：份，）的函数解析式.
（Ⅱ）售报亭记录了100天报纸的日需求量（单位：份），整理得下表：
日需求量
240
250
260
270
280
290
300
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的需求量的频率作为各销售量发生的概率.
（1）若售报亭一天购进270份报纸，表示当天的利润（单位：元），求的数学期望；
（2）若售报亭计划每天应购进270份或280份报纸，你认为购进270份报纸好，还是购进280份报纸好? 说明理由.

20．（本小题满分12分）
已知点为轴上的动点，点为轴上的动点，点为定点，且满足，.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为的直线与曲线交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得成立，请说明理由.

21．（本小题满分12分）
（理）已知函数，（，为常数，），且这两函数的图像有公共点，并在该公共点处的切线相同.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.

22．（本小题满分10分）选修4-1：《几何证明选讲》

A
B
C
D
E
F
O

已知：如图,为的外接圆，直线为的切线，切点为，直线∥，交于、交于，为上一点，且.
求证：（Ⅰ）；
（Ⅱ）点、、、共圆.

23．（本小题满分10分)选修4—4：《坐标系与参数方程》
在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为(为参数)
（I）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为（4，），判断点与直线的位置关系；
（II）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：《不等式选讲》
已知函数．
（I）证明：；
（II）求不等式的解集．

2013高三诊断考试
数学参考答案及评分标准（理）

一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
D
A
B
A
C
B
D
C
B
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ； 14.； 15. ； 16. .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 解：（Ⅰ）由，得. ………………3分
∴.
∵， ∴. ………………6分
（Ⅱ）由正弦定理,得. ………………9分
∵, ,
∴. ∴. ………………11分
∴. ………………12分
18. （Ⅰ）证明：因为四边形是菱形，所以.
又因为平面,所以.
又,所以⊥平面.
又平面，所以 ………………6分
P
A
B
D
C
M
N
（Ⅱ）解：依题意,知
平面平面，交线为，
过点作，垂足为，则平面.
在平面内过作，垂足为，连,
则⊥平面，所以为二面角
的一个平面角 . ………………9分
∵，,
∴, . ………………10分
又，故. 所以. ………………11分
∴.
即二面角的余弦值为. ………………12分
19. 解：（Ⅰ）当时，;
当时，,
∴ ………………5分
（Ⅱ）（1）可取135、144、153、162, 则
，，，.
∴. …………9分
（2）购进报纸280张，当天的利润为
，
所以每天购进280张报纸好 ………………12分
20. 解：
（Ⅰ）设，则由，得为的中点. ………………2分
∴, .
∴ , .
∴, 即.
∴动点的轨迹的方程. ………………5分
（Ⅱ）设直线的方程为，由 消去得.
设，, 则 , . ………………6分
假设存在点满足条件，则, ,
∴

. ………………9分
∵,
∴关于的方程有解 . ………………11分
∴假设成立，即在轴上存在点，使得成立.…………12分
21. 解：（Ⅰ），，
设与的公共点为，则有
………………3分
解得. ………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
所以.
∴有时，恒成立，即恒成立.
∵, ∴，且等号不能同时成立，∴.
∴在时恒成立. ………………8分
设（）,则
.
显然，又，∴.
所以（仅当时取等号）.
∴在上为增函数 . ………………11分
故.
所以实数的取值范围是. ………………12分
22. 证明：⑴∵直线为的切线,　∴∠1＝.
∵∥,　∴∠1＝∠.
∴＝,
又∵＝,
∴∽.
∴.
∴. ………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.
∵,　,
∴. ∴180°.
∴点、、、共圆. ………………10分
23. 解：（I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得.
因为点的直角坐标（0，4）满足直线的方程，
所以点在直线上. ………………5分
（II）设点的坐标为，则点到直线的距离为
.
由此得，当时，取得最小值，且最小值为 . ………………10分
24. 解：（I）证明：当时，；
当时， ，所以；
当时，.
所以. ………………5分
（II）由（I）可知，
当时，,
∴的解集为空集；
当时，，
∴的解集为；
当时，，
∴的解集为.
综上，不等式的解集为 . ………………10分